1、312 椭圆的几何性质 课程标准学习目标能说出椭圆的简单几何性质，并能证明性质，进一步体会数形结合思想1、根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形2、根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线知识点一：椭圆的简单几何性质我们根据椭圆来研究椭圆的简单几何性质椭圆的范围椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，椭圆的对称性对于椭圆标准方程，把换成，或把换成，或把、同时换成、，方程都不变，所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心椭圆的顶点椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的
2、顶点椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为，线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长椭圆的离心率椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作因为，所以的取值范围是越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆当且仅当时，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为知识点诠释：椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）：（1），；（2），；（3），；【即学即练1】（多选题）（2023高二课时练习）已知椭圆的左，右焦点为F1，F2，点P为椭圆C上的动点（P不在x轴上），则（）A椭圆C的焦点在x轴上B
3、的周长为C的取值范围为D椭圆的离心率为知识点二：椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，且可借助下图帮助记忆：a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、，有关角（）结合起来，建立、之间的关系【即学即练2】（多选题）（2023重庆沙坪坝高二重庆八中校考
4、阶段练习）已知，为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，且，下列说法正确的是（）AB离心率范围C当点为短轴端点时，为等腰直角三角形D若，则知识点三：椭圆两个标准方程几何性质的比较标准方程图形性质焦点，焦距范围，对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点，轴长轴长=，短轴长=离心率知识点诠释：椭圆，的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有和，；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同；椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看、的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上【即学即练3】（2023黑龙江哈尔滨高二哈尔滨三中校考阶段练习）已知曲线的方程为，则下列说法正确的是
5、 .曲线关于坐标原点对称；的取值范围是；曲线是一个椭圆；曲线围成区域的面积小于椭圆围成区域的面积.知识点四：直线与椭圆的位置关系平面内点与椭圆的位置关系椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点，若点在椭圆上，则有；若点在椭圆内，则有；若点在椭圆外，则有直线与椭圆的位置关系将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点（或两个公共点）；直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点（或一个公共点）；直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点直线与椭圆的相交弦设直线交椭圆于点，两点，则同理可得这
6、里，的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：【即学即练4】（2023全国高二课堂例题）过椭圆的左焦点引直线交椭圆于A，B两点，且，则直线方程为 知识点五：解决椭圆中点弦问题的两种方法：1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线（不平行于轴）过椭圆（）上两点、，其中中点为，则有【即学即练5】（2023江西宜春高二上高二中校考阶段练习）已知椭圆，过点的直线交椭圆于、两点，若为的中点，则直线的方程为
7、题型一：椭圆的几何性质例1（多选题）（2023辽宁大连高二大连市第二十三中学校联考期中）设椭圆C：的左右焦点分别为，上下顶点分别为，点P是C上异于的一点，则下列结论正确的是（）A若C的离心率为，则直线与的斜率之积为B若，则的面积为C若C上存在四个点P使得，则C的离心率的范围是D若恒成立，则C的离心率的范围是例2（2023高二课时练习）如图，把椭圆的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|= . 例3（2023贵州黔西高二校考
