1、第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数3.1.3 导数的几何意义课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页学习目标：1.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程(重点)2.理解导函数的概念、会求简单函数的导函数(重点)3.理解在某点处与过某点的切线方程的区别(难点、易混点)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页自 主 预 习探 新 知1导数的几何意义(1)切线的定义设点P(x0，f(x0)，Pn(xn，f(xn)是曲线yf(x)上不同的点，当点Pn(xn，f(xn)(n1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0)时，割线PPn趋
2、近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为过点P的_，且PT的斜率klimx0 fxnfx0 xnx0_切线f(x0)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)导数的几何意义函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处_，在点P处的切线方程为_切线的斜率yf(x0)f(x0)(xx0)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页思考：曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？提示 不一定曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的
3、直线课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2导函数的概念从求函数f(x)在xx0处导数的过程看到，当xx0时，f(x0)是一个_；当x变化时，f(x)是x的一个函数，称为f(x)的导函数(简称导数)，yf(x)的导函数有时也记作y，即f(x)y_.确定的数limx0fxxfxx课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页基础自测1思考辨析(1)直线与曲线相切则直线与已知曲线只有一个公共点()(2)过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点()(3)若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处无切线()(4)函数f(x)在点x0处的导数f(x
4、0)与导函数f(x)之间是有区别的()答案(1)(2)(3)(4)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2设f(x0)0，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线()A不存在 B与x轴平行或重合C与x轴垂直D与x轴斜交B 由f(x0)0知，曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线斜率为0，所以切线与x轴平行或重合课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3如图3-1-5所示，函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是yx8，则f(5)f(5)()【导学号：97792127】A12B1C2 D0图3-1-5C 由题意知f(5)1，f(5)583，则
5、f(5)f(5)2.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页合 作 探 究攻 重 难求曲线的切线方程(1)y1x在点12，2 处的切线方程是()Ayx2 Byx12Cy4x4 Dy4x2(2)已知曲线yx3x2，则曲线过点P(1,2)的切线方程为_课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页思路探究(1)先求y|x12，即切线的斜率，然后写出切线方程(2)设出切点坐标，求切线斜率，写出切线方程，利用点P(1，2)在切线上，求出切点坐标，从而求出切线方程课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解析(1)先求y1x在x12处的导数：y112x
6、112 4x12x.y|x12limx0yxlimx0412x4.所以切线方程是y24x12，即y4x4.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)设切点为(x0，x30 x02)，则得y|xx0limx0 x0 x3x0 x2x30 x02xlimx0(x)23x0 x3x201)3x201.所以切线方程为y(x30 x02)(3x201)(xx0)将点P(1,2)代入得：2(x30 x02)(3x201)(1x0)，即(x01)2(2x01)0，所以x01或x012，课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页所以切点坐标为(1,2)或 12，198
7、，所以当切点为(1,2)时，切线方程为y22(x1)，即2xy0，当切点为12，198 时，切线方程为y198 14x12，即x4y90，所以切线方程为2xy0或x4y90.答案(1)C(2)2xy0或x4y90课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 1.求曲线在某点处的切线方程的步骤 课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2.求过点(x1，y1)的曲线yf(x)的切线方程的步骤(1)设切点(x0，y0)(2)求f(x0)，写出切线方程yy0f(x0)(xx0)(3)将点(x1，y1)代入切线方程，解出x0，y0及f(x0)(4)写出切线方程
8、课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练1(1)曲线yf(x)2x在点(2，1)处的切线方程为_x2y40 ylimx0fxxfxxlimx02xx2xxlimx02xxxxx2x2，因此曲线f(x)在点(2，1)处的切线的斜率k22212.由点斜式可得切线方程为y112(x2)，即x2y40.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)试求过点P(3,5)且与曲线yx2相切的直线方程.【导学号：97792128】解 设所求切线的切点为A(x0，y0)点A在曲线yx2上，y0 x20，又A是切点，ylimx0yxlimx0 xx2x2x2x.过
9、点A的切线的斜率y|xx02x0.所求切线过P(3,5)和A(x0，y0)两点，其斜率为y05x03x205x03.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2x0 x205x03，解得x01或x05.从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)当切点为(1,1)时，切线的斜率为k12x02；当切点为(5,25)时，切线的斜率为k22x010.所求的切线有两条，方程分别为y12(x1)和y2510(x5)，即y2x1和y10 x25.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页求切点坐标 在曲线yx2上求一点，使得在该点处的切线：(1)平行于直线y4x5；(2)
