1、8.1 基本立体图形 第八章 立体几何初步 学习目标 重点：感受大量空间实物及模型，概括出柱、锥、台、球的结构特征.难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括.1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征.2.能运用结构特征描述现实生活中简单物体的结构.知识梳理 一、空间几何体、多面体与旋转体 1.空间几何体 空间中的物体，都占据着空间的一部分.如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.2.多面体（1）定义：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.（2）组成元素：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公
2、共点叫做多面体的顶点，3.旋转体 一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体.这条定直线叫做旋转体的轴.归纳提升 1.多面体是由平面多边形围成的，这里的多边形包括它内部的平面部分.2.多面体至少有四个面，如图所示的多面体即是四个面的情况.3.一个多面体由几个面围成就称为几面体.如四面体、五面体、六面体 特别提醒 1.旋转体是由“平面图形”旋转而形成的，这个平面图形可以是矩形、三角形或其他图形.2.平面图形绕定直线旋转形成旋转体，这条定直线可以是平面图形的边所在的直线，也可以不是，但定直线一定与平面图形在同一个平面内.3.与多
3、面体一样，旋转体是封闭的几何体，包括表面及其内部所有的点.1.棱柱 二、棱柱、棱锥、棱台（1）定义：如图8-1-1，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.在棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，它们是全等的多边形；其余各面叫做棱柱的侧面，它们都是平行四边形；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.图8-1-1（2）记法：棱柱用表示底面各顶点的字母来表示，如图8.1-1中的棱柱记作棱柱ABCDEF-ABCDEF.（3）分类：按底面多边形分类.棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形，我们把这样的棱柱
4、分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱按侧棱与底面是否垂直分类.一般地，我们把侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体归纳拓展常见的几种四棱柱之间的转化关系2.棱锥（1）定义：如图8-1-2，一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.这个多边形面叫做棱锥的底面；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.图8-1-2（2）表示：棱锥用表示顶点和底面各顶点的字母来表示，如图8-1-2中的棱锥记作
5、棱锥S-ABCD.（3）分类：棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形，我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥，其中三棱锥又叫四面体.底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥.归纳拓展 正棱锥的相关概念及性质：（1）正棱锥的斜高 正棱锥侧面的等腰三角形底边上的高叫做正棱锥的斜高.正棱锥的斜高都相等.（2）正棱锥的简单性质 各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，斜高都相等.正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形.3.棱台（1）定义：如图8-1-3，用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把
6、底面和截面之间那部分多面体叫做棱台.在棱台中，原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面.类似于棱柱、棱锥，棱台也有侧面、侧棱、顶点.图8-1-3（2）记法：棱台用表示底面各顶点的字母来表示，如图8.1-3中的棱台记作棱台ABCD-ABCD.（3）分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台归纳提升 棱台是用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这是从棱锥出发去定义棱台.它说明了棱台与棱锥的联系，为我们提供了解决棱台问题的一种方法，棱台问题常常转化为棱锥问题来解决，即还台为锥.小结&拓展 棱柱、棱锥、棱台都是多面体，它们相互之间没有公共部分；四面体是
7、一种特殊的棱锥（三棱锥）；直棱柱和平行六面体都是棱柱，它们又有公共部分直平行六面体，而长方体是特殊的直平行六面体.1.所有棱长都相等的三棱锥叫做正四面体.2.正三棱锥与正四面体的区别和联系 正四面体各个面都是全等的等边三角形.正四面体是正三棱锥，但正三棱锥只有在侧棱与底面三角形边长相等时才是正四面体.三、圆柱、圆锥、圆台和球 圆柱 图形及表示 定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 图中圆柱表示为：圆柱OO 相关概念：圆柱的轴：旋转轴.圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面.圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面.圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，不垂
