1、3.3 3.4 中心对称与图案设计课堂知识梳理1、成中心对称：两个图形中的一个绕某一点（旋转中心）旋转180度，能够与另一个图形重合。 性质：成中心对称的两个图形中，对应点所连的线段经过对称中心，且被对称中心平分。2、中心对称图形：一个图形绕某一个点旋转180度能与自身重合 特例图形：既满足轴对称又中心对称的图形：正偶边形，圆，正方形，长方形。 只是轴对称：正奇边形，等腰三角形，等腰梯形。只是中心对称：平行四边形3、对称时的坐标变化：关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数总述，关于哪个轴对称哪个坐标不变，另一个坐标互为相反数点P与点p关于原点对称横、纵
2、坐标均互为相反数课后培优练级练培优第一阶基础过关练1下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）ABCD【答案】A【详解】解：A、该选项既是轴对称图形，也是中心对称图形，故该选项符合题意；B、该选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意；C、该选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意；D、该选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意故选：A【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等2如图，ABC与ABC关于点O成中心对称，则
3、下列结论中不成立的是（）A点A与点A是对称点BBO=BOCABABDACB=CAB【答案】D【详解】解：ABC与ABC关于点O成中心对称，点A与A是一组对称点，BO=BO，AO=AO，AB=AB，ABOABO，ABO=ABO，ABAB.所以A，B，C正确；A，B，C都不合题意ACB与CAB不是对应角，ACB=CAB不成立故选：D3.将点P3,5绕原点顺时针旋转180，点P的对应点的坐标为（）AP-3,5BP3,-5CP-3,-5DP-5,-3【答案】C【详解】解：根据题意得，点P关于原点的对称点是点P，P点坐标为P3,5，点P的坐标-3,-5故选：C4如图，将ABC绕点C（0，-1）旋转180
4、得到ABC，设点A的坐标为（a，b），则点A的坐标为（）A（-a，-b）B（-a，-b-1）C（-a，-b+1）D（-a，-b-2）【答案】D【详解】解：根据题意，点A、A关于点C对称，设点A 的坐标是（x，y），则a+x2=0，b+y2=-1，解得x=-a，y=-b-2，点A的坐标是(-a，-b-2)故选：D5下列命题正确的个数是（）两个全等三角形必关于某一点中心对称关于中心对称的两个三角形是全等三角形两个三角形对应点连线都经过同一点，则这两个三角形关于该点成中心对称关于中心对称的两个三角形，对应点连线都经过对称中心A1B2C3D4【答案】B【详解】两个全等三角形不一定关于某一点中心对称，所
5、以的说法错误；关于中心对称的两个三角形是全等三角形是中心对称的性质，所以的说法正确；两个三角形对应点连线都经过同一点，且对应点到这一点的距离相等，那么这两个三角形关于该点成中心对称，所以的说法不正确；关于中心对称的两个三角形，对应点连线都经过对称中心，是中心对称的性质，所以的说法正确所以正确的共2个，故选：B6点A(-1,a)与点A(b,2)关于原点对称，则(a+b)2023=_【答案】-1【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，即可求出答案【详解】解：点A(-1,a)与点A(b,2)关于原点对称，b=1，a=-2，则a+b2023=-2+12023=-1故答案为：-17.如图，A
6、BC与AB C 关于点A对称，若C90，B30，AC1，则BB的长为 _【答案】4【详解】解：ABC与AB C 关于点A对称，ABCAB C，AB=AB，C90，B30，AC1，AB=2AC=2，AB=2，BB=AB+AB=2+2=4，故答案为：48如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位(1)把ABC绕着点O逆时针旋转180，画出旋转后对应的A1B1C1：(2)根据作图写出点A1和B1的坐标【答案】(1)答案见详解；(2)A1(2,-3)、B1(3,-1)【详解】（1）解：如图所示，A1B1C1为所画；（2）解：由图形可知：A(-2,3)、B(-3,1)；根据题意，A1B1C1与
7、ABC关于原点成中心对称，点A与点A1关于原点对称，点B与点B1关于原点对称，故点A1和B1的坐标：A1(2,-3)、B1(3,-1)9如图，在四边形ABCD中，ADBC，E是CD上一点，点D与点C关于点E中心对称，连接AE并延长，与BC延长线交于点F(1)填空：E是线段CD的 ，点A与点F关于点 成中心对称，若ABAD+BC，则ABF是 三角形(2)四边形ABCD的面积为12，求ABF的面积【答案】(1)中点，E，等腰(2)12【详解】（1）解：点D与点C关于点E中心对称，E是线段CD的中点，DEEC，ADBC，DDCF，在ADE与FCE中，D=ECFDE=CEAED=FEC，ADEFCE（
8、ASA），AEFE，ADCF，点A与点F关于点E成中心对称，ABAD+BC，BFCFBCADBC，ABBF，则ABF是等腰三角形故答案为：中点，E，等腰；（2）ADEFCE，ADE与FCE面积相等，ABF的面积等于四边形ABCD的面积，四边形ABCD的面积为12，ABF的面积为1210图、图均是66的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上，在图、图中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法(1)在图中以线段AB为边画一个四边形ABEF，使四边形ABEF既是轴对称图形又是中心对称图形；(2)在图中以线
9、段CD为边画一个四边形CDGH，使四边形CDGH只是中心对称图形【答案】(1)见解析(2)见解析【详解】（1）解：如图所示，四边形ABEF是正方形，既是轴对称图形又是中心对称图形 （2）解：如图所示，四边形CDGH只是中心对称图形11请认真观察图（1）的4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：(1)请写出这四个图案都具有的两个共同特征：特征1： ；特征2： (2)请在图（2）中设计出你心中最美的图案，使它也具备你所写出的上述特征（用阴影表示）【答案】(1)是轴对称图形；是中心对称图形(2)见解析【详解】（1）解：根据题意得：特征1：是轴对称图形，特征2：是中心对称图形；（2）解：画出图如图所
