1、3.2.1 单调性与最大（小）值第2课时 函数的最大（小）值【学习目标】课程标准学科素养1、理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.（难点）2、会借助单调性求最值.（重点）3.掌握求二次函数在闭区间上的最值（重点）1、逻辑推理2、数学运算3、直观想象【自主学习】1、函数的最大值与最小值定义2、函数的最大(小)值的几何意义一般地，函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点，它们不一定只有一个【小试牛刀】1判断(正确的打“”，错误的打“”)（1）因为f(x)x210恒成立，所以f(x)的最小值为0.( )（2）f(x)(x0)的最小值为0.( )（3）函数f(x)取最大值时，对应的x
2、可能有无限多个( )（4）如果f(x)的最大值、最小值分别为M，m，则f(x)的值域为m，M( )2函数f(x)在1，)上()A有最大值无最小值B有最小值无最大值C有最大值也有最小值 D无最大值也无最小值3函数f(x)2x1(x2,2)的最小、最大值分别为()A3,5 B3,5C1,5 D5,3【经典例题】题型一图象法求函数的最值图象法求最值的一般步骤例1如图所示为函数yf(x)，x4,7的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间跟踪训练 1已知函数f(x)则f(x)的最大值为_题型二利用单调性求函数的最大（小）值1利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤(1)判断函数的单调性 (2)利用单调性
3、求出最大(小)值2函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间a，b上是增(减)函数，则f(x)在区间a，b上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)(2)若函数f(x)在区间a，b上是增(减)函数，在区间b，c上是减(增)函数，则f(x)在区间a，c上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个例2已知f(x)，(1)判断f(x)在(1，)上的单调性，并加以证明(2)求f(x)在2,6上的最大值和最小值跟踪训练 2已知函数f(x)，求函数f(x)在1,5上的最值题型三求二次函数的最值求二次函数在闭区间m，n上的最值：确定二次函数的对称轴x
4、a；根据am，ma，aa恒成立，一般转化为最值问题：f(x)mina来解决任意xD，f(x)a恒成立一般可转化为f(x)max0对任意x(0，)恒成立，求实数a的取值范围例6 已知x2xa0对任意x恒成立，求实数a的取值范围跟踪训练 4已知ax2x1对任意x(0,1恒成立，求实数a的取值范围【当堂达标】1下列函数在1,4上最大值为3的是()Ay2 By3x2Cyx2 Dy1x2函数f(x)则f(x)的最大值、最小值分别为()A10,6 B10,8C8,6 D以上都不对3若函数yx26x7，则它在2,4上的最大值、最小值分别是()A9，15 B12，15C9，16 D9，124已知函数f(x)，
5、x8，4)，则下列说法正确的是()Af(x)有最大值，无最小值 Bf(x)有最大值，最小值Cf(x)有最大值，无最小值 Df(x)有最大值2，最小值5已知函数f(x)x24xa，x0,1，若f(x)有最小值2，则f(x)的最大值为()A1 B0C1 D26函数f(x)的最大值为_7函数f(x)在1，b(b1)上的最小值是，则b_.8、已知函数y|x1|2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域9、求函数f(x)x24x4在闭区间t，t1(tR)上的最小值10已知函数f(x)，x3,5(1)判断函数在区间3,5上的单调性，并给出证明；(2)求该函数的最大值和最小值【参考答案】【小试牛刀】
6、1 2A【解析】函数f(x)是反比例函数，当x(0，)时，函数图象下降，所以在1，)上f(x)为减函数，f(1)为f(x)在1，)上的最大值，函数在1，)上没有最小值故选A.3B【解析】因为f(x)2x1(x2,2)是单调递减函数，所以当x2时，函数的最小值为3.当x2时，函数的最大值为5.【经典例题】例1解：观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(1.5，2)，所以函数yf(x)当x3时取得最大值，最大值是3.当x1.5时取得最小值，最小值是2.函数的单调递增区间为1.5,3)，5,6)，单调递减区间为4，1.5)，3,5)，6,7跟踪训练 1 解析f(x)的图象如
