1、3.1.2函数的表示法【学习目标】课程标准学科素养1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的常见方法(重点、难点).3.会用解析法及图象法表示分段函数4给出分段函数，能研究有关性质（重点）1、数形结合2、数学运算3、直观想象【自主学习】1.函数的三种表示方法表示法定义解析法用 表示两个变量之间的对应关系图象法用 表示两个变量之间的对应关系列表法列出 来表示两个变量之间的对应关系注意：同一个函数可以用不同的方法表示2.分段函数（1）分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的 的函数（2）分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的
2、；各段函数的定义域的交集是 注意：(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数(2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的(3)分段函数的图象要分段来画【小试牛刀】判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)任何一个函数都可以用列表法表示.()(2)任何一个函数都可以用图象法表示.()(3)函数的图象一定是其定义区间上的一条连续不断的曲线.()(4)函数f(x)2x1可以用列表法表示()(5)分段函数由几个函数构成()(6)函数f(x)是分段函数()(7)分段函数的图象不一定是连续的()(8)y|x1|与y是同一函数()【经典例题】题型一 函数的表示法注意：(1)列表
3、法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念(2)在实际操作中，仍以解析法为主例1 公司生产了10台机器，每台售价3000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来注意：把自变量与函数值的对应关系分别用表格、图象和数学表达式加以刻画跟踪训练 1已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出x123f(x)211g(x)321(1)f(g(3)_； (2)若g(f(x)2，则x_.题型二函数图象的画法及其应用注意：作函数图象的步骤及注意点(1)作函数图象主要有三步：列表、描点、连线.作图象时应先确定函数的定义域，再在定义域内化简
4、函数解析式，再列表画出图象.(2)函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点、二次函数的顶点等等.例2 作出下列函数的图象并求出其值域(1)y，x2，)；(2)yx22x，x2,2注意：通过“列表描点连线”作出函数图象，借助图象求出函数值域跟踪训练 2画出下列函数的图象：(1)yx1(x0)；(2)yx22x(x1或x1，则实数a的取值范围是_6、作出函数yx1(xZ)的图象：7.已知函数f(x)x22x(1x2).(1)画出f(x)图象的简图；(2)根据图象写出f(x)的值域.8已知f(x)xb，f(ax1)3x2，求a，b的值9已知
5、函数f(x)(a，b为常数，且a0)满足f(2)1，且f(x)x有唯一解，求函数yf(x)的解析式和ff(3)的值【参考答案】【自主学习】1、数学表达式 图象 表格 2、对应关系 并集 空集【小试牛刀】(1)如果函数的定义域是连续的数集，则该函数就不能用列表法表示；(2)有些函数的是不能画出图象的，如f(x)(3)反例：f(x)的图象就不是连续的曲线.(4)该函数是连续的，则该函数就不能用列表法表示。(5)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数(6)对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数(7)定义域不连续，图像不连续(8) 定义域和对应关系相同【经典例题】例1
6、列表法x(台)12345y(元)3000600090001200015000x(台)678910y(元)1800021000240002700030000图象法：如图所示解析法：y3000x，x1,2,3，10跟踪训练 1 (1)2(2)1解析(1)由表知g(3)1，f(g(3)f(1)2；(2)由表知g(2)2，又g(f(x)2，得f(x)2，再由表知x1.例2 (1)列表：x2345y1画图象，当x2，)时，图象是反比例函数y的一部分(图1)，观察图象可知其值域为(0,1(2)列表：x21012y01038画图象，图象是抛物线yx22x在2x2之间的部分(图2)由图可得函数的值域是1,8跟
7、踪训练 2 解(1)yx1(x0)表示一条射线，图象如图(1).(2)yx22x(x1)21(x1或x1)是抛物线yx22x去掉1x1之间的部分后剩余曲线.如图(2).例3 解(1)21时，f(a)1，a21；当1a1时，f(a)a21，a1,1；当a1(舍去)综上，a2或a.跟踪训练 3 解(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示（2）由于f，结合此函数图象可知，使f(x)的x的取值范围是.(3)由图象知，当1x1时，f(x)x2的值域为0,1；当x1或x1时，f(x)1.所以f(x)的值域为0,1.例4 解（1）设f(x)axb(a0)，则ff(x)f(axb)a(axb)ba2xa
8、bb.又ff(x)4x8，a2xabb4x8，即解得或f(x)2x或f(x)2x8. （2）设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)1得c1，则f(x)ax2bx1，f(x1)f(x)a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2axab2x.故得解得a1，b1，故得f(x)x2x1.跟踪训练 4 解 (1)设f(x)kxb(k0)，则f(f(x)k(kxb)bk2xkbb16x25，所以解得k4，b5或k4，b，所以f(x)4x5或f(x)4x.(12)设f(x)ax2bxc(a0)，f(0)1，c1.f(x1)f(x)a(x1)2b(x1)c(ax2bxc)2axab.又f(x1)f(x)2
9、x，f(x)x2x1.例5 解 配凑法：f(1)x21(1)2，f(x)x2.又11，f(x)x2(x1)换元法：令t1，则x(t1)2.由于x0，所以t1.代入原式有f(t)(t1)22(t1)1t2，所以f(x)x2(x1)跟踪训练 5 解 （1）配凑法：f(x1)x23x2(x1)25x1(x1)25(x1)6，f(x)x25x6.换元法：令tx1，则xt1，f(t)(t1)23(t1)2t25t6，即f(x)x25x6.(2)f22，所以f(x)x22x.因为0，所以11，所以f(x)x22x(x1)例6 解 （1）2f(x)f3x，将x用替换，得2ff(x)，联立得解得f(x)2x(
10、x0)，即f(x)的解析式是f(x)2x(x0)(2)f(x)2f(x)x22x，将x换成x，得f(x)2f(x)x22x.由得3f(x)x26x，f(x)x22x.跟踪训练 6 解 由条件知，f(x)2f(x)9x2，则解得f(x)3x2.【当堂达标】1.D 解析f(3)1，由1x23得x24，解得x2或x2(舍去)综上可得，所求x的值为4或2.5.(4，)解析当a0时，f(a)a11，解得a4，符合a0；当a1，无解6、解这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线yx1上，如图(1)所示.7. 解(1)f(x)图象的简图如图所示.(2)由f(x)的图象可知，f(x)所有点的纵坐标的取值范围是1，3，则f(x)的值域是1，3.8.解由f(x)xb，得f(ax1)ax1b.ax1b3x2，a3，b12，即a3，b1.9.解因为f(2)1，所以1，即2ab2，又因为f(x)x有唯一解，即x有唯一解，所以ax2(b1)x0有两个相等的实数根，所以(b1)20，即b1.代入得a.所以f(x).所以ff(3)ff(6).
