1、3.3 指数运算及指数函数（精讲）一.根式1.如果xna，那么叫做a的n次方根；2.式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数；3.()n当n为奇数时，；当n为偶数时，|a|二.分数指数幂的意义1.分数指数幂正分数指数幂：a(a0，m，nN*，且n1)负分数指数幂：a(a0，m，nN*，且n1)0的分数指数幂：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义2.实数指数幂的运算性质arasars(a0，r，sR)(ar)sars(a0，r，sR)(ab)rarbr(a0，b0，rR)三指数函数的概念、图象与性质1指数函数的概念函数yax(a0，且a1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义
2、域是R，a是底数易错点：形如ykax，yaxk(kR且k0，a0且a1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数.2指数函数yax(a0，且a1)的图象与性质底数a10a0时，恒有y1；当x0时，恒有0y0时，恒有0y1；当x1在定义域R上为增函数在定义域R上为减函数注意指数函数yax(a0，且a1)的图象和性质与a的取值有关，应分a1与0a0，且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.三指数函数的图象与底数大小的比较1.如图是指数函数(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为cd1ab0.由此可得到以下规律：在第一象限内，
3、指数函数yax(a0，且a1)的图象越高，底数越大2.有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除；(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论；(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解；(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x1与图象的交点进行判断 3.比较指数式的大小的方法是(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同
4、底数的，一般引入“1”等中间量比较大小4.指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化考法一 指数幂运算【例1】（2023贵州）化简求值（1）（2）(3)；(4)（5）已知：，求的值【答案】(1)；(2)(3)(4)（5）【解析】（1）原式 （2）原式 （3）（4）（5）因为，所以，即，所以，即，所以.【一隅三反】1.（2023安徽）计算或化简下列各式：(1)；(2)(3)；(4)已知，求下列各式的值：；【答案】(1)(2)(3)89；(4)；.【解析】（1）原式（2）原式（3）原式；（4），又由得，所以；（法一），（法二），而，又由得，所以.2（2023云南）解下列方程：(1)；
5、 (2)； (3)；(4)【答案】(1)；(2)或；(3)或；(4).【解析】（1）由，可得，所以，所以，即，所以；（2）由，可得，所以，所以或，由，可得，故，由，可得，即，所以，即，所以或；（3）因为，所以原方程可化为，即，两边取对数可得，即，所以或，经检验或是原方程的解，所以或；（4）由，可得，所以，即，经检验满足题意，所以.考法二 指数函数的三要素及定点【例2-1】（2023广东）函数；中，是指数函数的是_【答案】【解析】因为指数函数为且，故正确；由幂函数定义知，是幂函数，故不正确；由指数函数的定义知，均不是指数函数；对于，当时，不是指数函数.故答案为：.【例2-2】（2023广东湛江）
6、函数的定义域为_【答案】【解析】由题设，即，所以，可得，故函数定义域为.故答案为：【例2-3】（2023上海奉贤）点、都在同一个指数函数的图像上，则t=_【答案】9【解析】设指数函数为，其中且，将、代入函数解析式得，解得，.故答案为：9【例2-4】（1）（2023春湖北咸宁）当时，函数的值域是（ ）A BCD（2）（2023辽宁丹东）函数的值域为（）ABCD【答案】（1）C（2）A【解析】（1）因为指数函数在区间上是增函数，所以，于是，即所以函数的值域是.故选：C.（2）依题意，令，则，因为单调递减，且所以，所以.故选：A.【例2-5】（1）（2023云南）函数恒过定点 （2）（2023全国高