10、示：12下列33网格图都是由9个相同的小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影：(1)在图（1）中选取1个小正方形涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形；(2)在图（2）中选取1个小正方形涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形；(3)在图（3）中选取2个小正方形涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形（请选用两种不同的方案，分别填在图（3）两个图形中）【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【详解】（1）解：画出下列其中一种即可（2）解：画出下列其中一种即可（3）解：画
11、出下列其中两种即可13如图，AGB与CGD关于点G中心对称，若点E，F分别在GA，GC上，且AE=CF，求证：BF=DE【答案】证明见解析【详解】证明：AGB与CGD关于点G中心对称，BG=DG，AG=CG，AE=CF，AG-AE=CG-CF，EG=FG，又DGE=BGF，DGEBGFSAS，BF=DE培优第二阶拓展培优练14 2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”，下列四个有关环保的图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）ABCD【答案】D【详解】解：A、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意；B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；C、既不是轴对称
12、图形，又不是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；故选D15如图，已知等边ABC和等边BDE，其中A、B、D三个点在同一条直线上，且ABBD，连接AE、CD则下列关于图形变换的说法正确的是（）ABDE可看作是ABC沿AB方向平移所得BABC和BDE关于过点B且垂直于AB的直线成轴对称CBCD可看作是由ABE绕点B顺时针方向旋转60所得DABC和BDE关于点B成中心对称【答案】C【详解】解：A、ABBD，BDE不能看作是ABC沿AB方向平移所得，说法错误；B、ABBD，ABC和BDE不关于过点B且垂直于AB的直线成轴对称，说法错误；C、ABC和BDE是等边三角形
13、，BABC，BEBD，ABCEBD60，ABECBD，ABECBD（SAS），又ABC60，BCD可看作是由ABE绕点B顺时针方向旋转60所得，说法正确；D、由中心对称的性质可知：ABC和BDE不关于点B成中心对称，说法错误；故选：C16如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，0），（0，1），-1,0一个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点P1，使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称：第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，
14、使得点P6与点P4关于点B成中心对称；，照此规律重复下去，则点P2013的坐标为（）A（2，2）B-2,2C0,-2D-2,0【答案】C【详解】解：点P1与点O关于点A成中心对称，P1(2，0)，过P2作P2DOB于点D，P2与点P1关于点B成中心对称，P1B=P2B，在P1BO和P2BD中P1BO=P2BDP1OB=P2DBP1B=P2B，P1BOP2BD，P2D=P1O=2，BD=BO=1，OD=2，P2(-2，2)，同理可求：P3(0，-2)，P4(2，2)，P5(-2，0)，P6(0，0)，P7(2，0)，从而可得出6次一个循环，20136=3353，点P2013的坐标为(0，-2)故
15、选C17用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为9，小正方形地砖面积为2，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD则正方形ABCD的面积为_ 【答案】11【详解】解：如图，连接DK，DN，KDN=MDT=90，KDM=NDT，DK=DN，DKM=DNT=45，DKMDNT（ASA），SDKM=SDNT，S四边形DMNT=SDKN=14大正方形的面积，正方形ABCD的面积=4149+2=11故答案为：1118如图， 在平面直角坐标系中， 若ABC与A1B1C1关于E点成中心对称， 则对称中心E点的坐标是_【答案】3，-1【详解】解：如图，连接AA
16、1，CC1，两连线的交点，即为对称中心E点，对称中心E点的坐标是3，-1故答案为：3，-119如图，在平面直角坐标系中，将ABC称为“基本图形”，且各点的坐标分别为A0,1，B2,0，C4,4(1)画出“基本图形”关于原点O对称的A1B1C1，并写出A1,B1,C1的坐标A1（_，_），B1（_，_），C1（_，_）；(2)画出“基本图形”关于x轴的对称A2B2C2；(3)已知P为y轴上一点，若ABP的面积是ABC面积的25，求点P的坐标【答案】(1)图见解析，0,-1，-2,0，-4,-4(2)见解析(3)0,3或0,-1【详解】（1）如图所示A1B1C1就是所求，A10,-1，B1-2,0
