1、 专题七 解析几何 第二讲 圆锥曲线的概念与性质，与弦有关的计算问题 （一）高考考点解读 高考考点 1.圆锥曲线的定义、标准方程与性质 2.圆锥曲线中的最值（范围）及与弦有关的问题 3.直线与圆锥曲线位置关系的判断与证明问题 4.圆锥曲线中的定点，定值问题 考点解读1.求圆锥曲线的标准方程、离心率、双曲线的渐近线方程2.考查圆锥曲线的定义、性质考点解读3.考查弦长问题4.求直线的方程或圆锥曲线的方程考点解读5.位置关系的判定6.几何或代数关系式的证明7.涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题：8.求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题.考点解读9.定点
2、、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横（纵）坐标等的定值问题.（二）核心知识整合 考点1：圆锥曲线的定义、标准方程与性质1圆锥曲线的定义(1)椭圆：12122|2PFPFaaF F(2)双曲线：1212|2|2PFPFaaF F(3)抛物线：PFPM，点 F 不在直线 l 上，PMl 于 M(l 为抛物线的准线)2圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中 a，b，c 之间的关系在椭圆中：222abc；离心率为221caeba在双曲线中222cab；离心率为221caeba(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标双曲线2222=1)00(aybbxa
3、，的渐近线方程为 y=b xa；焦点坐标12(),0,0FcFc，双曲线2222=1)00(axbbya，的渐近线方程为 y=a xb，焦点坐标12()0()0FcFc，(3)抛物线的焦点坐标与准线方程抛物线220ypx p的焦点坐标为(,0)2p，准线方程为2xp抛物线220 xpy p的焦点坐标为(0)2p，准线方程为2py解题技巧1 涉及椭圆(或双曲线)两焦点距离的问题或焦点弦问题，及到抛物线焦点(或准线)距离的问题，可优先考虑圆锥曲线的定义2 圆锥曲线的定义、标准方程是高考常考内容，主要以选择、填空的形式考查，解题时分两步走：第一步，依定义定“型”，第二步，待定系数法求“值”解题技巧3
4、求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”(1)定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程(2)计算，即利用待定系数法求出方程中的22ab，或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为22220yaxxay a 或，椭圆常设22(0)10mxnymn，双曲线常设为22 10mxnymn 1.已知1(0,5)F，2(0,5)F分别为椭圆2222:1(0)yxCabab的两个焦点，椭圆 C 上的一点 P满足120PFPF，且2112sin2sinPF FPF F，则 a 的值为()A.3B.2C.1D.12 由120PF PF，得12PFPF，由正弦定理得122 11
5、2sinsinPFPFPF FPF F.又2 11 2sin2sinPF FPF F，则122PFPF，所以椭圆 C 的离心率122122525233F FPFcceaaPFPFPF.又5c，所以3a ，故选A.2.设双曲线22221(0)xyabab的两条渐近线与圆2210 xy相交于 ABCD，四点，若四边形ABCD的面积为 12，则双曲线的离心率是()A.103B.10C.10 或103D 2 10 本题考查双曲线的几何性质.由对称性可知四边形 ABCD是矩形，设点 A 在第一象限，由2210byxaxy，得1010,abAcc，则 2 102 1012abcc，即2221033abca
6、b，则13ba 或 3.又因为0ab，所以13ba，则该双曲线的离心率21013cbeaa，故选 A.（二）核心知识整合 考点 2：圆锥曲线中的最值（范围）及与弦有关的问题1.弦长问题(1)直线与圆锥曲线相交时的弦长斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于点1122()()A xyB xy，时，222121212114ABkxxkxxx x2121|1AByyk或221212114yyy yk(2)抛物线焦点弦的几个常用结论设 AB 是过抛物线220ypx p 焦点 F 的弦，若1122()()A xyB xy，则2124px x，212y yp；弦长1222sinpABxxp (为弦 AB 的倾斜角
7、)；11|2FAFBp；以弦 AB 为直径的圆与准线相切解题技巧1.与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解(2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解(3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域解题技巧2.弦中点问题的解法点差法在解决有关弦中点、弦所在直线的斜率、弦中点与原点连线斜率问题时可简化运算，但要注意直线斜率是否存在3与弦端点相关问题的解法解决与弦端点有关的向量关系、位置关系等问题的一般方法，就是将其转化为端点的坐标关系，再根据联立消元后的一元二次方程根与系数的大小关
