1、直线的两点式与截距式方程两点式、截距式导入新知3.2.2&3.2.3 直线的两点式方程 直线的一般式方程项目两点式截距式条件P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，其中x1x2，y1y2在x轴上截距a，在y轴上截距b项目两点式截距式图形方程_适用范围不表示_坐标轴的直线不表示_坐标轴的直线及过_的直线yy1y2y1xx1x2x1xayb1垂直于垂直于原点化解疑难1要注意方程 yy1y2y1 xx1x2x1和方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)形式不同，适用范围也不同前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线后者为整式形式方程，适用于过任何两点的直线方程2直线方程的截
2、距式为xayb1，x 项对应的分母是直线在 x 轴上的截距，y 项对应的分母是直线在 y 轴上的截距，中间以“”相连，等式的另一端是 1，由方程可以直接读出直线在两轴上的截距，如x3y41，x3y41 就不是直线的截距式方程1直线与二元一次方程的关系(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示(2)每个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线2直线的一般式方程的定义我们把关于x，y的二元一次方程AxByC0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式直线方程的一般式导入新知化解疑难1求直线的一般式方程的策略(1)当 A0 时，方程可化为 xBA
3、yCA0，只需求BA，CA的值；若 B0，则方程化为ABxyCB0，只需确定AB，CB的值因此，只要给出 2 个条件，就可以求出直线方程(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用 4 种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式2直线的一般式转化为其他形式的步骤(1)一般式化为斜截式的步骤：移项得 ByAxC；当 B0 时，得斜截式：yABxCB.(2)一般式化为截距式的步骤：把常数项移到方程右边，得 AxByC；当 C0 时，方程两边同除以C，得 AxC ByC1；化为截距式：xCA yCB1.由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，
4、通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式.例1 三角形的3个顶点是A(1,0)，B(3，1)，C(1,3)，求三角形三边所在直线的方程利用两点式求直线方程解 由两点式，直线 AB 所在直线方程为y101x313，即 x4y10.同理，直线 BC 所在直线方程为 y313x131，即 2xy50.直线 AC 所在直线方程为y303 x111，即 3x2y30.类题通法求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或
5、数字的顺序错位而导致错误在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系活学活用1已知直线经过点A(3，1)和点B(3,7)，则它在y轴上的截距是_答案：32若点P(3，m)在过点A(2，1)，B(3,4)的直线上，则m_.答案：2直线的截距式方程及应用例 2 直线 l 过点 P43，2，且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A，B 两点，O 为坐标原点(1)当AOB 的周长为 12 时，求直线 l 的方程(2)当AOB 的面积为 6 时，求直线 l 的方程解：(1)设直线 l 的方程为xayb1(a0，b0)，由题意知，ab a2b212.又因为直线 l 过点 P43，2，所以 43a2b1
6、，即 5a232a480，解得a14，b13或a2125，b292，所以直线 l 的方程为 3x4y120 或 15x8y360.(2)设直线 l 的方程为xayb1(a0，b0)，由题意知，ab12，43a2b1，消去 b，得 a26a80，解得a14，b13或a22，b26，所以直线 l 的方程为 3x4y120 或 3xy60.类题通法用截距式方程解决问题的优点及注意事项(1)由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式(3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线
7、通过原点时，两个截距均为零在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论活学活用求经过点A(2,2)，并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程解：设直线在 x 轴、y 轴上的截距分别是 a，b，则有 S12|ab|1.ab2.设直线的方程是xayb1.直线过点(2,2)，代入直线方程得2a 2b1，即 b 2aa2.ab 2a2a22.当 2a2a22 时，化简得 a2a20，方程无解；当 2a2a22 时，化简得 a2a20，解得a1，b2，或a2，b1.直线方程是 x1 y21 或x2y11，即 2xy20 或 x2y20.例3(1)已知直线l1：2x(m1)y40与直线
8、l2：mx3y20平行，求m的值；(2)当a为何值时，直线l1：(a2)x(1a)y10与直线l2：(a1)x(2a3)y20互相垂直？直线方程的一般式应用解(1)法一：由 l1：2x(m1)y40，l2：mx3y20，当 m0 时，显然 l1 与 l2 不平行当 m0 时，l1l2，需2mm13 42.解得 m2 或 m3.m 的值为 2 或3.法二：令 23m(m1)，解得 m3 或 m2.当 m3 时，l1：xy20，l2：3x3y20，显然 l1 与 l2 不重合，l1l2.同理当 m2 时，l1：2x3y40，l2：2x3y20，l1与 l2 不重合，l1l2，m 的值为 2 或3.
