1、4.1 指 数 【学习目标】课程标准学科素养1. 理解根式的概念及分数指数幂的含义. 2. 会进行根式与分数指数幂的互化(重点).3. 掌握根式的运算性质和有理数指数幂的运算性质(重点).1、直观想象2、数学运算【自主学习】1. n次方根、n次根式(1)a的n次方根的定义一般地，如果 ，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且nN*.(2)a的n次方根的表示n的奇偶性a的n次方根的表示符号a的取值范围n为奇数aRn为偶数0，)(3)根式：式子叫做根式，这里n叫做 ，a叫做被开方数2. 根式的性质(1) (nN*，且n1)；(2)( )n (nN*，且n1)；(3)a(n为大于1的奇数)；(4)|a
2、|(n为大于1的偶数)3. 分数指数幂(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：(a0，m，nN*，且n1)；(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：(a0，m，nN*，且n1)；(3)0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂 4.有理数指数幂的运算性质整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：(1)aras (a0，r，sQ)； (2)(ar)s (a0，r，sQ)；(3)(ab)r (a0，b0，rQ)5.无理数指数幂一般地，无理数指数幂a(a0，是无理数)是一个确定的 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂【小试牛刀】1若x43，这样的x有几个，如何表示？2判断正误(正确的打“”
3、，错误的打“”)(1)任意实数的奇次方根只有一个()(2)当nN*时，()n都有意义()(3)3.()(4)只要根式有意义，都能化成分数指数幂的形式()(5)分数指数幂a可以理解为个a相乘()(6)0的任何指数幂都等于0.()【经典例题】题型一根式的化简和运算根式化简与求值：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简.注意：正确区分()n与两式；运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，必要时要进行讨论.例1化简：(1)；(2)(ab)；(3)()2.跟踪训练 1 求下列各式的值：(1)； (2).例2 已知x1,2，化简()4_.跟踪训
4、练 2设3x0，y0)（3）跟踪训练3 用分数指数幂表示下列各式(a0，b0)：(1)a2；(2)；(3)；(4)()2.例4把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a0，b0.(1)； (2)； (3)； (4)跟踪训练 4 把下列根式化成分数指数幂的形式(a0，b0)：(1)；(2).题型三 分数指数幂的运算进行指数幂运算时，有根式的，先将根式化成分数指数幂的形式，可将系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的例5 计算下列各式：（1） (2) 跟踪训练 5 计算下列各式 (1)2；(2)0.1230；(3).
5、题型四 指数幂运算中的条件求值 例6 已知aa4，求下列各式的值： (1)aa1； (2)a2a2.跟踪训练 6 （1）已知a0，b0，且abba，b9a，求a的值（2）已知67x27,603y81，求的值【当堂达标】1以下说法正确的是()A正数的n次方根是正数 B负数的n次方根是负数C0的n次方根是0(nN*) Da的n次方根是2下列根式与分数指数幂的互化正确的是()A B.C D3.的值是()A.0 B.2(ab) C.0或2(ab) D.ab4已知4a1，则实数a的取值范围是_5()4_.6.计算：0.25420_.7.已知求的值【参考答案】【自主学习】1. xna 根指数 2. 0 a
6、 3 . 0 没有意义 4 . ars ars arbr 5 . 实数 【小试牛刀】1. 解 有2个，表示为2. (1)(2)(3) (4)(5)(6)【经典例题】例1 解(1)|3|3.(2)|ab|ab.(3)由题意知a10，即a1.原式a1|1a|1aa1a11aa1.跟踪训练 1 解(1)|xy|，当xy时，xy；当xy时，yx.(2)原式(2)22.例2 1 解析x1,2，x10，x20，()4x1x1(x2)1.跟踪训练 2 解原式|x1|x3|，3x3，当3x1时，原式(x1)(x3)2x2；当1x0，b0，又abba，（2） 由67x33，由603y81，932，2，故2.【当堂达标】1. C 解析当n为偶数时，正数的n次方根为一正一负，故A错误；当n为偶数时，负数的n次方根无意义，故B错误；当nN*时，0的n次方根为0，故C正确；当n为偶数，a0时，无意义，故D错误2.C3.C 解析当ab0时，原式abab2(ab)；当ab0时，原式baab0.4. 解析|4a1|4a1，4a10，a.5.a26. 4原式16414444.7. 解由两边同时平方得x2x125，整理，得xx123，则有23.