8、期中）已知椭圆的焦点在x轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则 变式1（2023全国高二专题练习）若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为 .变式2（2023上海浦东新高二上海市进才中学校考期末）一个半径为1的球置于水平地面上，受到与水平地面夹角为的太阳光线照射，球在地面的影子边沿是一个椭圆，则椭圆的焦距等于 .题型二：根据椭圆的有界性求范围或最值例4（2023湖北宜昌高二当阳一中校考阶段练习）P点在椭圆上，B(0，3)，则BP长的最大值为 .例5（2023黑龙江大庆高二大庆中学校考开学考试）以为焦点的椭圆上有一动点M，则的最大值为 .例6（2023广西河池高二校联考阶段练习）已知点，点为椭圆上的动点，则
9、 .变式3（2023江苏淮安高二江苏省郑梁梅高级中学校联考期中）设点，分别为椭圆C：的左，右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数的一个取值可以为 .变式4（2023江苏宿迁高二校考阶段练习）若为椭圆上的一点，分别是椭圆的左、右焦点，则的最大值为 .变式5（2023高二课时练习）已知点M是椭圆上的一动点，点T的坐标为，点N满足，且MNT90，则的最大值是 题型三：求离心率的值例7（2023浙江台州高二校联考期中）已知椭圆为椭圆的对称中心，为椭圆的一个焦点，为椭圆上一点，轴，与椭圆的另一个交点为点为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（）ABCD例8（2023内蒙古包头高二统考期
10、末）已知椭圆，直线依次交轴、椭圆轴于点四点若，且直线斜率则椭圆的离心率为（）ABCD例9（2023广东佛山高二佛山市高明区第一中学校考阶段练习）已知椭圆经过点，则椭圆的离心率为（）ABCD变式6（2023北京高二101中学校考期中）已知A，B，C是椭圆上的三个点，直线AB经过原点O，直线AC经过椭圆的右焦点F，若，且，则椭圆的离心率是（）ABCD变式7（2023江苏高二假期作业）如图，直线过椭圆的左焦点和一个顶点B，该椭圆的离心率为（）ABCD变式8（2023江苏高二假期作业）已知椭圆E：与直线相交于A，B两点，O是坐标原点，如果是等边三角形，那么椭圆E的离心率等于（）ABCD变式9（2023
11、内蒙古呼伦贝尔高二校考阶段练习）法国数学家加斯帕蒙日发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆若椭圆的蒙日圆为，则椭圆的离心率为（）ABCD变式10（2023高二校考期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，点P在椭圆C上，且，过P作的垂线交x轴于点A，若，记椭圆的离心率为e，则（）ABCD变式11（2023河南鹤壁高二鹤壁高中校考阶段练习）已知点，分别是椭圆：的左、右焦点，点P是椭圆E上的一点，若的内心是G，且，则椭圆E的离心率为（）ABCD变式12（2023云南昭通高二校考期中）已知椭圆的一个焦点为，点是椭圆上的一个动点，的最小值为，且存在
12、点，使得（点为坐标原点）为正三角形，则椭圆的离心率为（）ABCD题型四：求离心率的范围例10（2023宁夏高二宁夏育才中学校考期中）已知椭圆的离心率为e，分别为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点使得是钝角，则满足条件的范围 例11（2023黑龙江绥化高二绥化市第一中学校考期中）已知椭圆上有一点，是椭圆的左、右焦点，若使得为直角三角形的点有8个，则椭圆的离心率的范围是 例12（2023江苏连云港高二统考期中）已知点是椭圆的左焦点，过原点作直线交椭圆于两点，分别是的中点，若，则椭圆的离心率的范围是 变式13（2023天津宁河高二天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习）已知点是椭圆的左焦点，过原点作斜率存
13、在且不为0的直线交椭圆于两点，分别是，的中点，若存在以为直径的圆过原点，则椭圆的离心率的范围是 .变式14（2023高二单元测试）已知椭圆的左右焦点分别为，且，若在椭圆上存在点，使得过点可作以为直径的圆的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的范围为 .变式15（2023全国高二专题练习）已知椭圆：的左，右焦点分别为，焦距为，是椭圆上一点（不在坐标轴上），是的平分线与轴的交点，若，则椭圆离心率的范围是 变式16（2023江苏南通高二江苏省西亭高级中学校考阶段练习）、是椭圆的左、右焦点，在椭圆上存在点使得则离心率范围 变式17（2023黑龙江高二统考期末）已知是椭圆的两焦点，为椭圆上一点，若，则离心率
