1、高考资源网（） 您身边的高考专家2015-2016学年山东省济宁市泗水中学高二（下）期中数学试卷（理科）一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设复数z的共轭复数为，若（2+i）z=3i，则的值为（）A1B C2D42若函数f（x）=2x2+1，图象上P（1，3）及邻近上点Q（1+x，3+y），则=（）A4B4xC4+2xD2x3用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A假设三内角都不大于60度B假设三内角都大于60度C假设三内角至多有一个大于60度D假设三内角至多有两个大于60度4设f（x）=，
2、则f（x）dx=（）A B C D不存在5如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E的面积为（）Aln2B1ln2C2ln2D1+ln26已知函数f（x）=x2+cosx，f（x）是函数f（x）的导函数，则f（x）的图象大致是（）A B C D7下列推理中属于归纳推理且结论正确的是（）A由an=2n1，求出S1=12，S2=22，S3=32，推断：数列an的前n项和Sn=n2B由f（x）=xcosx满足f（x）=f（x）对xR都成立，推断：f（x）=xcosx为奇函数C由圆x2+y2=r2的面积S=r2，推断：椭圆=1的面积S=abD由（1
3、+1）221，（2+1）222，（3+1）223，推断：对一切nN*，（n+1）22n8已知，则导函数f（x）是（）A仅有最小值的奇函数B既有最大值，又有最小值的偶函数C仅有最大值的偶函数D既有最大值，又有最小值的奇函数9若函数f（x）=的图象如图所示，则m的范围为（）A（，1）B（1，2）C（0，2）D（1，2）10设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0，h（x0）处的切线方程为l：y=g（x），当xx0时，若0在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”，则f（x）=x26x+4lnx的“类对称点”的横坐标是（）A1B CeD二填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）1
4、1若复数（i是虚数单位），则z的模|z|=12已知物体的运动方程为s=t2+（t是时间，s是位移），则物体在时刻t=2时的速度为13已知f（x）=x2+2xf（1），则f（0）=14已知x（0，+），不等式x+2，x+3，x+4，可推广为x+n+1，则a等于15有一段“三段论”推理是这样的：“对于可导函数f（x），如果f（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点；因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f（0）=0，所以x=0是函数f（x）=x3的极值点”以上推理中（1）大前提错误（2）小前提错误（3）推理形式正确（4）结论正确你认为正确的序号为三解答题：本大题共6小题，共75分，解答应
5、写出文字说明，证明过程或演算步骤16设ab0，求证：17已知抛物线y=x2+bx+c在点（1，2）处的切线与直线x+y+2=0垂直，求函数y=x2+bx+c的最值18对于任意正整数n，猜想2n1与（n+1）2的大小关系，并给出证明19某个体户计划经销A、B两种商品，据调查统计，当投资额为x（x0）万元时，在经销A、B商品中所获得的收益分别为f（x）万元与g（x）万元、其中f（x）=a（x1）+2（a0）；g（x）=6ln（x+b），（b0）已知投资额为零时，收益为零（1）试求出a、b的值；（2）如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其
6、收入的最大值（精确到0.1，参考数据：ln31.10）20已知函数f（x）=（x2+ax+a）ex，（a为常数，e为自然对数的底）（）当a=0时，求f（2）；（）若f（x）在x=0时取得极小值，试确定a的取值范围；（）在（）的条件下，设由f（x）的极大值构成的函数为g（a），将a换元为x，试判断曲线y=g（x）是否能与直线3x2y+m=0（m为确定的常数）相切，并说明理由21已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）（1）当a=时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间1，+）上为减函数，求实数a的取值范围；（3）当x0，+）时，不等式f（x）x0恒成立，求实数a的取值范围2015
7、-2016学年山东省济宁市泗水中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设复数z的共轭复数为，若（2+i）z=3i，则的值为（）A1B C2D4【考点】复数代数形式的混合运算【分析】先求出复数z然后可求的值【解答】解：（2+i）z=3i，可得z=1+i=（1+i）（1i）=2故选C2若函数f（x）=2x2+1，图象上P（1，3）及邻近上点Q（1+x，3+y），则=（）A4B4xC4+2xD2x【考点】变化的快慢与变化率【分析】计算y=f（1+x）f（1），进而可求【解答】解：由题意，y