9、(2)法一：由题意，l1l2，若 1a0，即 a1 时，直线 l1：3x10 与直线 l2：5y20，显然垂直若 2a30，即 a32时，直线 l1：x5y20 与直线 l2：5x40 不垂直若 1a0，且 2a30，则直线 l1，l2 的斜率 k1，k2都存在，k1a21a，k2 a12a3，当 l1l2 时，k1k21，即a21a a12a3 1，所以 a1.综上可知，当 a1 或 a1 时，l1l2.法二：由 l1l2，所以(a2)(a1)(1a)(2a3)0，解得 a1.将 a1 代入方程，均满足题意故当 a1 或 a1 时，直线 l1l2.类题通法1直线l1：A1xB1yC10，直线
10、l2：A2xB2yC20.(1)若l1l2A1B2A2B10且B1C2B2C10(或A1C2A2C10)(2)若l1l2A1A2B1B20.2与直线AxByC0平行的直线方程可设为AxBym0(mC)，与直线AxByC0垂直的直线方程可设为BxAym0.活学活用(1)求与直线3x4y10平行且过点(1,2)的直线l的方程；(2)求经过点A(2,1)且与直线2xy100垂直的直线l的方程解：(1)法一：设直线 l 的斜率为 k，l 与直线 3x4y10 平行，k34.又l 经过点(1,2)，可得所求直线方程为 y234(x1)，即 3x4y110.法二：设与直线 3x4y10 平行的直线 l 的
11、方程为 3x4ym0.l 经过点(1,2)，3142m0，解得 m11.所求直线方程为 3x4y110.(2)法一：设直线 l 的斜率为 k.直线 l 与直线 2xy100 垂直，k(2)1，k12.又l 经过点 A(2,1)，所求直线 l 的方程为 y112(x2)，即 x2y0.法二：设与直线 2xy100 垂直的直线方程为 x2ym0.直线 l 经过点 A(2,1)，221m0，m0.所求直线 l 的方程为 x2y0.典例 求过点A(4,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程3.探究直线在坐标轴上的截距问题解 当直线过原点时，它在 x 轴、y 轴上的截距都是 0，满足题意此
12、时，直线的斜率为12，所以直线方程为 y12x.当直线不过原点时，由题意可设直线方程为xayb1，又过点 A，所以4a2b1.因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，所以|a|b|.由联立方程组，解得a6，b6，或a2，b2.所以所求直线的方程为x6y61 或x2 y21，化简得直线 l 的方程为 xy6 或 xy2.综上，直线 l 的方程为 y12x 或 xy6 或 xy2.多维探究1截距相等问题求过点A(4,2)且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程解：当直线过原点时，它在 x 轴、y 轴上截距都是 0，满足题意，此时直线斜率为12，所以直线方程为 y12x.当直线不过原点时，由题意可设直线
13、方程为xaya1，又过 A(4,2)，a6，方程为 xy60.综上，直线方程为 y12x 或 xy60.2截距和为零问题求过点A(4,2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程解：当直线过原点时，它在 x 轴、y 轴上截距都是 0，满足题意，此时直线斜率为12，所以直线方程为 y12x.当直线不过原点时，由题意可设直线方程为xaya1.又过 A(4,2)，42a 1，即 a2，xy2.综上，直线 l 的方程为 y12x 或 xy2.3截距成倍数问题求过点A(4,2)且在x轴上截距是在y轴上截距的3倍，求直线l的方程解：当直线过原点时，它在 x 轴、y 轴上截距都是 0，满足题意，此时直线斜
14、率为12，所以直线方程为 y12x.当直线不过原点时，由题意可设直线方程为 x3aya1，又直线过 A(4,2)，所以 43a2a1，解得 a103，方程为 x3y100.综上，所求直线方程为 y12x 或 x3y100.4截距和是定数问题求过点A(4,2)且在两坐标轴上截距之和为12的直线l的方程解：设直线 l 的方程为xayb1，由题意得4a2b1，ab12.4b2aab，即 4(12a)2aa(12a)，a214a480，解得 a6 或 a8.因此a6，b6，或a8，b4.所求直线 l 的方程为 xy60 或 x2y80.方法感悟如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距的绝对值相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m0)”等条件时，可采用截距式求直线方程，但一定要注意考虑“零截距”的情况应用落实体验(单击进入电子文档)
