1、专题 6 函数整数解问题 1已知函数1()()22xf xkxex=+，若()0f x 的解集中有且只有一个正整数，则实数 k 的取值范围为()A2214e，21)2e B221(4e，212e C322121,)64ee D321 21,)62ee【解析】解：()0f x，即1()202xkxex+，也就是1()22xkxex+，即122xxkxe+，当(1,)x+时，()0g x，若()0f x 的解集为(,)s t，且(,)s t 中恰有两个整数，则实数 k 的取值范围为()A2111,2)ee+B4311 12,)23ee+C21(,1)e+D3212 1,1)3ee+【解析】解：由(
2、)(2)0 xf xkxex=，得(2)xkxex，即2xxkxe，设()xxh xe=，(0)x，21()()xxxxexexh xee=，由()0h x得 01x，函数()h x 为增函数，由()0h x，函数()h x 为减函数，即当1x=时，()h x 取得极大值，极大值为 h（1）1e=，要使2xxkxe，在 s，)t 中恰有两个整数，则0k时，不满足条件 则0k，当2x=时，h（2）22e=，当3x=时，h（3）33e=，即22(2,)Ae，33(3,)Be，则当直线()2g xkx=在 A，B 之间满足条件，此时两个整数解为 1，2，此时满足232(2)3(3)gege，即232
3、22332keke得2311213keke +，即3212113kee+，即 k 的取值范围是3123e+，211)e+，故选：D 3已知函数()xf xxemxm=+，若()0f x 的解集为(,)a b，其中0b；不等式在(,)a b 中有且只有一个整数解，则实数 m 的取值范围是()A221(,)32ee B221(,)3ee C221,)32ee D221,)3ee 【解析】解：设()xg xxe=，ymxm=，由题设原不等式有唯一整数解，即()xg xxe=在直线 ymxm=下方，()(1)xg xxe=+，()g x 在(,1)递减，在(1,)+递增，故1()(1)ming xge
4、=，ymxm=恒过定点(1,0)P，结合函数图象得PAPBKmK，即22132mee，若()0f x 的解集为(,)a b，且(,)a b 中恰有两个整数，则 实数 k 的取值范围为()A21(,)e B4112e+，312)3e+C3123e+，211)e+D211e+，12)e+【解析】解：设()xxg xe=，则1()xxg xe=当 01x，当1x 时，()0g x的解集为(,)a b 等价于(2)xxkxe 的解集为(,)a b，即当且仅当在区间(,)a b 上函数()xxg xe=的图象在直线2ykx=的上方，函数()xxg xe=的图象与直线2ykx=的位置关系如图所示，由图可知
5、：(1)2(2)22(3)32gkgkgk，解得：3221113kee+，故选：C 5已知函数2()(1)xf xmxex=，若不等式()0f x 的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数 m 的取值范围()A221(2e+，11)e+B2212e+，11)e+C3313e+，221)2e+D331(3e+，221)2e+【解析】解：函数2()(1)xf xmxex=，不等式()0f x 化为：21xxmxe 分别令()1f xmx=，2()xxg xe=(2)()xxxg xe=可得：函数()g x 在(,0)上单调递减，在(0,2)上单调递增，在(2,)+上单调递减(0)0g=，g（2）24
6、e=如图所示 不等式()0f x 的解集中恰有两个不同的正整数解，正整数解为 1，2，(2)(2)(3)(3)fgfg，即23421931meme 解得：32312132mee+数 m 的取值范围是3313e+，221)2e+故选：C 6已知函数()()xf xxa ealnx=，若恰有三个正整数0 x，使得0()0f x，则实数 a 的取值范围是()A333(3eeln+，4442 2eeln+B41242lne+，313)33lne+C222(2eeln+，4442 2eeln+D31333lne+，212)22lne+【解析】解：()f x 的定义域为(0,)+，由()0f x 可得xa
7、lnxxae，（1）显然0a=时，不等式在(0,)+上无解，不符合题意；（2）当0a，令1()1f xxa=，()xlnxg xe=，则当1x 时，()1f x 没有正整数解，不符合题意；（3）当0a 时，不等式为 11xlnxxae 时，()0h x，h（2）12 204elnln=，当0 xx时，()0h x，当0 xx时，()0g x 时，()0g x，故不等式 11xlnxxae 的三个正整数解为 1，2，3，(1)(1)(3)(3)(4)(4)0fgfgfga，即34110331441alnaelnae ，解得：34343432 2eeaelneln+故选：A 7已知函数若1()()
8、34xf xkxex=+，若()0f x 的解集中恰有两个正整数，则 k 的取值范围为()A331(12e，2318e B33112e，231)8e C231(8e，314e D2318e，31)4e 【解析】解：由()0f x 得1()()304xf xkxex=+，即1()34xkxex+，即13()4xxkxe+得330 x得1x ，由()0h x得330 x，即当1x=时函数()h x 取得极大值 h（1）3e=，设函数1()4g xkx=+，作出函数()h x 的图象如图，由图象知当0k，13()4xxkxe+时，要使，13()4xxkxe+的解集中有两个整数解，则这两个整数解为1x