8、直于轴的边.圆锥 图形及表示 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体 图中圆锥表示为圆锥SO 相关概念：圆锥的轴：旋转轴 圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 圆台 图形及表示 定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 旋转法定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，将直角梯形绕旋转轴旋转一周而形成的旋转体叫做圆台 图中圆台表示为：圆台OO 相关概念：圆台的轴：旋转轴 圆台的底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面 圆台的侧面：不垂直于
9、轴的边旋转一周所形成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 球 图形及表示 定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面（是“空心”的），球面所围成的旋转体叫做球体，简称球（是“实心”的）.图中的球表示为：球O 相关概念：球心：半圆的圆心 半径：连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径 直径：连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径（即半圆的直径）.空间几何体在结构上的相同点和不同点及联系 相同点 不同点 联系 棱柱、棱锥、棱台 都由平面多边形围成，都有底面，且底面都是多边形 棱柱两个底面，平行且全等；棱锥一个底面；棱台两个底面，平行且相似 棱台是由棱锥截取
10、得到的 圆柱、圆锥、圆台 都由平面多边形旋转形成，都有底面，且底面都是圆面 圆柱两个底面，是半径相等的圆面；圆锥一个底面，是圆面；圆台两个底面，是不全等但相似的圆面 圆台是由圆锥截取得到的 四.简单组合体（1）定义：由简单几何体组合而成的几何体称作简单组合体.（2）构成形式：由简单几何体拼接而成.由简单几何体截去或挖去一部分而成.一.空间几何体概念的理解 常考题型 柱、锥、台、球的结构特征 例1.下列说法正确的是（）A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.多面体至少有三个面 C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 D.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形【解析】选项A错，反例如图8
11、-1-4；一个多面体至少有四个面，如三棱锥有四个面，不存在只有三个面的多面体，所以选项B错；选项C错，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义，知选项D正确.图8-1-4【答案】D训练题1 1下列三个命题中，正确的有（）棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面；有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；四棱锥有4个顶点.A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 1.A 解析：错误，底面为正六边形的棱柱相对的两个侧面互相平行，但不能作为底面.错误，因为不能保证侧棱相交于同一点.错误，四棱锥只有一个顶点，就是各侧面的公共顶点.训练题2 下列叙述中正确的个数
12、是（）以直角三角形的一边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台；半圆绕其直径所在的直线旋转一周所形成的曲面是球；用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.A.0 B.1 C.2 D.3 2.A 解析：错误，应以直角三角形的一条直角边所在直线为轴；(2)错误，应以直角梯形的垂直于底边的腰所在直线为轴；错误，应把“球”改成“球面”；错误，应是用一个与底面平行的平面去截圆锥.训练题3 下列说法：（1）圆柱的底面是圆面；（2）经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；（3）圆台的任意两条母线的延长线，可能相交，也可能不相交；（4）夹在圆柱的两个截面间的几
13、何体还是一个旋转体.其中正确的是 .3.（1）（2）解析：（1）正确，圆柱的底面是圆面；（2）正确，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；（3）不正确，圆台的母线延长后相交于一点；（4）不正确，夹在圆柱的两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体.特别提示：（1)对多面体的判断，一定要紧扣棱柱、棱锥、棱台的结构特征，注意概念中的特殊字眼，切不可马虎大意，如棱柱的概念中的“相邻”，棱锥的概念中的“公共顶点”，棱台的概念中的“棱锥”等.(2)圆柱、圆锥、圆台和球都是由一个平面图形绕其特定边（直径）所在的直线旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求.只有理解了各旋转体的形成过程，才能
