1、24.4 一元二次方程的应用）第一课时教学目标1.会根据实际问题中面积的等量关系,列出一元二次方程并求解.2.能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理.3.通过解决有关面积的实际问题,学会将实际应用问题转化为数学问题,经历将实际问题抽象为代数问题的过程,进一步体会数学中的建模思想.教学重难点【教学重点】列一元二次方程解决与面积有关的应用题.【教学难点】实际问题中找到等量关系,根据实际意义检验结果是否符合题意.教学过程一、新课导入复习回顾1.三角形、正方形、长方形、平行四边形的面积公式是什么呢?2.解一元二次方程的方法有哪些?3.列方程解应用题的一般步骤是什么?预设答案：1.三角形面积公式：S
2、=12 ah正方形面积公式：S=2a长方形面积公式：S=ab平行四边形面积公式：S=ah2.解一元二次方程的方法有配方法、公式法、因式分解法3.列方程解应用题的一般步骤是:（1）弄清题意，找出未知数，并用 x 表示；（2）找出应用题中数量之间的相等关系，列方程；（3）解方程；（4）检验，写出答案。师生活动：教师提问,学生回顾思考，并举手回答设计意图：通过复习有关面积公式及列方程解应用题的步骤,为本节课的探究活动做好铺垫,很自然地走进今天的学习内容;创设实际问题的导入,让学生感受建模思想在与面积有关的实际问题中的应用,激发学生学习兴趣.二、新课讲解1.例题讲解例 1、如图，某学校要在校园内墙边的
3、空地上 修建一个长方形的存车处，存车处的一面靠墙(墙长 22 m)，另外三面用 90 m 长的铁栅栏围起来.如果这 个存车处的面积为 700 m2,求这个长方形存车处的长和宽.解：设长方形靠墙的一边的长为 xm，得方程x290 x1400=0.解得：x170，x220.由于墙长 22m，x170 不合题意，应舍去.当 x20 时，9090203522x答：这个长方形存车处的长和宽分别是 35m 和 20m.师生活动：学生独立思考后,小组针对问题进行交流讨论,共同探究问题并做出解答,教师给学生充足的思考时间,对学习有困难的学生加以指导,对学生的解答教师点评并规范解题步骤.设计意图：通过数形结合的
4、思想，解决与一元二次方程的一些问题.进一步提高学生读图能力和解决问题的能力.2.归纳总结:一元二次方程应用题中对于根的取舍，关键是要体会未知数 x 所代表的实际意义及限制条件如“平均增长率 x 不能为负”、“小路的宽不能超过矩形种植地的宽”等这些细节问题都是根取舍的关键所在师生活动：学生在教师的启发下归纳发言，教师在学生概括的基础上进行归纳。设计意图：通过归纳总结，使学生掌握在一元二次方程应用题中，根据实际问题取舍根。3做一做等腰梯形的面积为 160cm2,上底比高多 4cm,下底比上底多 16cm，求这个梯形的高.导引：本题可设高为 x cm，上底和下底都可以用含 x 的代数式表示出来.然后
5、利用梯形的面积公式来建立方程求解.解：设这个梯形的高为 x cm,则上底为（x+4）cm,下底为(x+20)cm.根据题意得：1(420)1602 x xx整理，得：2+12160=0 xx 解得x1=8,x2=20(不合题意，舍去)答：这个梯形的高为 8cm.师生活动：学生思考、书写，教师巡视观察学生做的情况，然后通过课件展示做题过程设计意图：通过课堂练习巩固新知，进一步加强学生一元二次方程解决实际问题的能力,增强学生的应用意识和独立思考的能力.4.归纳总结利用一元二次方程解决规则图形问题时，一般要熟悉几何图形的面积公式、周长公式或体积公式，然后利用公式进行建模并解决相关问题.师生活动：学生
6、归纳发言，教师在学生概括的基础上进行归纳.设计意图：通过归纳总结，使学生掌握运用一元二次方程解决规则图形的问题的一般步骤。5.练一练（1）某校准备修建一个面积为 180 平方米的矩形活动场地，它的长比宽多 11 米，设场地的宽为 x 米，则可列方程为()Ax(x11)180 B2x2(x11)180Cx(x11)180 D2x2(x11)180答案：C（2）一个直角三角形的两条直角边的和是 17 cm，面积是 30 cm2，则斜边长为()A12 cm B13 cmC14 cm D15 cm答案：B师生活动：学生独立思考,尝试独立完成解答过程,小组内交流答案,教师对学生的解答作出点评.设计意图：
7、通过对相关解题思想的总结，再加以练习，让学生更加深刻理解用一元二次方程解应用题的规则，巩固所学知识。6.例题讲解例 3 已知一本数学书的长为 26 cm，宽为 18.5 cm，厚为 1 cm 一张长方形包书纸如图所示，它的面积为 1 260 cm2,虚线表示的是折痕.由长方形相邻两边与折痕围成的四角均为大小相同的正方形.求正方形的边长.分析：问题中的等量关系为：包书纸的长宽1260.只要把包书 纸的长和宽用正方形的边长表示出来就可以了.解：设正方形的边长为 x cm，根据题意，得(262x)(18.5212x)1260.整理，得x232x68=0.解这个方程，得：x12，x234(不合题意，舍
8、去).答：正方形的边长是 2 cm。师生活动：学生在教师的引导下思考回答,独立完成解答过程,教师帮助有困难的学生,并展示答案,同时规范做题格式.设计意图：师生共同找题中的已知量与未知量之间的等量关系,列出方程解决问题,提高学生的读题、审题能力,培养学生深入思考、分析问题的能力,又培养学生合作解决问题的意识.7.总结归纳在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，但一般情况下只有一个根符合实际问题的要求，所以解方程后一定要检验看哪个根是符合实际问题的解.师生活动：学生归纳发言，教师在学生概括的基础上进行归纳。设计意图：通过归纳总结，使学生更加清晰掌握在用一元二次方程解决实际问题时根的取舍
9、，培养学生分析问题的能力三、课堂练习1.已知一个直角三角形两直角边的和是 12,斜边的长是 10,求这个直角三角形两直角边的长.解：设一条直角边长为 x,则另一条直角边长为 12-x.由勾股定理可得：x2+(12-x)2=102整理化简得：x2-12x+22=0解得：即两条直角边的长分别为：2.一个三角形的一边长为 x4,这条边上的高为 2x1，面积为112，求 x 的值.解：由题意得：12614,614xx6 146 14.，1114 2 122xx 整理化简得：2x2-7x-15=0解得：故 x 的值是 5.师生活动：学生解答，教师展示动画，给出解释设计意图：知识的综合运用，通过本环节的学习，让学生巩固所学知识四课堂小结本节课所学知识：一元二次方程的应用几何图形问题。设计意图：通过学生自我反思、小组交流、引导学生自主完成对本节重要知识技能和思想方法的小结.1235,()2xx舍去