9、=和2x=，h（2）26e=，h（3）39e=，(2A，26)(3Be，39)e，当直线()g x 过(2A，26)(3Be，39)e时，对应的斜率满足 21624Ake+=，31934Bke+=，得2318Ake=，33112Bke=，要使，13()4xxkxe+的解集中有两个整数解，则BAkkk，即323131128kee的解集中恰有两个整数，则实数 k 的取值范围是()A22 1,)ee B3232(,)ee C3232(,ee D3232,)ee【解析】解：设()()xg xe f x=，则()()()1xg xefxf x=+=，可设()g xxc=+，(0)(0)00gfc=+=0
10、c=，()g xx=，()xxf xe=，1()xxfxe=，当1x，函数()f x 单调递增，当1x 时，()0fx的解集中恰有两个整数，结合图形可知，整数为 1，2 f（3）kf（2），3232kee只有两个整数解，则实数 a 的取值范围是()A1(2,63lnln B16(,3lne C 16,2)3lnln D6 2,)3lne 【解析】解：21(2)()lnxfxx=，令()0fx=得2ex=，当 02ex，()f x 单调递增，当2ex 时，()0fx，()f x 单调递减，由当12x 时，()0f x 时，()0f x，作出()f x 的大致函数图象如图所示：2()()0fxaf
11、 x+，（1）若0a=，即2()0fx，显然不等式有无穷多整数解，不符合题意；（2）若0a，则()f xa，由图象可知()0f x 有无穷多整数解，不符合题意；（3）若0a，则()0f x ，由图象可知()0f x 有两个整数解，f（1）f=（2）2ln=，且()f x 在(2e，)+上单调递减，()f xa 的两个整数解必为1x=，2x=，又 f（3）63ln=，623lnaln，解得623lnlna，若()0f x 的解集为(,)s t，且(,)s t 中只有一个整数，则实数 k 的取值范围为()A1(22ln，1433ln B1(22ln，14)33ln C14(33ln，112 2ln
12、 D14(33ln，11)2 2ln 【解析】解：令()0f x，得：4xkxlnx+，令()xg xlnx=，则21()()lnxg xlnx=，令()0g x，解得：xe，令()0g x，解得：1xe+，即22423343klnkln+，解得：1142233klnln的解集中有且仅有一个整数，则实数 a 的取值范围是()A21 1,ee B21 1,)ee C221,32ee D221,)32ee 【解析】解：1()xxfxe=，当1x，当1x 时，()0fx仅有一个整数解得()(1)f xa x+只有一整数解，设()(1)g xa x=+，由图象可知：当0a时，()()f xg x在(0
13、,)+上恒成立，不符合题意，当0a 时，若()()f xg x只有 1 个整数解，则此整数解必为 1，(1)(1)(2)(2)fgfg，即21223aeae，解得22132aee 故选：D 12已知函数2()(31)xf xxxek=+有三个不同的零点，则实数 k 的取值范围是()A41 5(,)e e B45(0,)e C45 1(,)ee D1(,)e+【解析】解：函数2()(31)xf xxxek=+，可得：2()(54)(1)(4)xxfxxxexxe=+=+，()f x 在(,4)和(1,)+上是增函数；在(4,1)上是减函数，当 x 时()f xk ，当 x +时()f x +，所
14、以函数2()(31)xf xxxek=+有三个不同的零点，只需：满足0k，1(1)0fke=恰有两个正整数解，则 a 的取值范围是()A31 4 e，0)B1 2 e，0)C31 4 e，)2e D31 4 e，2)【解析】解：令()(2)xg xx e=，()h xaxa=+，由题意知，存在 2 个正整数，使()g x 在直线()h x 的上方，()(1)xg xx e=，当1x 时，()0g x，当1x，()maxg xg=（1）e=，且(0)2g=，g（2）0=，g（3）3e=，直线()h x 恒过点(1,0)，且斜率为 a，由题意可知，3(1)(2)0(3)hehhe，故实数 a 的取
15、值范围是31 4 e，0)，故选：A 14已知函数2,0(),0 xx xf xex时，()|f xa x有且只有一个整数解，即为xeax有且只有一个整数解，由 yax=与xye=相切，设切点为(,)mm e，可得mmeeam=，解得1m=，ae=，由题意可得xeax有且只有一个整数解，且为 1，可得22ea，即212ae，且 a e，即212e ae，若()0f x 的解集为(,)s t，且(,)s t 中恰有两个整数，则实数 k 的取值范围为()A11(2,1)22 2lnln B11(2,122 2lnln C141(,1)33 2 2lnln D141(,133 2 2lnln【解析】
16、解：令()0f x，得：4xkxlnx+，令()xg xlnx=，则21()()lnxg xlnx=，令()0g x，解得：xe，令()0g x，解得：1xe，即44443343klnkln+，解得：1411332 2klnln，故选：D 16已知函数1()()23xf xkxex=+，若()0f x 的解集中有且只有一个正整数，则实数 k 的取值范围为 221 21,)63ee 【解析】解：且()0f x 的解集中有且只有一个正整数，有且只有一个正整数使123xxkxe+且()()()()212113221423kgheghke+有且只有一个正整数解，则实数 m 的取值范围是 3(,2eee+【解析】解：()0f x 即为(1)(2)xm xxee+，设(1)ym x=，()(2)xg xxee=+，()(1)xg xxe=，当1x 时，()0g x，()g x 单增，当1x 时，()0g x有且仅有一个正整数解，则(1)ym x=的图象在函数()yg x=图象的上方只有一个正整数值 2，2m g（3）3ee=+且 mg（2）e=，32eeem+故答案为：3(,2eee+
