1、专题3.5 整式加减中的规律问题【六大题型】【北师大版】【题型1 数式的规律】1【题型2 图表的规律】3【题型3 图形的规律】6【题型4 算式的规律】7【题型5 程序运算】10【题型6 定义新运算】13【题型1 数式的规律】【例1】（2022秋娄底期中）观察下面的三行单项式，x，2x2，4x3，8x4，16x5，32x62x，4x2，8x3，16x4，32x5，64x62x2，3x3，5x4，9x5，17x6，33x7（1）根据你发现的规律，第行第8个单项式为128x8（2）第行第8个单项式为256x8，第行第8个单项式为129x9（3）取每行的第9个单项式，令这三个单项式的和为A计算当x=1
2、2时，512(A+14)的值【分析】根据题三行单项式给出的规律即可求出答案【解答】解：（1）128x8（2）256x8，129x9（3）A28x929x9+（28+1）x1028x9+28x10+x10，512（A+14）29A+27，当x=12时，原式2812929+28121029+121029+2728+272+12=12，故答案为：（1）256x9；（2）256x8，129x9；（3）12【变式1-1】（2022秋交城县期中）一组按规律排列的多项式：a+b，a2b3，a3+b5，a4b7，其中第n（n为正整数）个式子的次数是（）AnB2n1C3n1D2n【分析】先根据已知算式得出规律，
3、再根据多项式次数的定义得出答案即可【解答】解：a+b，a2b3，a3+b5，a4b7，a的指数依次为1，2，3，4，5，6，b的指数依次为1，3，5，7，（2111，2213，2317，），第n（n为正整数）个式子的次数是2n1，故选：B【变式1-2】（2022秋霍山县校级月考）一块面积为1的长方形纸片，第一次裁去它的一半，第二次裁去剩下纸片的一半，如此裁下去，第八次裁完后剩下的纸片的面积是（）A132B164C1128D1256【分析】根据题意知，易求出前几次裁剪后剩下的纸片的面积，第一次剩下的面积为12m2，第二次剩下的面积为14m2，第三次剩下的面积为18m2，根据规律，总结出一般式，由
4、此可以求出第八次剩下的纸片的面积【解答】解：根据题意，第一次剩下的面积为12m2，第二次剩下的面积为14m2，第三次剩下的面积为18m2，则第n次剩下的面积为12nm2则第八次剩下的面积为128m2，即1256m2故选：D【变式1-3】（2022秋如东县期末）一只小球落在数轴上的某点P0处，第一次从P0处向右跳1个单位到P1处，第二次从P1向左跳2个单位到P2处，第三次从P2向右跳3个单位到P3处，第四次从P3向左跳4个单位到P4处，若小球按以上规律跳了（2n+3）次时，它落在数轴上的点P2n+3处所表示的数恰好是n3，则这只小球的初始位置点P0所表示的数是（）A4B5Cn+6Dn+3【分析】
5、根据题意可以用代数式表示出前几个点表示的数，从而可以发现它们的变化规律，进而求得这只小球的初始位置点P0所表示的数【解答】解：设点P0所表示的数是a，则点P1所表示的数是a+1，点P，2所表示的数是a+12a1，点P3所表示的数是a1+3a+2，点P4所表示的数是a+24a2，点P（2n+3）所表示的数是n3，a+2n+3+12=n3，解得，a5，故选：B【题型2 图表的规律】【例2】（2022秋咸丰县期末）九格幻方有如下规律：处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和都相等（如图1）则图2的九格幻方中的9个数的和为9a-454（用含a的式子表示）【分析】根据同一横行、同一竖列、同一斜
6、对角线上的三个数的和相等作出图形，根据题意列出关于a与x的方程，可得xa+54，进一步求出这9个数的和即可【解答】解：如图所示：a+a5+x3a+52x+2ax+a5解得xa+54，所以3（2a+x5）9a-454故答案为：9a-454【变式2-1】（2022秋任城区校级期末）如表格是一张日历表，省去了号码数，设位置的数为x，则位置的数可表示为（） 日一二三四五六A2x+7B3x7Cx+12Dx+10【分析】根据日历上同一列数的特点：下一个日期比上一个日期大7，日历上同一行数的特点：左边日期比右边相邻日期小1，即可得出答案【解答】解：设位置的数为x，则位置的数为x+722x+12故选：C【变式
