1、第三章 函数的概念与性质3.2.2奇偶性学会借助图象解决抽象的数学问题,逐步形成解决抽象数学问题的能力.学习时还应掌握以下几点:1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.一、基础过关练题组一函数奇偶性的概念及其图象特征1.已知一个奇函数的定义域为-1,2,a,b,则a+b等于 ()A.-1B.1 C.0 D.22.若y=f(x)(xR)是奇函数,则下列坐标表示的点一定在y=f(x)图象上的是 ()A.(a,-f(a) B.(-a,-f(a)C.(-a,-f(-a) D.(a, f(-a)3.下列图象表示的函数
2、中具有奇偶性的是 ()4.能说明“若f(x)是奇函数,则f(x)的图象一定过原点”是假命题的一个函数是f(x)=.5.(1)如图,给出奇函数y=f(x)的部分图象,试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值;(2)如图,给出偶函数y=f(x)的部分图象,试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小.题组二函数奇偶性的判定6.已知y=f(x),x(-a,a),F(x)=f(x)+f(-x),则F(x) ()A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.是非奇非偶函数7.下列函数中是偶函数,且在区间(0,1)上为增函数的是 ()A.y=|x|B.y=3-xC.y=1xD.y=-x2+48.
3、若函数f(x)=1,x0,-1,x0,则f(x) ()A.是偶函数B.是奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数9.判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=x2-1+1-x2;(2)f(x)=2x2+2xx+1;(3)f(x)=x(1-x)(x0).题组三函数奇偶性的综合运用10.已知函数f(x)=mx2+nx+2m+n是偶函数,其定义域为m+1,-2n+2,则 ()A.m=0,n=0B.m=-3,n=0C.m=1,n=0D.m=3,n=011.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x(-,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)= ()A.20B.12C.-20D.-12
4、12.已知函数f(x)为R上的奇函数,且在(-,0)上是增函数, f(5)=0,则xf(x)0的解集是.13.已知y=f(x)是奇函数,当x0时,f(x)=x2+ax,且f(3)=6,则a的值为.14.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=.15.已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x0时, f(x)=x2-2x.(1)求函数f(x)的解析式,并画出函数f(x)的图象;(2)根据图象写出f(x)的单调区间和值域.二、能力提升练题组一函数奇偶性的概念及其图象特征1.已知y=f(x)是偶函数,其图象与x轴有4个交点,则方
5、程f(x)=0的所有实数根之和是 ()A.4B.2C.1D.02.(多选)若f(x)为R上的奇函数,则下列四个说法正确的是 ()A.f(x)+f(-x)=0B.f(x)-f(-x)=2f(x)C.f(x)f(-x)0.题组二函数奇偶性的判定4.下列函数是偶函数的是 ()A.f(x)=x3-1xB.f(x)=1-x2|x-2|-2C.f(x)=(x-1)1+x1-xD.f(x)=|2x+5|+|2x-5|5.已知F(x)=(x3-2x)f(x),且f(x)是定义在R上的奇函数,f(x)不恒等于零,则F(x)为 ()A.奇函数B.偶函数C.奇函数或偶函数D.非奇非偶函数6.已知f(x+y)=f(x
6、)+f(y)对任意实数x,y都成立,则函数f(x)是 ()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数,也是偶函数D.既不是奇函数,也不是偶函数7.(多选)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是 ()A.|f(x)|g(x)是奇函数B. f(x)|g(x)|是奇函数C. f(x)+|g(x)|是偶函数D.|f(x)|+g(x)是偶函数题组三函数奇偶性的综合运用8.若偶函数f(x)在(-,-1上单调递增,则 ()A.f-32f(-1)f(2)B.f(-1)f-32f(2)C.f(2)f(-1)f-32D.f(2)f-32f(-1)9.函数f(x)
7、在(-,+)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1f(x-1)1的x的取值范围是 ()A.-2,2B.-1,1C.0,2D.1,310.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x)恒成立,且f(1)=1,则f(3)+f(4)+f(5)的值为(深度解析)A.-1B.1C.2D.011.已知函数f(x)与g(x)分别是定义域上的奇函数与偶函数,且f(x)+g(x)=x2-1x+1-2,则f(2)= ()A.-23B.73C.-3D.11312.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时, f(x)=-x,0x1,-1,1xf(x-2a)恒成立,则实数a的取值范围是.13
