1、第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理 课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页学习目标：1.了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量(重点)2.掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义(难点)3.两个向量的夹角与两条直线所成的角(易混点)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页自 主 预 习探 新 知1平面向量基本定理条件 e1，e2 是同一平面内的两个_结论对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 1，2，使_基底 _的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一
2、组基底不共线的向量不共线a1e12e2课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页思考：(1)0能与另外一个向量a构成基底吗？(2)平面向量的基底是唯一的吗？提示(1)不能基向量是不共线的，而0与任意向量是共线的(2)不是平面内任何不共线的两个向量都可以作为基底，基底一旦确定，平面内任何一向量都可以用这一基底唯一表示课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2向量的夹角条件两个_向量 a 和 b产生过程作向量OA a，OB b，则_叫做向量 a 与 b 的夹角范围0，0a 与 b_90a 与 b_，记作_特殊情况180a 与 b_非零AOB同向垂直ab反向课时
3、分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页基础自测1思考辨析(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底()(2)若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则1e12e2(1，2为实数)可以表示该平面内所有向量()(3)若ae1be2ce1de2(a，b，c，dR)，则ac，bd.()课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解析(1)错误根据基底的概念可知，平面内不共线的向量都可以作为该平面内向量的基底(2)正确根据平面向量基本定理知对平面内任意向量都可以由向量e1，e2线性表示(3)错误当e1与e2共线时，结论不一定成立答案(1)(2)
4、(3)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2若ABC是等边三角形，则AB与BC的夹角的大小为_120 由向量夹角的定义知AB与BC的夹角与B互补，大小为120.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3如图2-3-1所示，向量OA 可用向量e1，e2表示为_图2-3-14e13e2 由图可知，OA 4e13e2.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页合 作 探 究攻 重 难用基底表示向量(1)D，E，F分别为ABC的边BC，CA，AB上的中点，且BCa，CAb，给出下列结论：AD 12ab；BEa12b；CF12a12b；EF1
5、2a.其中正确的结论的序号为_课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)如图2-3-2，已知梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设AD a，AB b，试用a，b表示DC，EF，FC.图2-3-2思路探究 用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(1)(1)如图，AD ACCD b12CBb12a，正确；BEBCCEa12b，正确；ABACCBba，CFCA12ABb12(ba)12b12a，正确；课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重
6、难返首页EF12CB12a，不正确(2)因为DCAB，AB2DC，E，F分别是DC，AB的中点，所以FCAD a，DC AF12AB12b.EFED DA AF12DC AD 12AB1212ba12b14ba.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 用基底表示向量的三个依据和两个“模型”(1)依据：向量加法的三角形法则和平行四边形法则；向量减法的几何意义；数乘向量的几何意义(2)模型：课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练1在ABC中，AE15AB，EFBC，EF交AC于F，设ABa，ACb，则BF等于()【导学号：84352209
7、】Aa15b Ba15bC23a13bD13a23b图2-3-3课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页A AE15AB，BE45AB.又EFBC，EF15BC15(ACAB)，BFBEEF45AB15(ACAB)15ACABa15b.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页向量的夹角(1)已知向量a，b，c满足|a|1，|b|2，cab，ca，则a，b的夹角等于_(2)若a0，b0，且|a|b|ab|，求a与ab的夹角.【导学号：84352210】思路探究 可作出平面图形利用向量夹角定义及平面几何知识来解决课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探
8、究攻重难返首页(1)120 作BCa，CAb，则cabBA(如图所示)，则a，b夹角为180C.|a|1，|b|2，ca，C60，a，b的夹角为120.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)解 由向量运算的几何意义知ab，ab是以a，b为邻边的平行四边形两条对角线如图，|a|b|ab|，BOA60.又OC ab，且在菱形OACB中，对角线OC平分BOA，a与ab的夹角是30.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 两向量夹角的实质与求解方法：1两向量夹角的实质：从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识加以解决.