10、垂直于直线2x6y50；(3)倾斜角为135.分别求出满足上述条件的点的坐标课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页思路探究 先求出函数的导函数f(x)，再设切点(x0，y0)，由导数的几何意义知切点(x0，y0)处的切线的斜率为f(x0)，然后根据题意列方程，解关于x0的方程即可求出x0，又点(x0，y0)在曲线yx2上，易得y0.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 设yf(x)，则f(x)limx0fxxfxx limx0 xx2x2x limx0(2xx)2x.设P(x0，y0)是满足条件的点(1)因为切线与直线y4x5平行，所以2x04，
11、解得x02，所以y04，即P(2,4)(2)因为切线与直线2x6y50垂直，且直线2x6y50的斜率为13，所以2x0131，解得x032，所以y094，即P32，94.(3)因为切线的倾斜角为135，所以切线的斜率为1，即2x01，解得x012，所以y014，即P12，14.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 解答此类题目时，所给直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练2
12、已知抛物线y2x21，求(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4xy20?(2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x8y30?解 设切点坐标为(x0，y0)，则y2(x0 x)212x2014x0 x2(x)2yx4x02xy|xx0limx0yxlimx0(4x02x)4x0.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(1)抛物线的切线平行于直线4xy20，斜率为4，即f(x0)4x04，得x01，该点为(1,3)(2)抛物线的切线与直线x8y30垂直，斜率为8，即f(x0)4x08，得x02，该点为(2,9)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页导数几何意
13、义的应用探究问题1函数值增加的越来越快，函数图象是什么形状？函数图象上每一点的切线的斜率是如何变化的？提示：图象上升且下凸，函数图象上每一点的切线的斜率越来越大2函数值增加的越来越慢，函数图象是什么形状？函数图象上每一点的切线的斜率是如何变化的？提示：图象上升且上凸，函数图象上每一点的切线的斜率越来越小课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页如图3-1-6，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x0)，过点E作OB的垂线l.记AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数Sf(x)的图象为下图中的()图3-1-6课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页思
14、路探究 根据面积S增加的快慢情况判断Sf(x)的图象形状解析 函数的定义域为(0，)，当x0,2时，在单位长度变化量x内面积变化量S越来越大，即斜率f(x)在0,2内越来越大，因此，函数Sf(x)的图象是上升的，且图象是下凸的；课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页当x(2,3)时，在单位长度变化量x内面积变化量S越来越小，即斜率f(x)在(2,3)内越来越小，因此，函数Sf(x)的图象是上升的，且图象是上凸的；当x3，)时，在单位长度变化量x内面积变化量S为0，即斜率f(x)在3，)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线故选D.答案 D课时分层作业当堂达标固双基自
15、主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 函数在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出函数升降的快慢.因此，研究复杂的函数问题，可以考虑通过研究其切线来了解函数的性质.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练3已知函数f(x)在区间0,3上的图象如图3-1-7所示，记k1f(1)，k2f(2)，k3kAB，则k1，k2，k3之间的大小关系为_(请用“”连接)图3-1-7课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页k1k3k2 由导数的几何意义可得k1k2，又k3 f2f121表示割线AB的斜率，所以k1
16、k3k2.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页当 堂 达 标固 双 基1如果曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为x2y30，那么()Af(x0)0 Bf(x0)0Cf(x0)0 Df(x0)不存在B 由x2y30知，斜率k12，f(x0)120.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2已知曲线y2x3上一点A(1,2)，则A处的切线斜率等于()A2 B4C66x2(x)2D6D y2x3，ylimx0yxlimx02xx32x3x2 limx0 x33xx23x2xx2 limx0(x)23xx3x26x2.yx1 6.点A(1,2)
17、处切线的斜率为6.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3已知曲线yf(x)2x24x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为_(3,30)设点P(x0,2x204x0)，则f(x0)limx0fx0 xfx0 xlimx02x24x0 x4xx4x04，令4x0416，得x03，P(3,30)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页4曲线yx22x2在点(2,2)处的切线方程为_.【导学号：97792129】2xy20 y(2x)22(2x)2(22222)2x(x)2，yx2x.y|x2limx0(2x)2.曲线在点(2,2)处的切线斜率为2.切线方
18、程为y22(x2)，即2xy20.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页5函数f(x)的图象如图3-1-8所示，试根据函数图象判断0，f(1)，f(3)，f3f12的大小关系图3-1-8课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 设x1，x3时对应曲线上的点分别为A，B，点A处的切线为AT，点B处的切线为BQ，如图所示课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页则f3f131kAB，f(3)kBQ，f(1)kAT，由图可知切线BQ的倾斜角小于直线AB的倾斜角，直线AB的倾斜角小于切线AT的倾斜角，即kBQkABkAT，0f(3)f3f12f(1)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页课时分层作业（十四）点击上面图标进入 谢谢观看
