1、3.3.1 抛物线及其标准方程 （基础知识+基本题型）知识点一 抛物线的定义1定义平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线2集合语言表示设点是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合提示：（1）抛物线定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F，即抛物线的焦点；一条定直线l，即抛物线的准线；一个定值，即点M到定点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1（2）定义中的隐含条件：焦点F不在直线l上，若点F在直线l上，点M的轨迹就变为过点F且垂直于直线l的一条直线例如，到点与到直线的
2、距离相等的点的轨迹方程为是一条直线（3）由于抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，故在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离相互转化，通过这种转化使问题简单化拓展：圆锥曲线的统一定义：平面内到定点的距离和到定直线的距离之比为常数的点的轨迹称为圆锥曲线定点是焦点，定直线是与点相对应的准线，当时，是双曲线；当时，是抛物线；当时，是椭圆知识点二 抛物线的标准方程1抛物线的标准方程顶点在原点，对称轴为轴，开口向右的抛物线的标准方提示：（1）的几何意义：参数p是焦点到准线的距离，所以恒为正数（2）焦点的横坐标是一次项系数的（3）准线与坐标轴的
3、交点与抛物线的焦点关于原点对称2抛物线标准方程的四种形式图形标准方程焦点坐标准线方程（）（）（）（）提示：对抛物线标准方程的四点说明：（1）四个标准方程的区分：焦点在一次项对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定，当系数为，正时，开口与坐标轴的正方向相同；当系数为负时，开口与坐标轴的负方向相同（2）焦点在轴上的抛物线的标准方程通常又可写为，这与以前所学习的二次函数的解析式类似，但需要注意的是，由方程来求其焦点坐标和准线方程时，必须先化成标准形式（3）标准方程可以统一为两类：一类是焦点在轴上，可统一为其焦点坐标为，准线方程为；另一类是焦点在轴上，可统一为，其焦点坐标为，准线方程为（4）抛物
4、线上的点到焦点的距离根据定义可转化为到准线的距离，即(焦点轴上)或(焦点轴上)，以上两公式称为焦半径公式，它们在解题中有着重要的作用考点一 抛物线定义的应用例1 （1）一动圆圆心在抛物线上，该圆过点且与定直线l相切，则直线l的方程为 .（2）已知抛物线，焦点是为抛物线上一动点，以AF为直径的圆与定直线相切，则直线的方程为 .解析：（1）因为动圆过点且与定直线相切，所以动圆圆心到点的距离与它到定直线的距离相等又因为动圆圆心在抛物线上，且为抛物线的焦点，所以为抛物线的准线所以直线的方程为（2）因为为抛物线的焦点，设则的中点坐标为， 又因为圆的半径为，所以圆心到轴的距离恒等于半径，所以直线的方程为答
5、案：（1）；（2）抛物线的定义既奇以用来确定动点的轨迹，又可以解决与之相关的其他问题，应用时要注意数形结合，合理转化考点二 求抛物线的标准方程例2 已知动点的坐标满足，则动点的轨迹方程为_解析：设直线则动点到点的距离为，动点到直线的距离为，又因为，所以动点M的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其轨迹方程为答案：总结:本题是利用定义法求抛物线方程的一种经典题型，解这类题目时我们要善于进行结构联想，如具有平面上两点间距离的结构，且有数轴上两点间距离的结构把它们转化为距离后利用拍物线的定义可求轨进方程例3 已知抛物线的焦点轴上，抛物线上的点到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程和的值解：方法1：设抛物
6、线的标准方程为， 则由题意，得解得或故所求的抛物线的标准方程为的值为方法2：设抛物线的标准方程为则焦点F准线方程为根据抛物线的定义，点M到焦点的距离等于5，所以点M到准线的距离为5，即所以因此，抛物线的标准方程又因为点在抛物线上所以，得故所求抛物线的标准方程为的值为已知抛物线的某些几何元素的特征，求抛物线的标准方程的方法：一是抛物线的标准中只有一个参数用待定系数法求解，但在设方程形式时，要注意；二是找到焦点坐标、准线方程等条件，直接李勇定义求解考点三 求抛物线的焦点坐标和准线方程例4 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：（1）； （2）； （3）解:（1）因为所以焦点坐标是，准线方程是（2）抛物
7、线方程化为标准形式为因此所以焦点坐标是准线方程是（3）由知所以焦点坐标是准线方程是已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程时，先看抛物线方程是不是标准方程，若不是，需化为标准方程依据标准方程，由一次项（是还是）及其符号（是正还是负）确定抛物线开口方向，可知焦点和准线位置；由一次项的系数确定（大于零）的值，求得，进而得出焦点坐标和准线方程考点四 抛物线中的最（定）值问题例5 已知A，F为抛物线的焦点，点M在抛物线上移动，当取最小值时，点的坐标为（ ）A B C D解析：如图24-1所示，过点作准线的垂线，垂足为，由抛物线定义，知当在抛物线上移动时，的值在变化，显然移动到时，三点共线，最小，此时，把代入
8、，得，所以当取最小值时，点的坐标为.答案：D总结：抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，因而抛物线上的点到定点（焦点）的距离与它到定直线（准线）的距离可以相互转化，而且这两者的相互转化在解题中起重要作用，是求解此类问题的重要方法.例6 已知抛物线的方程为，是其焦点，点在抛物线的内部，在此抛物线上求一点，使的值最小.分析：如图2.4-2所示，根据抛物线的定义，把转化为，使折线段的两端点分别落在抛物线的两侧，通过数形结合，可知当三点共线时，距离最小.解析：点在抛物线的内部如图所示，设抛物线的准线为，过点作于点，过点作于点由抛物线的定义，知，当且仅当三点共线时，的值最小.设点的坐标为代入，得故
9、当点的坐标为g时，的值最小 （1）解关于抛物线的最值，定值问题时，首先要注意抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线的距离的转化，其次是注意平面几何知识的应用例如，两点之间线段最短，三角形中三边之间的不等关系等（2）在本题中，在抛物线得外部，可连接，则与抛物线的交点可使的值最小应用点五 抛物线的实际应用问例7 某河上有一座抛物线形拱桥，当水面距拱桥时，水面宽8，一木船宽，高，载货后木船露在水面上的部分高为，问水面上涨到与拱顶相距多少米时，木船开始不能通航？分析：以拱桥的拱顶为坐标原点，拱高所在直线为轴建立如图24-3所示的平面直角坐标系，设水面上涨到一定程度时，木船与拱桥得接触点为此时木船开始不能通航，水面距离为，利用待定系数法求出抛物线方程，由点横坐标为2，可求解：以拱桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为轴建立如图24-3所示的平面直角坐标系设抛物线方程为由题意，知点在抛物线上，所以，得所以抛物线方程为设水面上涨到船面两侧与拱桥接触，点时，木船开始不能通航，设点的坐标为由此时水面与拱顶相距答：水面上涨到与拱顶相距时，木船开始不能通航与抛物线有关的应用题，可画出示意图，通过数形结合思想来解决，把实际问题转化为数学问题，建立适当的平面直角坐标系是解决问题的关键，利用数学模型，通过数学语言（文字、符合、图形、字母等）表达、分析、解决问题
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