7、三专题练习）函数且的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为_.【答案】（1）（2）【解析】由题设，当，即时，所以函数过定点.故选：B（2）令，即，则，所以的图象恒过定点，因为点在直线上，所以，又，所以，当且仅当且，即，时取等号，所以的最小值为.故答案为：.【一隅三反】1（2023春山东滨州）函数的定义域为 【答案】【解析】由题意得，即，解得2（2023上海）已知函数是指数函数，求实数a的值 【答案】4【解析】因为函数是指数函数，所以，解得，即实数a的值为4.3（2023江西）下列函数中，属于指数函数的是_（填序号）；（a为常数，）；【答案】【解析】对：指数式的系数为2，不是1，故不
8、是指数函数；对：其指数为，不是，故不是指数函数；对：满足指数函数的定义，故都是指数函数；对：是幂函数，不是指数函数；对：指数式的系数为，不是1，故不是指数函数；对：指数的底数为，不满足底数大于零且不为1的要求，故不是；综上，是指数函数的只有.故答案为：.4（2023春北京顺义）函数的定义域为_【答案】且【解析】要使函数函数有意义，需满足，解得且，故函数的定义域为且，故答案为：且5（2023全国高三专题练习）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，求函数的解析式 .【答案】【解析】因为函数是定义域为的奇函数，所以，当时，当时，则，所以当时，所以.6（2023宁夏银川校联考二模）已知函数，则其值域为_
9、【答案】【解析】令，又关于对称，开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增，且，时，函数取得最小值，即，时，函数取得最大值，即，.故答案为：.7（2023春上海嘉定）已知函数的值域为，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】当时，；当时，.因为原函数的值域为，即，则，解得.故答案为：.8.（2023北京）函数且的图象恒过某定点，则此定点为 【答案】【解析】令，得，所以函数且的图象恒过定点.考法三 指数函数的单调性及综合运用【例3-1】（2023春河南周口）函数的单调递增区间为_.【答案】【解析】令，则在上单调递减，在上单调递增，又在定义域上单调递减，所以的单调递增区间.故答案为：【例3-2】（2
10、023湖北）函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（）ABCD【答案】C【解析】设，其图象开向上，对称轴为直线函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，又在上单调递增， ，解得故选：C.【例3-3】（1）（2023春上海嘉定）不等式的解集为_（2） （2022海南校联考模拟预测）不等式的解集为 【答案】（1）（2）【解析】原式可化为，因为为减函数，所以，即，解得或，所以原不等式的解集为.故答案为：.（2）构造函数，易知函数在上为单调递增函数因为不等式等价于，又，所以，所以由函数的单调性知，即，解得或，所以原不等式的解集为.【例3-4】（2023全国高三专题练习）设，则（）ABCD【答案】C【
11、解析】因为，又函数在上单调递增，所以所以，故选：C【一隅三反】1.（2023新疆）已知函数|在区间上是增函数，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】由的图象向右平移1个单位，可得的图象，因为是偶函数，且在上单调递增，所以函数在上单调递增，因为函数|在区间上是增函数，所以，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：.2.（2022天津）求函数的单调区间 .【答案】增区间为-2,+)，减区间为(-,-2).【解析】设t0，又yt28t17=（t-4）2+1在(0，4上单调递减，在(4，)上单调递增.令4，得x2，令4，得x2.而函数t在R上单调递减，所以函数的增区间为 -2,+)，减区间为(-,-2)
12、.3（2023河北）已知函数，则不等式的解集是 【答案】【解析】由得，则，根据在上单调递增，所以，解得，即的解集为。4（2023全国高三专题练习）已知函数在上单调，则a的取值范围是 【答案】【解析】的开口向下，对称轴是直线，所以函数在上单调递增，依题意可知，在上单调递增，所以，解得，所以的取值范围是.5（2023全国高三专题练习）已知， ，则、的大小关系为_【答案】【解析】由题意可知，故；又，因为，故，综合可得.故答案为: 6.（2023江苏宿迁）若，且满足，那么（）ABCD【答案】C【解析】由，可得.因为函数在上单调递减，所以.因为函数在上单调递减，所以.因为函数在上单调递减，所以.综上，.