9、2求解方法：利用平移的方法使两个向量起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.提醒：寻找两个向量的夹角时要紧扣定义中“共起点”这一特征，避免出现错误.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练2在ABC中，若A120，ABAC，则AB与BC夹角的大小为_150 如图所示，因为A120，ABAC，所以B30，所以AB与BC的夹角为180B150.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页平面向量基本定理的唯一性及其应用探究问题若存在实数1，2，1，2及不共线的向量e1，e2，使向量a1e12e2，a1e12e2，则1，2，1，2有怎
10、样的大小关系？提示：由题意1e12e21e12e2，即(11)e1(22)e2，由于e1，e2不共线，故11，22.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页 如图2-3-4所示，在OAB中，OA a，OB b，点M是AB上靠近B的一个三等分点，点N是OA上靠近A的一个四等分点若OM与BN相交于点P，求OP.【导学号：84352211】图2-3-4思路探究 可利用OP tOM 及OP ON NP ON sNB 两种形式来表示OP，并都转化为以a，b为基底的表达式根据任一向量基底表示的唯一性求得s，t，进而得OP.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解
11、OM OA AMOA 23ABOA 23(OB OA)13a23b.因为OP 与OM 共线，故可设OP tOM t3a2t3b.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页又NP 与NB 共线，可设NP sNB，OP ON sNB 34OA s(OB ON)34(1s)asb，所以341st3，s23t，解得t 910，s35，所以OP 310a35b.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页母题探究：1.将本例中“M是AB上靠近B的一个三等分点”改为“M是AB上靠近A的一个三等分点”，“点N是OA上靠近A的一个四分点”改为“N为OA的中点”，求BPPN的值
12、图2-3-5解 BNON OB 12ab，OM OA AM OA 13ABOA 13(OB OA)23OA 13OB 23a13b，因为O，P，M和B，P，N分别共线，课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页所以存在实数，使BPBN2ab，OP OM 23 a3b，所以OB OP PBOP BP23 2 a3 b，又OB b，所以23 20，31，解得45，35，所以BP45BN，即BPPN41.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2将本例中点M，N的位置改为“OM 12MB，N为OA中点”，其他条件不变，试用a，b表示OP.图2-3-6解 AM O
13、M OA 13OB OA 13ba，BNON OB 12OA OB 12ab，因为A，P，M三点共线，所以存在实数使得APAM 3ba，课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页所以OP OA AP(1)a3b.因为B，P，N三点共线，所以存在实数使得BPBN2ab，所以OP OB BP2a(1)b.即12，31，解得35，45，所以OP 25a15b.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 1.任意一向量基底表示的唯一性的理解：条件一 平面内任一向量a和同一平面内两个不共线向量e1，e2条件二a1e11e2且a2e12e2结论12，12课时分层
14、作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2.任意一向量基底表示的唯一性的应用：平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e1，e2的线性组合1e12e2.在具体求1，2时有两种方法：(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理(2)利用待定系数法，即利用定理中1，2的唯一性列方程组求解课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页当 堂 达 标固 双 基1已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是()A.AB，DC B.AD，BCC.BC，CBD.AB，DAD 由于AB，DA 不共线，所以是一组基底课时
15、分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2已知ABCD中DAB30，则AD 与CD 的夹角为()A30 B60C120D150D AD 与CD 的夹角与DAB互补，其大小为18030150.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3设D为ABC所在平面内一点，若BC3CD，则()【导学号：84352212】A.AD 13AB43ACB.AD 13AB43ACC.AD 43AB13ACD.AD 43AB13AC课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页A 因为BC3CD，所以ACAB3(AD AC)3AD 3AC，所以3AD 4ACAB，所以
16、AD 43AC13AB13AB43AC.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页4已知向量a，b是一组基底，实数x，y满足(3x4y)a(2x3y)b6a3b，则xy的值为_3 因为a，b是一组基底，所以a与b不共线，因为(3x4y)a(2x3y)b6a3b，所以3x4y6，2x3y3，解得x6，y3，所以xy3.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页5已知ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若ABa，ACb，用a，b表示AD，AE，AF.【导学号：84352213】图2-3-7解 AD ABBD AB12BCa12(ba)12a12b；AEABBEAB13BCa13(ba)23a13b；AFABBFAB23BCa23(ba)13a23b.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页课时分层作业（十八）点击上面图标进入 谢谢观看