14、的范围是 .变式18（2023四川眉山高二四川省眉山第一中学校考期中）已知，分别为椭圆的左、右焦点，若直线上存在点，使为等腰三角形，则椭圆离心率的范围是 变式19（2023高二课时练习）已知椭圆的左右焦点为，以为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭圆离心率的范围为（）ABCD变式20（2023高二课时练习）已知点A、B为椭圆的长轴顶点，P为椭圆上一点，若直线PA，PB的斜率之积的范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（）ABCD变式21（2023安徽安庆高二安庆市第二中学校考阶段练习）椭圆（ab0）上存在一点P满足，分别为椭圆的左右焦点，则椭圆的离心率的范围是（）ABCD变式22（2023四川成都高二石
15、室中学校考阶段练习）已知P为椭圆上一点，为椭圆焦点，且，则椭圆离心率的范围是（）ABCD题型五：点与椭圆的位置关系例13（2023全国高二专题练习）若点在椭圆上，则下列说法正确的是（）A点不在椭圆上B点不在椭圆上C点在椭圆上D无法判断上述点与椭圆的关系例14（2023全国高二专题练习）已知点和焦点在轴上的椭圆：，且过作椭圆的切线有两条，则该椭圆半焦距的取值范围是（）ABCD例15（2023山东青岛高二山东省莱西市第一中学校考学业考试）若直线与圆没有公共点，则过点的一条直线与椭圆的公共点的个数为（）A0B1C2D1或2变式23（2023全国高二专题练习）已知椭圆，则下列各点不在椭圆内部的是（）A
16、BCD变式24（2023全国高二专题练习）点在椭圆的外部，则a的取值范围是（）ABCD题型六：直线与椭圆的位置关系例16（2023高二课时练习）若直线与椭圆有唯一公共点，则实数 例17（2023上海闵行高二校考阶段练习）直线与椭圆恒有两个不同的交点，则a的取值范围是 例18（2023上海闵行高二闵行中学校考期中）直线与曲线的公共点的个数是 .变式25（2023全国高二专题练习）直线和曲线的位置关系为 .题型七：弦长问题例19（2023高二课时练习）过椭圆的左焦点且斜率为的弦的长是 例20（2023高二课时练习）直线被椭圆所截得的弦长为，求实数的值例21（2023浙江台州高二校联考期中）已知点与
17、定点的距离和它到定直线的距离比是.(1)求点的轨迹方程；(2)若直线与轨迹交于两点，为坐标原点直线的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由.变式26（2023江苏高二校联考开学考试）已知椭圆C：，左，右焦点分别为，椭圆C经过，(1)求椭圆C的方程；(2)若点P使得，求的面积变式27（2023陕西商洛高二校考阶段练习）已知椭圆的下焦点、上焦点为，离心率为.过焦点且与轴不垂直的直线交椭圆于，两点.(1)求的值；(2)求（为坐标原点）面积的最大值.题型八：中点弦问题例22（2023新疆伊犁高二统考期末）过椭圆内一点引一条恰好被点平分的弦，则这条弦所在直线的方程是 例23（2023上海黄浦高
18、二格致中学校考期末）设椭圆的右焦点为，点在椭圆外，、在椭圆上，且是线段的中点.若直线、的斜率之积为，则椭圆的离心率为 .例24（2023全国高二专题练习）已知过点的直线，与椭圆 相交于A，B两点，且线段AB以点M为中点，则直线AB的方程是 .变式28（2023全国高二专题练习）直线截椭圆所得弦的中点M与椭圆中心连线的斜率为 变式29（2023全国高二专题练习）中心在原点，一个焦点为的椭圆被直线截得弦的中点的横坐标为，则椭圆的方程为 变式30（2023河南焦作高二统考期末）过椭圆内一点，且被这点平分的弦所在直线的方程是 .变式31（2023全国高二专题练习）已知焦点在轴上的椭圆被直线截得的弦的中
19、点横坐标为，则正数 .变式32（2023广东深圳高二统考期末）已知O为坐标原点，直线与椭圆交于A，B两点，P为的中点，直线的斜率为，若，则椭圆的离心率的取值范围为 变式33（2023四川成都高二校考阶段练习）已知斜率为k的直线与椭圆交于A、B两点，弦AB的中垂线交轴于点，则的取值范围是 .变式34（2023河北保定高二河北省唐县第一中学校考阶段练习）已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线(1)求的方程；(2)是否存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由变式35（2023高二课时练习）已知椭圆：，不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于，两点，记线
20、段的中点为(1)若，求直线的斜率；(2)记，探究：是否存在直线，使得，若存在，写出满足条件的直线的一个方程；若不存在，请说明理由变式36（2023江苏南通高二统考期中）已知椭圆的离心率为e，且过点和(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C上有两个不同点A，B关于直线对称，求变式37（2023全国高三专题练习）已知O为坐标原点，点在椭圆C：上，直线l：与C交于A，B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为(1)求C的方程；(2)若，试问C上是否存在P，Q两点关于l对称，若存在，求出P，Q的坐标，若不存在，请说明理由变式38（2023高二课时练习）已知椭圆过点，直线：与椭圆交于两点，且线段的中点为
