1、共 66 页1第九讲指数与指数函数共 66 页2回归课本共 66 页3n.():a 11整数指数幂整数指数幂概念(nN*);共 66 页4 0n*mnnmmnnnmnna(a0);aa0,nN.2:aam,nZ;a=m,nZ;m,nZ,a0;ab?11?aa bnZa.mnm nnaaaa整数指数幂的运算性质共 66 页5n*1*2.,xa,xn1,nN.nn(a0,m,nN,n1);a0,m,nN,nan,a11).,0,0,(0);()(nmnnnnmnnnnmnmnaaa aaa aaa aaa maaa分数指数幂一般地 如果那么 叫做其中且当 是奇数时当 是偶数时且且的 次方根共 66
2、 页63.有理指数幂的运算性质设a0,b0,则aras=ar+s(r,sQ);(ar)s=ars(r,sQ);(ab)r=arbr(rQ).4.指数函数的定义形如y=ax(a0且a1,xR)的函数叫做指数函数.共 66 页75.指数函数的图象与性质y=axa10a0时,y1;当x0时,0y1;当x0时,0y1当x1在(-,+)上是增函数在(-,+)上是减函数ZB)共 66 页9考点陪练共 66 页10 1.f xf 2x()A.2f x B.2g xC.2 f x,(),2g xD.2fg x2xxxxxeeeeg x若则等于共 66 页11 22:f 2x2()()22()()24f x g
3、 x.xxxxxxxxxxeeeeeeeeee解析答案:D共 66 页120.90.48123312213121.531322.y4,y8,y()A.yyyB.yyyC.yyyD.1yy2y,设则共 66 页13 1.51.50.91.80.481.44123x132:y42,y82,yf x2R,1.81.51.44,yyy,1D.2.2解析由于指数函数在 上是增函数 且所以选答案:D共 66 页142211.2.(1,)3.y1.,121.,(1,)(2x0)xxABCD函数的值域为共 66 页15x22:x0,211211.1.12xxyyxyy 解析 因为所以由于答案:C共 66 页1
4、6|4.f x,xR,f x()A.0,B.0,C.0,12D.0,x 设那么是奇函数且在上是增函数偶函数且在上是增函数奇函数且在上是减函数偶函数且在上是减函数共 66 页17|1,0,1222,0:f x.,f x0,.,xxxxx 解析其图象如图由图象可知是偶函数且在上单调递减答案:D共 66 页185.(2010山东青岛二模)若y=e|x|(xa,b)的值域为1,e2,则点(a,b)的轨迹是图中的()A.线段BC和OCB.线段AB和BCC.线段AB和OAD.线段OA和OC共 66 页19解析:据题意当a=-2,0b2时,函数的值域符合条件,其轨迹为图中线段AB,当-2a0,b=2时,函数
5、值域符合条件,此时其轨迹为图中线段BC,故选B.答案:B共 66 页20类型一指数幂的化简与求值共 66 页21解题准备:解决此类问题的关键是利用幂指式的运算性质,将根式与指数幂互化.一般地,进行指数幂的运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,便于利用幂的运算性质,化繁为简.对于计算结果,如果题目以根式形式给出,则结果用根式的形式表示,如果题目以分数指数幂形式给出,则结果用分数指数幂的形式表示.有理数指数幂的运算性质中,其底数都大于0,否则不能用性质来运算.结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.共 66 页221212031211213332241333322333
6、17(1)(0.027)2(21);795(2)(3)(4);68(3)1 2.142:a ba ba babaa bbaababa【典例】化简下列各式共 66 页23 1132111362213112222127257211000910549145.33513(2)2 1325455.244a baba baba bbb 解原式原式共 66 页24 1113332112133333111211233333332112333311111333331133(8)2134222442.32aabababa baaaabaa bbba baaaaaaaab原式共 66 页25类型二指数函数的图象解题
7、准备:指数函数图象的特点(1)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示,则0cd1a0,f(t)=t2-2t-5,故f(t)=(t-1)2-6.又t0,当t=1时,ymin=-6,故函数f(x)的值域是-6,+).由于t=2x是增函数,要求f(x)的增区间实际上是求f(t)的增区间,求f(x)的减区间实际上是求f(t)的减区间.共 66 页40f(t)在(0,1上递减,在1,+)上递增.故由t=2x1得x0;由t=2x1得x0,f(x)的增区间是0,+),减区间是(-,0.共 66 页412 3412yxx反思感悟 求的单调区间时易忽视定义域.事实上,函数的单调性区间
8、是其定义域的子集.涉及复合函数单调性问题,首先应弄清函数是由哪些基本函数复合得到的,求出复合函数的定义域,然后分层逐一求解内层函数的单调区间和外层函数的单调区间.利用定义证明时可分层比较,对于内外层函数,注意“同增异减”.共 66 页42类型四指数函数的综合问题解题准备:指数函数是一类重要函数,与其他知识综合是高考考查的热点.解决这类问题的关键是熟练掌握指数函数的图象和性质,并注意分类讨论和等价转化的数学思想和方法.共 66 页43 x2x4f xaa(a0,a1).1f x;2f x;31x1,1,f xb.b.aa【典例】已知且判断的奇偶性讨论的单调性当时恒成立求 的取值范围共 66 页4
9、4分析先研究函数定义域,再依照奇偶函数的定义判断奇偶性;对于单调性,可结合指数函数的单调性进行分析;对于恒成立问题,则可借助单调性,求出f(x)的最值,再求解b的范围.共 66 页45 xx2 1R,.fxaaf x,f x1.aa 解函数定义域为关于原点对称又因为所以为奇函数共 66 页46(2)当a1时,a2-10,y=ax为增函数,y=a-x为减函数,从而y=ax-a-x为增函数,所以f(x)为增函数.当0a1时,a2-10,且a1时,f(x)在定义域内单调递增.共 66 页47 1m2n2i232f xR,1,1.f1f xf 1,f xf1aaf xb1,1,b1,111,1b,1.