8、系，构建方程(组)求解1.已知12,F F 是椭圆22221(0)xyabab的左、右焦 点,过点2F 的直线 与椭圆交于,P Q 两点,1PQPF,且112QFPF,则12PF FV与12QF FV的面积之比为()A.23B.21C.21D.23 设1PFt，则1122QFPFt，由椭圆的定义可得222,22PFat QFat，则|43PQat.由22211|PQPFQF，得222(43)4attt，即 433att，解得433ta.由111,2PQPF QFPF得130PQF，则12PFFV与12QF FV的面积之比为12121422 31132 33332231182 32131sin3
9、02223333aaPFPFQFQFaa，故选 D.2.在平面直角坐标系 Oxy 中，已知点(4,0)P，点 A,B 在双曲线22:14xCy 上，且3APPB，则直线 AB 的斜率为()A.32B.52C.1D.32 设直线 AB 的方程为4xmy.由224,440,xmyxy得2248120mymy.设11,A x y，22,B x y，则1221228,412,4myymyym 114,APxy，224,PBxy，3APPB，123yy 代入得，2222222224,(4)444444mymmmmym.化简得，242 555mm，因此直线 AB 的斜率为 152m ，故选 B.（二）核心
10、知识整合 考点 3：直线与圆锥曲线位置关系的判断与证明问题 1有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法(1)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解(2)面积问题常采用 S 12 底高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底 有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解(3)在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的
11、应用 3与相交有关的向量问题的解决方法 在解决直线与圆锥曲线相交，所得弦端点的有关的向量问题时，一般需利用相应的知识，将该关系转化为端点坐标满足的数量关系，再将其用横(纵)坐标的方程表示，从而得到参数满足的数量关系，进而求解 4.圆锥曲线中最值问题：主要是求线段长度的最值、三角形面积的最值等 5.圆锥曲线中的范围问题：关键是选取合适的变量建立目标函数和不等关系 该问题主要有以下三种情况：（1）距离型：若涉及焦点，则可以考虑将圆锥曲线定义和平面几何性质结合起来求解；（2）若是圆锥曲线上的点到直线的距离，则可设出与已知直线平行的直线方程，再代入圆锥曲线方程中，用判别式等于零求得切点坐标，这个切点就
12、是距离取得最值的点，若是在圆或椭圆上，则可将点的坐标以参数形式设出，转化为三角函数的最值求解(2)斜率、截距型：一般解法是将直线方程代入圆锥曲线方程中，利用判别式列出对应的不等式，解出参数的范围，如果给出的只是圆锥曲线的一部分，则需要结合图形具体分析，得出相应的不等关系(3)面积型：求面积型的最值，即求两个量的乘积的范围，可以考虑能否使用不等式求解，或者消元转化为某个参数的函数关系，用函数方法求解 6.圆锥曲线中的定点，定值问题 定值、定点问题在变化中所表现出来的不变的量，用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点，就是要求的定
13、点，解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量解题技巧1与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法(1)数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解(2)构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值(注意：有时需先换元后再求最值)解题技巧2过定点问题的两大类型及解法(1)动直线 l 过定点问题解法：设动直线方程(斜率存在)为 ykxt，由题设条件将 t 用 k 表示为 tmk，得 yk(xm)，故动直线过定点(m,0)(2)动曲线 C 过定点问题解法：引入参变量建立
14、曲线 C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点解题技巧3求解定值问题的三个步骤(1)由特例得出一个值，此值一般就是定值；(2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；(3)得出结论1.如图，已知12,F F 为双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与渐近线在第一象限和第三象限的交点分别为 A,B，若四边形12AF BF 的面积 S 满足24Sb，则双曲线的离心率的最小值为()A.2 33B.3C.2D.32 由圆与双曲线的对称性可知，点 A 与点 B 关于坐
15、标原点对称，显然四边形12AF BF 是矩形，以12FF 为直径的圆的方程为222xyc，与渐近线方程byxa联立，得222,xycbyxa 解得,xayb 即(,)A a b，所以1 2122AF FSc bbc V，故四边形12AF BF 的面积1 22224AF FSSbcbV，即2cb，222224,4cb cca剟，解得2 33e，所以双曲线的离心率的最小值为 2 33，故选 A.2.抛物线24xy的焦点为 F,准线为 l,A B 是抛物线上的两个动点,且满足 AFBF,P 为线段AB 的中点,设 P 在 l 上的射影为 Q,则PQAB 的最大值是()A.23B.33C.22D.32 设,AFa BFb，,A B 在 l 上的射影分别为,M N，则,AFAMBFBN，故22AMBNabPQ.又 AFBF，所以2222ABAFBFab.因为222222222abababababab，所以2222abab，当且仅当 ab 时等号成立,故22222222PQababABabab.故选 C谢谢观看
