1、3.4 函数的应用（一）【学习目标】课程标准学科素养1.会利用已知函数模型解决实际问题(重点).2.能建立函数模型解决实际问题(重、难点).1、数学建模2、数学抽象【自主学习】一.常见的函数模型常用函数模型(1)一次函数模型ykxb(k，b为常数，k0)(2)二次函数模型yax2bxc(a，b，c为常数，a0)(3)幂型函数模型yaxnb(a，b为常数，a0)(4)分段函数y二解决函数应用问题的步骤利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(1)审题；(2)建模；(3)求模；(4)还原.【小试牛刀】1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)一个好的函数模型，既能与现有
2、数据高度符合，又能很好地推演和预测()(2)一个长方形的周长为60 m，则其面积最大为200 m2.()(3)当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数()(4)用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了()2拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费f(m)1.06(0.50m1)，其中m0，m是大于或等于m的最小整数(如33，3.74，5.16)则从甲到乙地通话时间为5.5分钟的通话费为()A3.71 B3.97 C4.24 D4.77【经典例题】题型一一次函数、二次函数模型点拨：在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位利用二次函数求最值时应注意：1.
3、方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.2.取得最值时的自变量与实际意义是否相符.例1 商场销售进价为30元的商品，在销售中发现商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系：销售单价x(元)30404550日销售量y(件)6030150(1)在坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定x与y的一个函数关系式yf(x)；(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少时，才能获得最大日销售利润【跟踪训练】1 某运输
4、公司今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该公司预计从第1年到第年花在该台运输车上的维护费用总计为万元，该车每年运输收入为25万元.(1)该车运输几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）(2)若该车运输若干年后，处理方案有两种：当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出；当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.哪一种方案较为合算？请说明理由.题型二分段函数模型点拨：建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点，即明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式例2 某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，
5、决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x个时，零件的实际出厂单价为P元，写出函数Pf(x)的表达式；(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个时，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润实际出厂单价成本)【跟踪训练】2 某车间生产一种仪器的固定成本为10 000元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收入满足函数：H(x)其中x是仪器的月产量.(1)将利润表示为月产量的函数(用f(x)表示
6、)；(2)当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多少元？(总收入总成本利润)题型三 用幂函数模型解决实际问题点拨：确定函数模型；利用待定系数法求解解析式，利用解析式解决问题例3 在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比(1)写出函数解析式（可带参数）；(2)假设气体在半径为3 cm的管道中的流量为400 cm3/s，求该气体通过半径为r cm的管道时，其流量R的表达式；【当堂达标】1.向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数hf(t)的图象如图所示，则杯子的形状是()2.一辆匀速行驶的汽车90 min行驶的路程为180 km
7、，则这辆汽车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是()A.y2t B.y120t C.y2t(t0) D.y120t(t0)3.下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是()这几年生活水平逐年得到提高；生活费收入指数增长最快的一年是2014年；生活价格指数上涨速度最快的一年是2015年；虽然2016年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善A1B2C3D44.一个矩形的周长是20，矩形的长y关于宽x的函数解析式为()（默认yx）A.y10x(0x5) B.y102x(0x10)C.y20x(0x5) D.y202x(0x10)5.某商人
8、将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为_元.6.某厂借嫦娥奔月的东风，推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为20000元，每生产一件“玉兔”需要增加投入100元，根据初步测算，总收益满足函数，其中x是“玉兔”的月产量.(1)将利润f(x)表示为月产量x的函数；(2)当月产量为何值时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？(总收益总成本利润)【参考答案】【小试牛刀】1.(1)(2)(3)(4)2.C 解析：f(5.5)1.06(0.55.51)1.06(0.5061)1.0644.24.【经典例题】例1 解
9、(1)在平面直角坐标系中画出各点，如图这些点近似地分布在一条直线上，猜想y与x之间的关系为一次函数关系，设f(x)kxb(k0，且k，b为常数)，则解得f(x)3x150，经检验，点(45,15)，点(50,0)也在此直线上y与x之间的函数解析式为y3x150(30x50)(2)由题意，得P(x30)(3x150)3x2240x45003(x40)2300(30x50)当x40时，P有最大值300.故销售单价为40元时，日销售利润最大【跟踪训练】1 解：(1)由题意可得，即，解得，该车运输3年开始盈利.；(2)该车运输若干年后，处理方案有两种：当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出，当
10、且仅当时，取等号，方案最后的利润为：（万；当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出，时，利润最大，方案的利润为（万，两个方案的利润都是59万，按照时间成本来看，第一个方案更好，因为用时更短，方案较为合算.例2 解：(1)设每个零件的实际出厂单价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则x0100550.因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价格恰好降为51元(2)当0x100时，P60.当100x200时，f(x)30 000100x是减函数，f(x)30 000100200x，所以0x5，故选A.5. 2250 解析设彩电的原价为a元，a(10.4)80%a270，0.12a270，解得a2 250.每台彩电的原价为2 250元.6.解： (1)由题意，当时，；当时，；故；(2)当时，；当时，(元当时，(元，当时，该厂所获利润最大，最大利润为25000元
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