13、故选：C考法四 指数函数的奇偶性【例4-1】（2023全国高三专题练习）若函数为奇函数，则_【答案】/或/或【解析】因为函数为奇函数，所以由可得，即，整理得，解得，经检验，当或时，满足，故答案为：【例4-2】2023全国高三专题练习）已知函数为偶函数，则（）A-1B-2C2D1【答案】A【解析】因为函数为偶函数，所以，所以，即得可得，成立，所以.故选：A.【例4-3】（2023四川绵阳统考模拟预测）设函数在定义域上满足，若在上是减函数，且，则不等式的解集为（）ABCD【答案】A【解析】，即，故函数在定义域上奇函数，若在上是减函数，则在上是减函数，且，若，则，解得，故不等式的解集为.故选：A.【
14、一隅三反】1（2023全国高三专题练习）若为奇函数，则实数_.【答案】【解析】若为奇函数，则，故，解得.故答案为：1.2（2023山东潍坊统考二模）已知函数，则（）A是奇函数，且在R上是增函数B是偶函数，且在R上是增函数C是奇函数，且在R上是减函数D是偶函数，且在R上是减函数【答案】C【解析】函数的定义域为R，因为，所以函数为奇函数，又因为函数在R上都是减函数，以函数所在R上是减函数.故选：C.3（2023辽宁鞍山校联考一模）函数是定义在R上的偶函数，且，若，则（）A4B2C1D0【答案】B【解析】因为，且是定义在R上的偶函数，所以，令，则，所以，即，所以函数的周期为2，所以.故选：B.4（2
15、023全国高三专题练习）已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（）ABCD【答案】B【解析】因为函数为偶函数，则，即，又因为函数为奇函数，则，即，联立可得，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，故函数的最小值为.故选：B.考法五 指数函数的图像【例5-1】（2023春内蒙古赤峰）若的图像如图，（，是常数），则（）A，B，C，D，【答案】D【解析】由图可知函数在定义域上单调递减，所以，则，所以在定义域上单调递增，又，即，所以.故选：D【例5-2】（2023北京人大附中校考三模）已知函数，则大致图象如图的函数可能是（）ABCD【答案】D【解析】，的定义域均为，且,，所以为奇
16、函数，为偶函数.由图易知其为奇函数，而与为非奇非偶函数，故排除AB.当时，排除C.故选:D【一隅三反】1（2023云南）函数的图像大致为（）ABCD【答案】D【解析】若函数有意义，则，解得，所以函数的定义域为；因为，所以；所以为定义域上的偶函数，图像关于轴对称，可排除选项A，C；当时, ,排除选项B故选：D2（2023春江苏南京）已知函数的图象如图所示，则可以为（）ABCD【答案】D【解析】对于A，由函数图像可知，时，而，当时，故A错误；对于B，由函数的图像可以看出，当时，函数有意义，而函数在无定义，故B错误；对于C，函数图像关于原点对称，即函数为奇函数，由为非奇非偶函数，故C错误；对于D，是
17、一个奇函数，时，符合图象，故D正确.故选：D.3（2023全国高三专题练习）函数 的图象大致是（）ABCD【答案】D【解析】，排除BC；当时，当时，A不满足，排除.故选：D4（2023全国高三专题练习）函数的图象大致是（）ABCD【答案】C【解析】，函数定义域为，函数为奇函数，排除BD；，故，排除A.故选：C考法六 指数函数的综合运用【例6-1】（2023贵州）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：与时间（单位：）间的关系为，其中，是正的常数如果在前消除了的污染物，则10小时后还剩下百分之几的污染物？（）ABCD【答案】C【解析】由题意知，所以，所以，则时，.故选：
18、C.【例6-2】（2023春湖北襄阳）已知函数，则的图象（）A关于直线对称B关于点对称C关于直线对称D关于原点对称【答案】A【解析】对于A项，由已知可得，所以的图象关于直线对称，故A项正确；对于B项，因为，则，故B项错误；对于C项，则，故C错误；对于D项，因为，则，故D错误.故选:A.【一隅三反】1（2023全国高三专题练习）已知函数为偶函数，则函数的值域为_.【答案】【解析】函数（）是偶函数，易得，设，则，当且仅当即时，等号成立，所以，所以函数的值域为故答案为：2（2023全国高三专题练习）已知函数，若不等式在R上恒成立，则实数m的取值范围是_.【答案】【解析】令因为在区间上是增函数，所以因此要使在区间上恒成立，应有，即所求实数m的取值范围为故答案为：.3（2023云南昆明高三昆明一中校考阶段练习）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】因为，所以原不等式可转化为在上恒成立，令，要使在上恒成立，当时，不符合题意，当时，若要在上恒成立，由一元二次函数的图象和性质可得该函数图象开口向下，即，当对称轴，即时，只需，解得；当对称轴，即时，只需，解得；综上所述，故答案为：