8、.(1)若奇函数f(x)是定义在R上的增函数,求不等式f(2x-1)+f(3)0的解集;(2)若f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间0,+)上是增函数,求不等式f(2x-1)-f(-3)0的解集.14.已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义在(-1,1)上的奇函数,且f12=25.(1)求函数f(x)的解析式;(2)用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数;(3)解关于实数t的不等式f(t-1)+f(t)f(3).6.Bx(-a,a),其定义域关于原点对称,且F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x),F(x)是偶函数.7.A选项A中,函数y=|x|为偶函数,且在区间(0,1)上为增函数
9、,故A符合题意;选项B中,函数y=3-x为非奇非偶函数,且在区间(0,1)上为减函数,故B不符合题意;选项C中,函数y=1x为奇函数,且在区间(0,1)上为减函数,故C不符合题意;选项D中,函数y=-x2+4为偶函数,在区间(0,1)上为减函数,故D不符合题意.8.B 作出函数f(x)的图象,如图所示,可以看出该图象关于原点对称,故f(x)为奇函数.9.解析(1)依题意得x2-10,且1-x20,即x=1,因此函数f(x)的定义域为-1,1,关于原点对称,且f(x)=0.f(-x)=-f(x), f(-x)=f(x),f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)函数f(x)的定义域是(-,-1)(-1
10、,+),不关于原点对称,f(x)是非奇非偶函数.(3)易得函数f(x)的定义域是D=(-,0)(0,+),关于原点对称.任取xD,当x0时,-x0,f(-x)=(-x)1-(-x)=-x(1+x)=-f(x);当x0,f(-x)=-x(1-x)=-f(x),f(x)为奇函数.10.B由f(x)=mx2+nx+2m+n是偶函数,得n=0.又函数的定义域为m+1,-2n+2,所以m+1=2n-2,则m=-3.11.B由题意得f(2)=-f(-2)=-2(-2)3+(-2)2=12.12.答案(-,-5)(5,+)解析f(x)为R上的奇函数,f(0)=0.f(x)在(-,0)上是增函数, f(5)=
11、0,f(x)在(0,+)上是增函数, f(-5)=0.可大致用图象表示:xf(x)0等价于x与f(x)同号,且均不为0,结合图象知解集是(-,-5)(5,+).13.答案5解析因为f(x)是奇函数,所以f(-3)=-f(3)=-6,所以(-3)2+a(-3)=-6,解得a=5.14.答案1解析由题意可得f(1)+g(1)=f(-1)-g(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1.15.解析(1)x0时, f(x)=x2-2x,当x0,f(-x)=x2+2x,f(-x)=f(x)=x2+2x.故函数f(x)的解析式为f(x)=x2-2x,x0,x2+2x,x0即图象上点的横坐标与纵坐标同号,且均不
12、为0.结合图象可知,xf(x)0的解集是(-2,0)(0,2).4.D在选项A中,f(x)=x3-1x(x0), f(-x)=-x3+1x,f(-x)=-f(x),是奇函数;在选项B中,f(x)=1-x2|x-2|-2=1-x2-x(-1x1,x0),f(-x)=1-x2x, f(-x)=-f(x),是奇函数;在选项C中,f(x)=(x-1)1+x1-x(-1x321,所以f(2)f32f(1),即f(2)f-32f(x-2a)恒成立,则函数f(x)的图象始终在函数f(x-2a)的图象的上方.当a0,将函数f(x)图象向右平移时的临界情况是当D点与B点重合,且临界情况不满足题意,由图可知,向右
13、平移的2a个单位长度应大于6,即2a6,解得a32,故答案为(32,+).13.解析(1)由题知f(x)为奇函数,且在R上是增函数,则f(2x-1)+f(3)0f(2x-1)-f(3)f(2x-1)f(-3)2x-1-3,解得x-1,即不等式的解集为(-,-1).(2)由题知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间0,+)上是增函数,则f(2x-1)-f(-3)0f(2x-1)f(3)f(|2x-1|)f(3)|2x-1|3,解得-1x2,即不等式的解集为(-1,2).14.解析(1)因为函数f(x)=ax+b1+x2是定义在(-1,1)上的奇函数,所以f(0)=0,得b=0.又知f12=25,
14、所以12a1+14=25,解得a=1,所以f(x)=x1+x2.(2)证明:x1,x2(-1,1),且x1x2,则f(x2)-f(x1)=x21+x22-x11+x12=(x2-x1)(1-x1x2)(1+x12)(1+x22),由于-1x1x21,所以-1x1x20,所以(x2-x1)(1-x1x2)(1+x12)(1+x22)0,即f(x2)-f(x1)0,所以f(x)在(-1,1)上是增函数.(3)因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(t-1)+f(t)0等价于f(t-1)-f(t)=f(-t),即f(t-1)f(-t),又由(2)知f(x)在(-1,1)上是增函数,
15、所以-1t-11,-1-t1,t-1-t,解得0t12,即原不等式的解集为t0t0.当x1,x2(0,2时,x1x2-20;当x1,x22,+)时,x1x2-20,从而f(x)x0.因此f(x)在(0,2上是增函数, f(x)在2,+)上是减函数.由题知f(x)在(0,p上单调递增,所以p的最大值为2,即p的最大值为2.16.解析(1)我同意王鹏同学的观点.理由如下:假设f(x)是奇函数,则由f(a)=a2+3, f(-a)=a2-4|a|+3,可得f(a)+f(-a)=0,即a2-2|a|+3=0,显然a2-2|a|+3=0无解,f(x)不可能是奇函数.(2)若f(x)为偶函数,则有f(a)=f(-a),即a2+3=a2-4|a|+3,解得a=0.经验证,此时f(x)=x2-2|x|+3是偶函数.(3)由(2)知f(x)=x2-2|x|+3,其图象如图所示,由图可得,其单调递增区间是(-1,0)和(1,+).解题模板利用奇偶性确定函数解析式中参数的值时,选择题、填空题中可用特殊值法简化运算;解答题中要结合定义写出完整的解题过程,若用特殊值法得到参数的值仍需要进一步证明.