21、，为坐标原点，直线的斜率为(1)求椭圆的标准方程；(2)若椭圆上存在两点，使得关于直线对称，求实数的范围题型九：椭圆的实际应用例25（2023全国高二专题练习）开普勒第一定律也称椭圆定律轨道定律，其内容如下：每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上.将某行星看作一个质点，绕太阳的运动轨迹近似成曲线，行星在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离，距离太阳最远的距离称为远日点距离.若行星的近日点距离和远日点距离之和是18（距离单位：亿千米），近日点距离和远日点距离之积是16，则（）A39B52C86D97例26（2023广东深圳高二统考期末）运用微积分的方法，可以推导得椭
22、圆（）的面积为现学校附近停车场有一辆车，车上有一个长为的储油罐，它的横截面外轮廓是一个椭圆，椭圆的长轴长为，短轴长为，则该储油罐的容积约为（）（）ABCD例27（2023河北石家庄高二河北新乐市第一中学统考期中）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人连地球卫星“东方红一号”，从此我国开向了人造卫层的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普物行星运动定律；卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等，如图建系，设椭圆道的长轴长，短轴长，焦距分别为2a，2b，2c，下列结论正确的是（）
23、A卫星向径的最大值为2aB卫星向径的最小值为2bC卫星绕行一周时在第三象阻内运动的时间小于在第四象限内运动的时间D卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越圆变式39（2023高二课时练习）在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆已知大椭圆的长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，小椭圆的短轴长为10 cm，则小椭圆的长轴长为 cm.变式40（2023高二课时练习）某操场的正前方有两根高度均为6m、相距10m的旗杆（都与地面垂直）.有一条26m长的绳子，两端系在两根旗杆的顶部，并按如图所示的方式绷紧，使得绳子和两根旗
24、杆处在同一个平面内.假定这条绳子在系到旗杆上时长度没有改变，求绳子与地面（水平面）的接触点到两根旗杆的距离各是多少.变式41（2023高二课时练习）如图，赛马场的形状是长100m，宽50m的椭圆.求距离顶点10m的宽度是多少.变式42（2023高二课时练习）水星运转的轨道是以太阳的中心为一个焦点的椭圆，轨道上离太阳中心最近的距离约为，最远的距离约为.假设以这个轨道的中心为原点，以太阳中心及轨道中心所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，求水星轨道的方程.变式43（2023高二课时练习）2016年8月16日，中国自主研制的世界首颗量子科学实验卫星“墨子号”成功发射升空，已知它的运行轨道是以地心为一个
25、焦点的椭圆，近地点A距地面498km、远地点B距地面503km，地球半径为6371km，求“墨子号”卫星的轨道方程（结果保留整数）.变式44（2023高二课时练习）某颗小行星的运行轨道是一个椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点处.如图所示，小行星离太阳的最近距离是1.486天文单位，最远距离是5.563天文单位（1天文单位是指太阳与地球之间的平均距离，约为，是天文学的一种长度单位）.求椭圆轨道的长半轴和短半轴之长各是多少个天文单位（参考数据）.题型十：定点定值问题例28（2023江苏南通高二江苏省如皋中学校考开学考试）已知椭圆C：的左顶点为A，椭圆C的离心率为且与直线相切(1)求椭圆C的方程；(2)斜
26、率存在且不为0的直线l交椭圆C于M，N两点（异于点A），且则直线l是否恒过定点，如果过定点求出该定点坐标，若不过定点请说明理由例29（2023贵州贵阳高二清华中学校考阶段练习）已知中心在原点的椭圆右焦点，点为椭圆上一点(1)求的方程；(2)过点的两条直线分别交椭圆于、两点，且满足，问：直线是否过定点，如果过定点，请求出定点坐标，如果不过定点，请说明理由例30（2023全国高二专题练习）已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为.(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆交于不同的两点，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点.变式45（2023全国高
27、二专题练习）已知椭圆经过点，且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)若经过点，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值.变式46（2023高二课时练习）如图，过原点O的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC并延长，交椭圆于另一点B，求证：kPAkPB为定值变式47（2023高二课时练习）已知椭圆：，其长轴的两个端点分别为，点为椭圆上任意一点（除，外），(1)设直线，的斜率分别为，求的值；(2)若直线，分别与轴交于，两点，为坐标原点.试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.变式48（