7、2-2】（2022秋东西湖区期中）将9个数填入幻方的九个方格中，使处于同一横行、同一竖列、同一斜对角上的三个数的和相等，如表一按此规律将满足条件的另外6个数填入表二，则表二中这9个数的和为9a+9（用含a的整式表示）表一492357816表二a+5a+1a5【分析】根据同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和相等作出图形，根据题意列出关于a与x的方程，可得xa+3，进一步求出这9个数的和即可【解答】解：如图所示：x110+xaa+5a+1xa+2a5a+6a+a+1+a+2a+x+a+6，解得xa3，3（3a+3）9a+9故答案为：9a+9【变式2-3】（2022秋西城区校级期中）如下表
8、，从左向右依次在每个小格子中都填入一个有理数，使得其中任意四个相邻小格子中所填数之和都等于15已知第3个数为7，第5个数为m1，第16个数为2，第78个数为32m，则m的值为 4，第2021个数为 57m1【分析】根据题意，任意四个相邻格子中的和等于15，列出等式，找出规律，计算出m的值；再求出第2021个数是几即可【解答】解：任意四个相邻小格子中所填数之和都等于15，第5个数（541）与第1个数相同，都为m1；第16个数（1644）与第4个数相同，都为2；第78个数（784192）与第2个数相同，都为32m；m1+32m+7+215，解得m4，则m1415，32m11，202145051，第
9、2021个数是5故答案为：4；5【题型3 图形的规律】【例3】（2022秋思明区校级期中）为了庆祝六一儿童节，某一幼儿园举行用火柴摆“金鱼”比赛，如图所示：按照上面的规律，摆N个金鱼需要用火柴棒的根数为（）A2+6nB6n+8C8nD4n+4【分析】观察给出的3个例图，注意火柴棒根数的变化是图的火柴棒比图的多6根，图的火柴棒比图的多6根，而图的火柴棒的根数为2+6【解答】解：第n条小鱼需要（2+6n）根，故选：A【变式3-1】（2022秋晋安区期末）搭一个正方形需要4根火柴棒，按照图中的方式搭n个正方形需要（）根火柴棒A4nB4+3（n1）C3nD4n（n+1）【分析】根据图形发现规律：多一个
10、正方形，则多用3根火柴【解答】解：观察图形发现：第一个图形需要4根火柴，多一个正方形，多用3根火柴，则第n个图形中，需要火柴4+3（n1）故选：B【变式3-2】（2022秋莱阳市期中）将长为40cm，宽为15cm的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为5cm，则n张白纸粘合后的总长度为（）cmA35n+5B35nC40nD40n+5【分析】n张白纸黏合，需黏合（n1）次，重叠5（n1）cm，所以总长可以表示出来【解答】解：根据题意和所给图形可得出：总长度为40n5（n1）35n+5（cm），故选：A【变式3-3】（2022秋上虞市校级期中）如图，学校准备新建一个长度为L的读书长廊
11、，并准备用若干块带有花纹和没有花纹的两种规格大小相同的正方形地面砖搭配在一起，按图中所示的规律拼成图案铺满长廊，已知每个小正方形地面砖的边长均为0.5m（1）按图示规律，第一图案的长度L11.5m；第二个图案的长度L22.5m；（2）用代数式表示带有花纹的地面砖块数n与走廊的长度Ln（m）之间的关系L0.5（2n+1）【分析】（1）观察题目中的已知图形，可得前两个图案中有花纹的地面砖分别有：1，2个，第二个图案比第一个图案多1个有花纹的地面砖，所以可得第n个图案有花纹的地面砖有n块；第一个图案边长30.5L，第二个图案边长50.5L，（2）由（1）得出则第n个图案边长为L（2n+1）0.5【解
12、答】解：（1）第一图案的长度L10.531.5，第二个图案的长度L20.552.5；（2）观察可得：第1个图案中有花纹的地面砖有1块，第2个图案中有花纹的地面砖有2块，故第n个图案中有花纹的地面砖有n块；第一个图案边长L30.5，第二个图案边长L50.5，则第n个图案边长为Ln0.5（2n+1）故答案为：0.9，1.5；0.5（2n+1）【题型4 算式的规律】【例4】（2022春杏花岭区校级期中）计算两个两位数的积，这两个两位数的十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10例如：43472021，68624216，74765624，81897209设其中一个数的十位数字为m，个位数字为n，请用含
13、m，n的算式表示这个规律 （10m+n）（10m+10n）100m（m+1）+n（10n）【分析】由题意得出：两个两位数的十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10的两个数的积的规律是：十位数字乘以十位数字加一的积作为结果的千位和百位，两个个位数字相乘的积作为结果的十位和个位，据此可得规律【解答】解：由题意可得，两个两位数，其中一个数的十位数字为m，个位数字为n时，另外一个数的十位数字为m，个位数字为10n，那么这两个数的积的规律是：十位数字乘以十位数字加一的积作为结果的千位和百位，两个个位数字相乘的积作为结果的十位和个位，即：（10m+n）（10m+10n）100m（m+1）+n（10n）故