14、明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的命题的真假.简单组合体的结构特征 例2.描述下列几何体的结构特征.（1）（2）（3）图8-1-5【解题提示】结合简单组合体的两种基本构成形式入手分析.【解】图8-1-5（1）所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图8-1-5（2）所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图8-1-5（3）所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体.训练题42019湖南长沙雨花区检测如图8-1-6（1）（2）所示，绕虚线旋转一周后形成的旋转体是由哪些简单几何体组成的？（1）（2）图8-1-64.解：如图D-8-1所示，其中图（
15、1）是由一个圆柱O1O2和圆台O2O3、圆台O3O4组成的；图（2）是由一个圆锥O4O5、一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O1O2组成的.（1）（2）图D-8-1判断实物是由哪些简单几何体组成的技巧（1）准确理解简单几何体（柱、锥、台、球）的结构特征.（2）正确掌握简单组合体构成的两种基本形式.（3）若用分割的方法，则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线（或面）.二.空间几何体的侧面展开图 例3.如图8-1-7所示，在以O为顶点的三棱锥中，过O的三条棱两两的交角都是30，在一条棱上有A，B两点，OA4，OB3，以A，B为端点用一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周（绳和侧面无摩擦），求此
16、绳在A，B之间的最短绳长.图8-1-7【解题提示】【解】作出三棱锥的侧面展开图，如图8-1-8.图8-1-8A，B两点间的最短绳长就是线段AB的长度.因为OA4，OB3，AOB90，所以AB5，即此绳在A，B之间的最短绳长为5.训练题52019安徽合肥高一检测如图8-1-9，圆锥的底面半径为r，母线长为4r，一细绳从A点开始，绕圆锥侧面一圈又回到A点，试求细绳的最短长度.图8-1-95.解：把圆锥的侧面沿SA剪开并展开在平面内得一扇形，如图D-8-2，则细绳的最短长度即线段AA的长度.图D-8-2 圆锥的底面半径为r，AAl 2r.以母线长4r为半径的圆的周长为l8r，AAl 14 l，ASA
17、90.AA42 r.细绳的最短长度为42 r.求空间几何体表面上两点间的最短距离问题的常用方法 求空间几何体表面上两点间的最短距离问题，常常要归结为求平面上两点间的最短距离问题，因此解决这类问题的方法就是先把空间几何体的侧面展开成平面图形，再用平面几何的知识来求解.训练题6.2019陕西西安未央区期末某人用如图8-1-10所示的纸片，沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在处应依次写上（）图8-1-10A.快、新、乐 B.乐、新、快 C.新、乐、快 D.乐、快、新6.A 解析：根据四棱锥图形，正好看到“
18、新年快乐”的字样时选项A正确.【名师点拨】解答展开与折叠问题，要结合空间几何体的定义和结构特征，发挥空间想象能力.必要时可制作侧面展开图进行实践操作.训练题7.如图8-1-11是三个几何体的平面展开图，图8-1-11则原几何体应为：，.7.五棱柱五棱锥三棱台解析：各展开图对应的几何体如图D-8-3所示.图D-8-3故是五棱柱，是五棱锥，是三棱台.三.空间几何体的轴截面及计算问题 例4.一个圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，在圆锥内部有一个高为x cm的内接圆柱.（1）用x表示圆柱的轴截面面积S.（2）当x为何值时，S最大？【解】（1）设圆柱的底面半径为r cm，则由 2r 66x，得r
19、63x，S-23 x2+4x（0 x6）.（2）S-23 x2+4x-23（x-3）2+6，当x3时，S取得最大值，Smax6 cm2.训练题8.2019江苏泰州姜堰区检测圆台上底面面积为，下底面面积为16，用一个平行于底面的平面去截圆台，该平面自上而下分圆台的高的比为21，求这个截面的面积.8.解：圆台的轴截面如图D-8-4所示，O1，O2，O3分别为上底面、下底面、截面的圆心.图D-8-4过点D作DFAB于点F，交GH于点E.由题意知DO11，AO24，AF3.DE2EF，DF3EF，GEAF DEDF 23，GE2.圆O3的半径为3，这个截面的面积为9.【名师点拨】1.圆锥的轴截面是以2
20、r(r为圆锥的底面半径）为底边，l（l为圆锥的母线长）为腰的等腰三角形.2.圆柱的轴截面是以2r(r为圆柱的底面半径）和l（l为圆柱的母线长）为相邻两边的矩形.3.圆台的轴截面是以2r1，2r2为底，l（l为圆台的母线长）为腰的等腰梯形.四 易错易混问题 对棱柱、棱锥、棱台的概念理解不到位致误 例5.如图8-1-12，甲、乙、丙分别是棱柱、棱锥、棱台吗？为什么？甲 乙 丙图8-1-12【解】图甲不是棱柱，因为虽然上、下两个面平行，但是四边形ABB1A1与四边形A1B1B2A2不在一个平面内，所以多边形ABB1B2A2A1不是一个平面图形，它更不是一个平行四边形，所以这个几何体不是棱柱；图乙不是棱锥，因为它的六个三角形没有一个公共点，故不是棱锥，只是一个多面体；图丙不是棱台，因为其侧棱的延长线不能相交于同一点.【防错有术】切实理解棱柱、棱锥和棱台的定义是解答此类问题的关键.画错截面图致错 例6.在底面半径为3，高为6的圆锥内有一个内接正方体，求内接正方体的棱长.【解】设正方体的棱长为a，此空间几何体的示意图如图8-1-13，作轴截面如图8-1-14，图8-1-13 图8-1-14则OO6，OM3，AAa，AC2 a，26a 66a，解得a 6 2-6.内接正方体的棱长为6 2-6.【防错有术】（1）在画轴截面图时找准中间轴和边界.（2）对旋转体的旋转轴和正方体的结构特征要把握准确.