28、2023四川凉山高二统考期末）已知椭圆的离心率为，上顶点，M、N为椭圆上异于点P且关于原点对称的两点(1)求椭圆C的标准方程；(2)求证为定值一、单选题1（2023重庆沙坪坝高二重庆一中校考阶段练习）设、分别是椭圆的左、右焦点，若是该椭圆上的一个动点，则的最小值为（）A2B1CD2（2023高二课时练习）若椭圆的弦被点平分，则所在直线的方程为（）ABCD3（2023贵州贵阳高二清华中学校考阶段练习）已知离心率为的椭圆的左、右顶点分别为、，点为该椭圆上位于轴上方一点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，若，则直线的斜率为（）A或B或C或D或4（2023内蒙古包头高二统考期末）已知椭圆，直线依次交
29、轴、椭圆轴于点四点若，且直线斜率则椭圆的离心率为（）ABCD5（2023江苏镇江高二统考开学考试）开普勒第一定律也称椭圆定律轨道定律，其内容如下：每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上.将某行星H看作一个质点，H绕太阳的运动轨迹近似成曲线，行星P在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离，距离太阳最远的距离称为远日点距离.若行星C的近日点距离和远日点距离之和是20（距离单位：亿千米），近日点距离和远日点距离之积是81，则（）A181B97C52D196（2023内蒙古赤峰高二校考阶段练习）在椭圆上求一点，使点到直线的距离最大时，点的坐标为（）ABCD7（2023北京高
30、二101中学校考期中）已知A，B，C是椭圆上的三个点，直线AB经过原点O，直线AC经过椭圆的右焦点F，若，且，则椭圆的离心率是（）ABCD8（2023陕西西安高二西安市铁一中学校考期末）设椭圆的焦点为为椭圆上的任意一点，的最小值取值范围为，其中，则椭圆的离心率为（）ABCD二、多选题9（2023江苏高二南京市人民中学校联考开学考试）2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半粗圆组成的“曲圆”如图，在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点若过原点
31、的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列说法正确的有（）A椭圆的长轴长为B线段长度的取值范围是C面积的最小值是4D的周长为10（2023江苏高二校联考开学考试）如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道上绕月球飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道绕月球飞行，设圆形轨道的半径为R，圆形轨道的半径为r，则（）A轨道的长轴长为B轨道的焦距为C若不变，越小，轨道的短轴长越大D若不变，越大，轨道的离心率越小11（2023高二课时练习）已知为椭圆()的两个焦点，B为椭圆短轴的一个端点，则椭圆的
32、离心率的取值可以是（）ABCD12（2023全国高二课堂例题）多选题已知，为椭圆的左、右焦点，M为椭圆上的动点，则下面四个结论正确的是（）A的最大值大于3B的最大值为4C的最大值为60D的面积的最大值为3三、填空题13（2023重庆沙坪坝高二重庆一中校考阶段练习）设，分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为 .14（2023黑龙江齐齐哈尔高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考期末）已知，为椭圆：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 15（2023山东枣庄高二滕州市第一中学新校校考期中）已知是椭圆的左，右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平
33、分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为 .16（2023江苏高二校联考开学考试）已知点P是椭圆C： 上动点，点A是椭圆C的上顶点当P为下顶点时，取到最大值，则椭圆C的离心率的取值范围为 四、解答题17（2023全国高二随堂练习）已知椭圆，点A，B分别是它的左右顶点，一条垂直于x轴的动直线l与椭圆相交于P，Q两点，当直线l与椭圆相切于点A或点B时，看作P，Q两点重合于点A或点B，求直线与直线的交点M的轨迹方程.18（2023浙江高二校联考期中）如图，点在椭圆上，且.(1)求证：直线为某个定圆的切线：(2)记为椭圆的左焦点.若存在上述的一对点，使得三点共线，求椭圆的离心率的取值范围.19（2023高二课时练习）求所有斜率为1的直线被椭圆所截得线段的中点的轨迹20（2023高二课时练习）已知椭圆的离心率为，点在C上，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