7、图：则f(x)的最大值为f(2)2.例2解：(1)函数f(x)在(1，)上是减函数证明：任取x2x11，则f(x1)f(x2)，因为x110，x210，x2x10，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)所以f(x)在(1，)上是减函数(2)由(1)可知f(x)在(1，)上是减函数，所以f(x)在2,6上是减函数，所以f(x)maxf(2)1，f(x)minf(6)，即f(x)min，f(x)max1.跟踪训练 2 解析：先证明函数f(x)的单调性，设x1，x2是区间上的任意两个实数，且x2x1，f(x1)f(x2).由于x2x1，所以x2x10，且(2x11)(2x21)0，所以f
8、(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在区间上是减少的，所以函数f(x)在1,5上是减少的，因此，函数f(x)在区间1,5的两个端点上分别取得最大值与最小值，即最大值为f(1)3，最小值为f(5).例3 解(1函数f(x)x22x3开口向上，对称轴x1，f(x)在0,1上单调递减，在1,2上单调递增，且f(0)f(2)f(x)maxf(0)f(2)3，f(x)minf(1)4.例4 对称轴x1，当1t2即t1时，f(x)maxf(t)t22t3，f(x)minf(t2)(t2)22(t2)3t22t3.当1t2，即1t0时，f(x)maxf(t)t22t3，f(x)mi
9、nf(1)4.当t1，即0t1时，f(x)maxf(t2)t22t3，f(x)minf(1)4.当11时，f(x)maxf(t2)t22t3，f(x)minf(t)t22t3.设函数f(x)的最大值为g(t)，最小值为(t)，则有g(t)(t)例5 解函数图象的对称轴是xa，当a4时，f(x)在2,4上是减函数，f(x)minf(4)188a.当2a4时，f(x)minf(a)2a2.f(x)min跟踪训练 3解（1）设t(t0)，则x23=t22t3.由(1)知yt22t3(t0)在0,1上单调递减，在1，)上单调递增当t1即x1时，f(x)min4，无最大值(2)设x2t(t0)，则x42
10、x23t22t3.yt22t3(t0)在0,1上单调递减，在1，)上单调递增当t1即x1时，f(x)min4，无最大值例6解f(x)x2x在上为减函数，f(x)的值域为，要使ax2x对任意x恒成立，只需a，a的取值范围是.跟踪训练 4 解x0，ax2x1可化为a.要使a对任意x(0,1恒成立，只需amin. 设t，x(0,1，t1.t2t2.当t1时，(t2t)min0，即当x1时，min0，a0.实数a的取值范围是(，0.【当堂达标】1A【解析】B，C在1,4上均为增函数，A，D在1,4上均为减函数，代入端点值，即可求得最值.2A【解析】当1x1时，6x78，当1x2时，82x610.f(x
11、)minf(1)6，f(x)maxf(2)10.3C【解析】函数的对称轴为x3，所以当x3时，函数取得最小值为16，当x2时，函数取得最大值为9，故选C.4A【解析】f(x)2，它在8，4)上单调递减，因此有最大值f(8)，无最小值5C【解析】f(x)(x24x4)a4(x2)24a，函数f(x)图象的对称轴为x2.f(x)在0,1上单调递增又f(x)min2，f(0)2，即a2.f(x)maxf(1)1421.62【解析】当x1时，函数f(x)为减函数，所以f(x)在x1处取得最大值，为f(1)1；当x2时，f(x)在t，t1上是增函数，g(t)f(t)t24t4；当t2t1，即1t2时，g(t)f(2)8；当t12即t1时，f(x)在t，t1上是减函数，g(t)f(t1)t22t7.综上，g(t)10解：(1)函数f(x)在3,5上是增加的，证明：设任意x1，x2，满足3x1x25.因为f(x1)f(x2)，因为3x10，x210，x1x20.所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)所以f(x)在3,5上是单调递增的(2)f(x)minf(3)，f(x)maxf(5).