14、答案为：（10m+n）（10m+10n）100m（m+1）+n（10n）【变式4-1】（2022春青岛期中）若规定运算符号“”，满足下列各式：133123；2（4）322（4）；0（7）302（7）；（-12）53（-12）25；（-25）（-34）3（-25）2（-34）；根据以上规律，求解下列各题：（1）ab3a2b；（2）若2mn3，求（2m+n）（4m+5n）的值【分析】（1）根据定义新运算即可得出结果；（2）先根据定义新运算化简，再整体代入求值【解答】解：（1）由题意可知：ab3a2b；（2）（2m+n）（4m+5n）3（2m+n）2（4m+5n）32m+3n2（4m）25n14m7
15、n，2mn3，原式14m7n7（2mn）7321【变式4-2】（2022秋通川区校级期中）阅读下面的文字，完成后面的问题：我们知道：112=1-12，123=12-13，134=13-14那么（1）145=14-15；120122013=12012-12013；（2）用含有n的式子表示你发现的规律 1n(n+1)=1n-1n+1；（3）如果|a1|+（ab2）20，求1ab+1(a+1)(b+1)+1(a+2)(b+2)+1(a+2013)(b+2013)的值【分析】（1）根据题目中的式子，可以将所求式子分解；（2）根据题目中式子的特点，可以写出第n个等式；（3）根据题目中的式子，先裂项，然后
16、计算即可解答本题【解答】解：（1）145=14-15，120122013=12012-12013，故答案为14-15，12012-12013；（2）第 n 个式子为 1n(n+1)=1n-1n+1，故答案为：1n(n+1)=1n-1n+1；（3）|a1|+（ab2）20，a10，ab20，解得：a1，b2，原式=112+123+134+120142015=1-12+12-13+13-14+12014-12015 =1-12015 =20142015【变式4-3】（2022秋浦东新区校级期中）观察以下5个乘法算式：610；818；1129；1226；2537（1）请仿照式子“634202142”
17、，将以上各乘法算式分别写成两数平方差的形式；6108222；81813252；112920292；122619272；253731262（2）如果将上面五个乘法算式的两个因数分别用字母a，b表示（a，b为正数且ab），请用含a、b的等式表示（1）的规律（只要求写出结果）【分析】（1）观察式子634202142，发现202（6+342）2，142（3420）2，由此可得结果；（2）利用（1）中发现的规律可得结果【解答】解：（1）634202142，202（6+342）2，142（3420）2，610（6+102）2（10-6+102）28222；同理可得：81813252；112920292；1
18、22619272；253731262；故答案为：8222；13252；20292；19272；31262；（2）634202142，202（6+342）2，142（3420）2，ab（a+b2）2（b-a+b2）2（a+b2）2（2b-a-b2）2（a+b2）2（b-a2）2ab（a+b2）2（b-a2）2【题型5 程序运算】【例5】（2022武汉模拟）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，以此类推，则第2019次输出的结果是多少？【分析】根据程序图进行计算发现数字的变化规律，从而分析求解【解答】解：当输入x48时，第一次输出的结
19、果为4812=24，第二次输出结果为2412=12，第三次输出结果为1212=6，第四次输出结果为612=3，第五次输出结果为3+36，第六次输出结果为612=3，.自第三次开始，奇数次的输出结果为6，偶数次的输出结果为3，第2019次输出的结果是6【变式5-1】（2022秋封丘县期末）如图所示的是一个计算程序，程序规定从左至右逐步计算，若输入a的值为1，则输出的结果b的值应为（）A5B5C7D3【分析】将a的值为1代入计算程序进行计算即可【解答】解：将a1代入该计算程序得，12（2）（3）+4（1+2）（3）+43（3）+49+45，b5，故选：A【变式5-2】（2022秋天河区校级期中）按