10、aaaaaa 由知在 上是增函数在区间上为增函数所以要使在上恒成立则只需 故 的取值范围是共 66 页48反思感悟判断函数的奇偶性时必须先研究函数的定义域,而研究函数的单调性时,可以在已知的常见函数的单调性的基础上进行讨论,对于恒成立问题,一般都会与函数的最值有关,通过分离参数,求出函数的最值,从而可得到参数的取值范围.共 66 页49错源一忽视换元后新元的取值范围共 66 页50111.913xxy【典例】求函数的值域211221111,93331133,132y443,.4,xxxxxtyttt 错解令则所以函数的值域为共 66 页51剖析上述解法错误的原因在于忽视了换元后新元t的范围.事
11、实上,新元t(0,+).共 66 页522122211111,9333113,1,3241,3132ttt0,0,y1,41,.xxxxxyxytttyt 正解 函数令则由知因为函数在上为增函数 所以所以函数的值域为共 66 页53评析换元法不管在什么情况下使用,都必须要注意确定新元的范围,因为它是换元后的新函数的定义域.共 66 页54错源二忽视对参数的分类讨论造成漏解共 66 页55【典例2】如果函数y=a2x+2ax-1(a0,且a1)在区间-1,1上的最大值是14,试求a的值.2x22at,yt2t1t12.x1,1,ttay,a1214,a3a5(),a3.1,.aa 错解 设则由于
12、所以因此当时 取最大值 有解得或舍去 即共 66 页56剖析本题的错解在于忽视了对参数a的讨论,误认为a1.当指数函数和对数函数的底数含有参数时,要先对参数进行讨论,确定单调性,进而解决问题.共 66 页57正解设t=ax,则y=t2+2t-1=(t+1)2-2.当a1时,ta-1,a,ymax=a2+2a-1=14,解得a=3或a=-5(舍);当0a3-y+5-x,则下列式子成立的是()A.x+y0B.x+y0C.x-y0共 66 页59 xyyxxxyyxxxx 3535,3535,3f x3y3(,),y3,.,f xfy,x113.y,xy0,A551.515.15xyyxyxx 解析
13、由得设在上是增函数在上是减函数在上是增函数由已知条件 得故答案选答案A共 66 页60技法二四种策略比较指数大小共 66 页61一若底数相同,则可用单调性比较【典例2】若0a1,则a,aa,aaa大小顺序是_.解析因为f(x)=ax(0a1)在xR上是减函数,又0aaaa1,所以aa0aaaaa1,即aaaaaa.答案aaaaaa共 66 页62二若指数相同,则可用图象比较共 66 页63【典例3】比较0.7a与0.8a的大小.解设函数y=0.7x与y=0.8x,则两个函数的图象关系如图.当x=a0时,0.8a0.7a;当x=a0时,0.8a30=1,又y=0.4x是减函数,所以0.430.43.共 66 页65四作商法比较【典例5】比较aabb与abba(ab0)的大小.abba1,0.1,ab0,a ba b.1ababa babbaa babbaa babaaaa bbabbbaabbaba ba b 解即共 66 页66方法与技巧当底数与指数都不同,中间量又不好找,可采用作商比较法,即对两值作商,看其值大于1还是小于1.从而确定所比值的大小,一般情况下,这两个值最好是正数.
