1、24.1.2垂直于弦的直径教学目标【知识与技能】掌握垂径定理及其推论,理解其证明,并会应用它解决有关的证明与计算问题.【过程与方法】经历探索垂径定理及其推论的过程,进一步理解研究几何图形的各种方法.【情感、态度与价值观】通过学习,使学生领会数学的严谨性和探索精神,培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动性.教学重难点【教学重点】垂径定理及其推论.【教学难点】垂径定理及其推论的理解及应用.教学过程一、情境导入你知道赵州石桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶,它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m,你能
2、求出桥拱的半径吗?二、合作探究探究点1垂径定理典例1如图,AB是O的直径,弦CD交AB于点P,AP=2,BP=6,APC=30,则CD的长为()A.15B.25C.215D.8解析如图,作OHCD于点H,连接OC,OHCD,HC=HD.AP=2,BP=6,AB=8,OA=4,OP=OA-AP=2.在RtOPH中,OPH=30,OH=12OP=1,在RtOHC中,OC=4,OH=1,CH=OC2-OH2=15.CD=2CH=215.答案C(1)解决圆中有关弦的计算问题,常作弦的弦心距,连接半径,图形中出现了一个直角三角形,从而可以利用勾股定理及垂径定理,通过解直角三角形,使问题得以解决.(2)过
3、O内一点P最短弦为与OP垂直的弦,最长弦是直径.探究点2垂径定理的应用典例2有一座石拱桥的桥拱是圆弧形,如图所示,正常水位水面宽AB=60 m,水面到拱顶距离CD=18 m,当洪水泛滥,水面宽MN=32 m时是否需要采取紧急措施?请说明理由(当水面距拱顶3 m以内时需采取紧急措施).解析设所在圆的圆心为O,连接OA,设OA=R,在RtAOC中,AC=30,OC=R-18,所以R2=302+(R-18)2,解得R=34.连接OM,设DE=x,在RtMOE中,ME=16,OE=34-x,所以342=162+(34-x)2,解得x1=4,x2=64(不合题意,舍去),所以DE=4.因为DE3,所以不
4、需采取紧急措施.三、板书设计垂径定理1.垂直于弦的直径垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分这条弦所对的两条弧.2.应用构造以圆的半径、弦心距、弦长的一半为边的直角三角形,解直角三角形即可,必要时可利用勾股定理列方程求解.教学反思本节课主要学习垂径定理及其推论.垂径定理涉及的条件和结论比较多,学生容易混淆.在教学中采用了讲练结合动手操作的方法,课前布置学生制作圆形纸片,通过折叠圆形纸片的过程,让学生大胆猜想,得出结论,同时也考察了圆的对称性,并进一步利用圆的轴对称性探究垂径定理,这样让学生参与了知识的形成过程,激发了学生的学习兴趣.通过例2桥的问题让学生进一步领悟学习数学的应用价值.
