1、共 44 页1第三十讲数列求和共 44 页2回归课本共 44 页31.公式法对于等差数列和等比数列,在求和时可直接套用它们的前n项和公式:等差数列前n项和公式:Sn=na1+等比数列前n项和公式:Sn=1()(1).22nn aan nd11,1,(1),1.1nnaqaqqq共 44 页4另外,还有一些常见的求和公式:(1)1+2+3+n=(2)1+3+5+(2n-1)=n2,(3)12+22+32+n2=(1),2n n(1)(21).6n nn共 44 页52.倒序相加法一个数列如果距首末两项等距离的两项和相等,那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法.如等差数列前n项和公式的推导.3.错
2、位相减法如果当数列的每一项可分解为两个因式的乘积,各项的第一个因子成公差为d的等差数列,第二个因子成公比为q的等比数列,可将此数列前n项的和乘以公比q,然后错项相减从而求出Sn.共 44 页64.拆项分组法把不能直接求和的数列分解成几个可以求和的数列,分别求和.共 44 页75.裂项相消法把数列的每一项变为两数之差,以便大部分项能“正”“负”相消,只剩下有限的几项.裂项时可直接从通项入手,并且要判断清楚消项后余下哪些项,常用的裂项公式为:111(1)(1)11111(2)(1)(1)2113 n n!n1!n!n nnnnnnn共 44 页86.并项转化法有时候把两项并成一项考虑,也可以实现我
3、们的转化目的.通常适用于数列中各项的符号是正负间隔的情况.共 44 页9考点陪练共 44 页10 m*1.f xxaxfx2x1,nNn()1()2.111.1f nnnABnnnnCDnn设函数的导函数则数列的前 项和是 m 1n1111,()(1)1:fxmxa2x1,a1,m2,f xx x1,SA.1.f nn nnnnn 解析用裂项法求和得故选答案:A共 44 页112.已知an=(nN*),记数列an的前n项和为Sn,则使Sn0的n的最小值为()A.10B.11C.12D.133211n 101111:f x,f 1f 2f 100,S0.n 11,f n0,311,02af 11
4、0,S0.B.112Px解析 构造函数此函数关于点对称故即当 时故选答案:B共 44 页123.首项为2,公比为3的等比数列,从第n项到第N项的和为720,则n,N的值分别为()A.2,6 B.2,7C.3,6 D.3,7解析:由题意知SN-Sn-1=720,代入得解得n=3,N=6,故选C.答案:C12(1 3)2(1 3)720,1 31 3Nn共 44 页13 nnn51,(1)4.5.1.611.anS,aS630()n nABCD数列的前 项和为若则等于n5111,(1)1111111511.223566S6:an nnn 解析答案:B共 44 页145.(2010黄冈中学月考题)化
5、简Sn=n+(n-1)2+(n-2)22+22n-2+2n-1的结果是()A.2n+1+n-2B.2n+1-n+2C.2n-n-2D.2n+1-n-2共 44 页15解析:将Sn两边同时乘以2,可以得到:2Sn=2n+(n-1)22+(n-2)23+22n-1+2n,与Sn=n+(n-1)2+(n-2)22+22n-2+2n-1两边同时相减可得到2Sn-Sn=-n+(2+22+23+2n-1)+2n=-n+2n,Sn=-n+2n-2+2n=2n+1-n-2.故选D.答案:D12(1 2)1 2n共 44 页16类型一公式法求和解题准备:如果数列是等差数列或等比数列等特殊数列时,直接应用求和公式
6、求解.共 44 页17 nnn1a,a65(),2()n.,Snnnn为奇数【典例】已知数列通项为偶数求其前 项和共 44 页18解当n为奇数时,奇数项组成以a1=1为首项,公差为12的等差数列,偶数项组成以a2=4为首项,公比为4的等比数列.12nn121(1 65)4(1 4)(1)(32)4(21)2;21 4232(1 65)4(1 4)(32)4(21)2Sn,.S.21 423nnnnnnnnnnnnn当 为偶数时 奇数项和偶数项各有项共 44 页19类型二分组转化法求和解题准备:1.有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,但若把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合,就能
7、转化为等差数列或等比数列.从而可以利用等差、等比数列的求和公式解决.这种求和方法叫分组转化法.2.此类问题求解的关键是要分析研究数列的通项公式.共 44 页20212(2010)n:1 1 114,37n12,naaa【典例】武汉 求下面数列的前 项和212n121111111147321nS1 1S111147(32),111,1a1,Sn;a1,S1.nnnnnnnaaanaaaaaaaaa 解 前 项和为设当时当时共 44 页212n12n121(31).2(31)(31);221(31)S1473n2a1SSSna1,S.S2Snnnnnnnnnannaa 当时当时共 44 页22反思
8、感悟有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列.若将这类数列适当拆开,可分为几个等差等比或常见的数列,即能分别求和,然后再合并.共 44 页23类型三裂项相消法求和解题准备:1.裂项相消法是分解与组合思想在数列求和中的具体应用,其实质是将数列中的某些项分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.共 44 页242.数列中的每一项均能分裂成一正一负两项,这是裂项相消法使用的前提,一般地,形如(其中an是等差数列)的数列可尝试采用此法.常用的裂项技巧有:11nnaa共 44 页2511 11(1);()11(2)();1111(3);(21)(21)2 21211111(4).(1)