17、，C1-4,-4（2）如图所示A2B2C2就是所求（3）设P点坐标为0,a因为SABC=44-1242-1243-1221=5，则SABP=122a-1=525，解得a=-1或3，点P的坐标为0,3或0,-120图、图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，请在给定的网格中分别按要求画图(1)在图中，找一个格点C，使以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形(2)在图中，找两个格点D，E，使以点A，B，D，E为顶点的四边形是中心对称图形【答案】(1)见解析(2)见解析【详解】（1）解：如图，点C为所作（2）解：如图，点D、E为所作21如图
18、，在边长为1的正方形网格中，ABC的顶点均在格点上(1)画出ABC关于原点成中心对称的A1B1C1；(2)画出ABC绕C点顺时针旋转90得到的A2B2C，直接写出B2的坐标为_；(3)若P为y轴上一点，求PA+PC的最小值【答案】(1)见解析(2)图见解析，B2-1,-1(3)见解析，PA+PC的最小值为34【详解】（1）解：如图，A1B1C1即为所求；（2）如图，A2B2C即为所求，B2-1,-1；故答案为：-1,-1；（3）如图，点P即为所求，此时PA+PC=PA+PC=AC，即PA+PC的最小值为AC，AC=32+52=34，PA+PC的最小值为3422规定：在平面内，如果一个图形绕一个
19、定点旋转一定的角度（0180）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度称为这个图形的一个旋转角例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90或180后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角根据以上规定，回答问题：（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是_；A矩形B正五边形C菱形D正六边形（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：_（填序号）；（3）下列三个命题：中心对称图形是旋转对称图形；等腰三角形是旋转对称图形；圆是旋转对称图形，其中真命题的个数有（）个；A0B1C2D3（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和
20、圆构成，旋转角有45，90，135，180，将图形补充完整【答案】（1）B；（2）(1)(3)(5)；（3）C；（4）见解析【详解】解：（1）矩形、正五边形、菱形、正六边形都是旋转对称图形，但正五边形不是中心对称图形，故选：B（2）是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有(1)(3)(5)故答案为：(1)(3)(5)（3）中心对称图形，旋转180一定会和本身重合，是旋转对称图形；故命题正确；等腰三角形绕一个定点旋转一定的角度（0180）后，不一定能与自身重合，只有等边三角形是旋转对称图形，故不正确；圆具有旋转不变性，绕圆心旋转任意角度一定能与自身重合，是旋转对称图形；故命题正确；即命题中正确
21、，故选：C（4）图形如图所示：培优第三阶中考沙场点兵23（2022山东淄博统考中考真题）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）ABCD【答案】D【详解】解：A不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；B不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；C不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；D既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D24（2022江苏徐州统考中考真题）下列图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）ABCD【答案】C【详解】解：A、是中心对称图形，是轴对称图形，故A选项不合题意；B、是中心对称图形，是轴对称图形，故B选项不合
22、题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意；D、是中心对称图形，是轴对称图形，故D选项不合题意；故选：C25（2022贵州遵义统考中考真题）在平面直角坐标系中，点Aa,1与点B-2,b关于原点成中心对称，则a+b的值为（）A-3B-1C1D3【答案】C【详解】解：点Aa,1与点B-2,b关于原点成中心对称，a=2,b=-1，a+b=2-1=1，故选C26（2022湖南湘西统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知点P（3，5）与点Q（3，m2）关于原点对称，则m_【答案】-3【详解】解：根据P、Q两点关于原点对称，则横、纵坐标均互为相反数，m-2=-5，m=-3，故答案为：-327
23、（2022四川广安统考中考真题）数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形， 下图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请同学们在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形或中心对称图形，请画出4种不同的设计图形规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形）【答案】见解析【详解】解：如下图所示：28（2022吉林统考中考真题）图，图均是44的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点其中点A，B，C均在格点上请在给定的网格中按要求画四边形(1)在图中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形；(2)在图中，找一格点E，使以点A，B，C，E为顶点的四边形是中心对称图形【答案】(1)图见解析(2)图见解析【详解】（1）解：如图，四边形ABCD是轴对称图形（2）解：先将点B向左平移2格，再向上平移1个可得到点A，则将点C按照同样的平移方式可得到点E，如图，平行四边形ABCE是中心对称图形
