1、建文外国语学校高二年级数学学科导学案 主备： 审核： 授课人： 授课时间： 学案编号： 班级： 姓名： 小组：课题：3.2.2利用空间向量求空间角 课型:新授课 教师“复备”栏或学生质疑、总结栏【学习目标】会用向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的方法；1.根据题中已知条件，建立适当的空间直角坐标系，并求出各点坐标【学法指导】自主学习,合作探究【学习过程】自主学习案一、复习回顾向量的有关知识： （1）两向量数量积的定义：（2）两向量夹角公式：知识点1：两直线所成的角（范围：）（1）定义：过空间任意一点o分别作异面直线a与b的平行线a与b，那么直线a与b 所成的锐角或直角，叫做异面
2、直线a与b 所成的角.（2）用向量法求异面直线所成角，设两异面直线a、b的方向向量分别为和，问题1： 当与的夹角不大于90时，异面直线a、b 所成的角与 和 的夹角的关系？ 问题 2：与的夹角大于90时，异面直线a、b 所成的角与 和的夹角的关系？ 结论：异面直线a、b所成的角的余弦值为例1如图，正三棱柱的底面边长为,侧棱长为，求和所成的角.解法步骤：1.写出异面直线的方向向量的坐标。 2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。解：如图建立空间直角坐标系，则 ，即 和所成的角为总结: （1）与相等吗？（2）空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别？知识点2、直线与平面所成的角（范围：）思考：设平
3、面的法向量为，则与的关系？（图1）（图2）据图分析可得：结论：例2、如图，正三棱柱的底面边长为,侧棱长为，求和所成角的正弦值.分析：直线与平面所成的角步骤： 1. 求出平面的法向量2. 求出直线的方向向量3. 求以上两个向量的夹角，(锐角)其余角为所求角解：如图建立空间直角坐标系，则 设平面的法向量为由取，设和所成角为 和所成角的正弦值.知识点3：二面角（范围：）方向向量法：将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图，设二面角的大小为，其中.结论：法向量法结论： 或 归纳：法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的
4、补角.例3、如图，是一直角梯形，面，求面与面所成二面角的余弦值.解：如图建立空间直角坐标系，则 易知面的法向量为 ， 设面的法向量为，则有 ，取，得， 即所求二面角的余弦值为.练习：如图2，在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，AD/BC，ABC=900，SA面ABCD，SA=，AB=BC=1，AD=。 求侧面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值。课后作业1.（2019广州一模）如图，在棱长为3的正方体中，点是棱的中点，点在棱上，且满足（1）求证：； （2）求与所成角的余弦值（3）求平面与平面所成二面角的余弦值 2.（珠海2019届高三9月摸底）如图，长方体中，分别为中点，（1）求证：（2）求
5、二面角的正切值3.（龙岗区2019年统考题）如图，已知在直四棱柱中，(1) 求证：(2) 求二面角的余弦值 4.（龙岗区2019年统考题）如图，在三棱柱中，侧面，已知，为的中点（1）求的长；（2）证明：平面；（3）求二面角的大小5.（2019 广东理 18）如图4，四边形为正方形，平面，于点，交于点. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值. 6.（2019 湖南理 19）如图所示，四棱柱的所有棱长都相等，四边形和四边形均为矩形. （1）证明：底面；（2）若，求二面角的余弦值. 7.（龙岗区2019年统考题）如图，在四棱锥中，是直角梯形，(1) 求证：(2) 设为侧棱PB上异于P,B的一点，,试确定的值，使得二面角的大小为 三、小结： 1异面直线所成的角： 2直线和平面所成的角： 3二面角 或