9、(2)2(1)(1)(2)n nkknnknknknknnnnnn nnn nnn共 44 页2611212311,1,1,1,1233444200822007,200832008【典例】数列 nnnn21,1a,a;2bbn.nna a 写出它的通项并说明数列是等差数列设求数列的前 项之和分析准确写出an的表达式,然后用裂项相消法.共 44 页27 nn 1nn 1 a1aa12112(1)11.2211,22a1,212.nnnnnnnnn 解因为所以数列是首项为 公差为 的等差数列 2nn14112,(1)(3)1311111111112 24354621311112b2.2323bnn
10、na annnnnnnnnn因为所以数列的前 项和为共 44 页28类型四错位相减法求和解题准备:错位相减法是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,也是数列求和中经常用到的一种方法.共 44 页29【典例4】已知数列an是等差数列,且a1=2,a1+a2+a3=12.(1)求数列an的通项公式;(2)令bn=anxn(xR).求数列bn的前n项和公式.分析用错位相减法解(2).共 44 页30解(1)设数列an公差为d,则a1+a2+a3=3a1+3d=12,a1=2,d=2,an=2n.(2)令Sn=b1+b2+bn,则由bn=anxn=2nxn,得Sn=2x+4x2+(2n-2)xn-1
11、+2nxn.xSn=2x2+4x3+(2n-2)xn+2nxn+1.当x1时,减去,得(1-x)Sn=2(x+x2+xn)-2nxn+1=-2nxn+1,Sn=2(1)1nxxx122(1)2.(1)1nnxxnxxx共 44 页31n1n2x1,S242nn n(1),1,2(1)2,1.(S11.)1nnn nxxxnxxxx当时综上可得共 44 页32错源一思维定势,数错项数23n13411,1n2S2.22nnnn【典例】求数列的前 项和共 44 页33223123n121nn1,22312221231222212111122222211112221.12212aS,S3nnnnnnn
12、nnnnnnSnSnn 错解 所给数列的通项公式为则 得共 44 页34剖析本题的错误原因在于乘公比错位相减后,中间是n-1项求和,错当成了n项和,对相减后的结构认识不清楚或认识模糊.共 44 页35223nn123n121111,223122212312222111111222221111332211222123.aS,S32nnnnnnnnnnnnnnSnSnnn 正解 所给数列的通项公式为则 得共 44 页36错源二忽略基本“特征”【典例2】已知两个等差数列an和bn的前n项和为Sn和Tn,且对一切正整数n都有试求的值.53,27nnSnTn99ab共 44 页37错解设Sn=(5n+3
13、)k,Tn=(2n+7)k,则a9=S9-S8=(59+3)k-(58+3)k=5k.b9=T9-T8=(29+7)k-(28+7)k=2k.因此剖析错解忽略了等差数列前n项和公式的基本“特征”.其实,等差数列的前n项和是关于n的二次函数,且常数项为零.9955.22akbk共 44 页38正解设Sn=(5n+3)nk,Tn=(2n+7)nk,那么,a9=S9-S8=(59+3)9k-(58+3)8k=88k,b9=T9-T8=(29+7)9k-(28+7)8k=41k,因此998888.4141akbk共 44 页39技法一分类讨论思想【典例1】定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它
14、的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列an是等和数列,且a1=2,公和为5,那么a18的值为_;这个数列的前n项和Sn的计算公式为_.解题切入点本题重点考查同学们在新情境下的独立分析问题和解决问题的能力.共 44 页40解析由定义知a1+a2=a2+a3=a2k-1+a2k=a2k+a2k+1=5.且a1=2,所以a1=a3=a2k+1=2,a2=a4=a2k=3.所以a18=3.共 44 页41 nnnnnn,a2,3,S23;n,a2,5222221122115123.2225(),251()3,SS.2nnnnnnnnnnn nnn 当
15、为偶数时中有个个当 为奇数时中有个个为偶数所以为奇数n5(),251().23Sn nnn 为偶数答案为奇数共 44 页42技法二函数思想【典例2】若数列an的前n项和Sn=n2-10n(n=1,2,3,),则此数列的通项公式为_;数列nan中数值最小的项是第_项.解析当n2时,an=Sn-Sn-1=n2-10n-(n-1)2+10(n-1)=2n-11.当n=1时,S1=a1=-9,也满足式.所以an=2n-11.共 44 页43nan=(2n-11)n=2n2-11n.所以n=时,nan最小.由于nN*,所以n=3时,使得nan最小.故通项公式为an=2n-11,数列nan中数值最小的项是第3项.答案an=2n-113114共 44 页44方法与技巧本题第一问注意an=Sn-Sn-1满足n2时,能否合写成一个通项公式,需要验证n=1的情况.而第二问是利用二次函数的思想,由于二次函数开口向上,最小值在对称轴上取得,但是由于nN+,所以最小值在距离对称轴较近的整数n上取得.体现了数列与函数的密切关系.