20、如图所示的程序计算，若开始输入的值为x3，则最后输出的结果是多少？试写出你的计算过程【分析】先把x3代入代数式12x（x+1）得代数式的值为6，利用计算程序，再把x6代入代数式的值为21；接着把x21代入代数式得12x（x+1）231，从而得到最后输出的结果【解答】解：当x3时，12x（x+1）=123（3+1）6；当x6时，12x（x+1）=126（6+1）21；当x21时，12x（x+1）=1221（21+1）231100，所以最后输出的结果是231【变式5-3】（2022秋上虞区期末）如图是一个运算程序的示意图输入一个整数便能按图中程序进行计算（1）设输入数x为18，那么根据程序，第1次
21、计算的结果是9，第2次计算的结果是4，按这样的程序计算下去，第5次计算的结果为 4；程序最终输出结果为 4（2）若输入某数x后，程序依次交替进行两种运算，且最后输出结果为1请尝试通过分析，判断输入数x是奇数还是偶数？进一步借助计算，直接写出该输入数x【分析】（1）通过列举找出规律：从第5次开始，计算结果是4，2，1，6，3，8六个数不断循环，从而得出答案；（2）先判断出这个数是偶数，列举得到第1次输出结果为22020，所以刚开始输入的数为x22020+5【解答】解：（1）当x18时，第1次计算的结果是182=9，第2次计算的结果是954，第3次计算的结果是42=2，第4次计算的结果是22=1，
22、第5次计算的结果是154，第6次计算的结果是-42=-2，第7次计算的结果是-22=-1，第8次计算的结果是156，第9次计算的结果是-62=-3，第10次计算的结果是358，第11次计算的结果是-82=-4，从第5次开始，计算结果是4，2，1，6，3，8六个数不断循环，（20224）63361，程序最终输出结果为4；故答案为：4，4；（2）若x是奇数，则x51，x6，这与x是奇数矛盾，x是偶数；第2021次输出结果为120，第2020次输出结果为221，第2019次输出结果为422，第2018次输出结果为823，第1次输出结果为22020，必须有第一种运算的参与，刚开始输入的数为x22020
23、+5【题型6 定义新运算】【例6】（2022秋安新县期末）定义abcd为二阶行列式，规定它的运算法则为abcd=ad-bc，那么当x1时，二阶行列式x+1x-23-5的值为（）A7B7C1D1【分析】根据新定义运算法则列式，然后去括号，合并同类项进行化简，最后代入求值【解答】解：原式5（x+1）3（x2）5x53x+68x+1，当x1时，原式81+18+17，故选：B【变式6-1】（2022秋桥西区校级期末）定义一种新运算：ab2ab例如232231，则（x+y）（2xy）化简后的结果是（）A3x+3yByC3xyD3y【分析】根据新定义运算列出算式，然后去括号，合并同类项进行化简【解答】解：
24、原式2（x+y）（2xy）2x+2y2x+y3y，故选：D【变式6-2】定义：若a+b0，则称a与b是关于原点的归零数（1）2与 2是关于原点的归零数，7x与 x7是关于原点的归零数；（2）若a3x2+4x6，b4x+2x2+x25，则a与b否（填“是”或“否”）是关于原点的归零数【分析】（1）直接利用关于原点的归零数的定义分析得出答案；（2）利用整式的加减运算法则，再结合关于原点的归零数的定义分析得出答案【解答】解：（1）2+20，2与2是关于原点的归零数；7x+x70，7x与x7是关于原点的归零数；故答案为：2，x7；（2）a3x2+4x6，b4x+2x2+x25，a+ba3x2+4x64
25、x+2x2+x25110，a与b否是关于原点的归零数故答案为：否【变式6-3】（2022秋金牛区校级期中）定义：若a+b3，则称a与b是关于3的实验数（1）4与 1是关于3的实验数，2x2与52x是关于3的实验数（用含x的代数式表示）（2）若a2x23（x2+x）+5，b2x3x（4x+x2）+2，判断a与b是否是关于3的实验数，并说明理由（3）若c|x3|1，d|x+2|3，且c与d是关于3的实验数，求x的值【分析】（1）由新定义可得答案；（2）计算a+b的和即可判断；（3）分三种情况去绝对值，再列方程可解得答案【解答】解：（1）4+（1）3，（2x2）+（52x）2x2+52x3，4与1是关于3的实验数，2x2与52x是关于3的实验数，故答案为：1，2x2；（2）a与b是关于3 的实验数，理由：a+b2x23（x2+x）+5+2x3x（4x+x2 ）+22x23x23x+5+2x（3x4xx2+2）2x23x23x+5+2x3x+4x+x223，a与b是关于3 的实验数；（3）c与d是关于3的实验数，当x3时，c（x3）1，d（x+2）3，c+d（x3）1+（x+2）33，解得x4；当2x3时，c3x1，d（x+2）3，3x1+x+233，方程不成立，这种情况不存在，当x2时，c3x1，dx23，3x1x233，解得x3，综上所述，x的值是4或3