8、=f（1+x）f（1）=2（1+x）2+13=4x+22 x =4+2x故选C3用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A假设三内角都不大于60度B假设三内角都大于60度C假设三内角至多有一个大于60度D假设三内角至多有两个大于60度【考点】反证法与放缩法【分析】一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”；“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某
9、些”【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”故选B4设f（x）=，则f（x）dx=（）A B C D不存在【考点】定积分【分析】分段函数的积分必须分段求解，故先将原式化成01f（x）dx+12f（x）dx，再分别求各个和式的积分，最后只要求出被积函数的原函数，结合积分计算公式求解即可【解答】解：02f（x）dx=01f（x）dx+12f（x）dx=01（x2）dx+12（2x）dx=x3|01+（ 2xx2）|12=+422+=故选：C5如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数图象下方的阴影部分区
10、域，则阴影部分E的面积为（）Aln2B1ln2C2ln2D1+ln2【考点】定积分在求面积中的应用【分析】阴影部分E由两部分组成，矩形部分用长乘以宽计算，曲边梯形的面积，利用定积分计算【解答】解：由题意，阴影部分E由两部分组成因为函数，当y=2时，x=，所以阴影部分E的面积为+=1+=1+ln2故选D6已知函数f（x）=x2+cosx，f（x）是函数f（x）的导函数，则f（x）的图象大致是（）A B C D【考点】函数的图象【分析】由于f（x）=x2+cosx，得f（x）=xsinx，由奇函数的定义得函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，取x=代入f（）=sin=10，排除C，只
11、有A适合【解答】解：由于f（x）=x2+cosx，f（x）=xsinx，f（x）=f（x），故f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，又当x=时，f（）=sin=10，排除C，只有A适合，故选：A7下列推理中属于归纳推理且结论正确的是（）A由an=2n1，求出S1=12，S2=22，S3=32，推断：数列an的前n项和Sn=n2B由f（x）=xcosx满足f（x）=f（x）对xR都成立，推断：f（x）=xcosx为奇函数C由圆x2+y2=r2的面积S=r2，推断：椭圆=1的面积S=abD由（1+1）221，（2+1）222，（3+1）223，推断：对一切nN*，（n+1）22n【考点】
12、归纳推理【分析】根据归纳推理是由特殊到一般，类比推理是根据对象的相似性，推导结论，由此可得结论【解答】解：对于A，由an=2n1，求出S1=12，S2=22，S3=32，推断：数列an的前n项和，是由特殊推导出一般性的结论，且，故正确；对于B，属于演绎推理中的三段论，故不正确；对于C，是由圆类比椭圆，由圆的面积类比椭圆的面积，故属于类比推理，故不正确；对于D，属于归纳推理，n=6时，结论不正确，故不正确故选A8已知，则导函数f（x）是（）A仅有最小值的奇函数B既有最大值，又有最小值的偶函数C仅有最大值的偶函数D既有最大值，又有最小值的奇函数【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】求出f（x
13、），利用导数可判断其单调性，通过单调性即可求出其最大最小值；再用定义可判断其奇偶性，从而得出答案【解答】解：f（x）=x+sinx，令g（x）=x+sinx，则g（x）=1+cosx当x1，1时，g（x）0，所以f（x）=g（x）在1，1上单调递增，所以f（1）f（x）f（1），即1sin1f（x）1+sin1又f（x）=x+sin（x）=xsinx=（x+sinx）=f（x），所以f（x）是奇函数故选D9若函数f（x）=的图象如图所示，则m的范围为（）A（，1）B（1，2）C（0，2）D（1，2）【考点】函数的图象【分析】根据函数的极值点范围和函数值的符号判断【解答】解：当x0时，f（x）0
14、，2m0，故m2f（x）=f（x）由两个绝对值大于1的极值点，mx2=0由两个绝对值大于1的解，m1故选：D10设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0，h（x0）处的切线方程为l：y=g（x），当xx0时，若0在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”，则f（x）=x26x+4lnx的“类对称点”的横坐标是（）A1B CeD【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】函数y=H（x）在其图象上一点P（x0，f（x0）处的切线方程为y=g（x）=（2x0+6）（xx0）+x026x0+4lnx0由此能推导出y=h（x）存在“类对称点”，是一个“类对称点”的横坐标【解答】解：函数y
15、=f（x）在其图象上一点P（x0，f（x0）处的切线方程为：y=g（x）=（2x0+6）（xx0）+x026x0+4lnx0，设m（x）=f（x）g（x）=x26x+4lnx（2x0+6）（xx0）x02+6x04lnx0，则m（x0）=0m（x）=2x+6（2x0+6）=2（xx0）（1）=（xx0）（x）若x0，m（x）在（x0，）上单调递减，当x（x0，）时，m（x）m（x0）=0，此时0；若x0，（x）在（，x0）上单调递减，当x（，x0）时，m（x）m（x0）=0，此时0；y=f（x）在（0，）（，+）上不存在“类对称点”若x0=，（x）20，m（x）在（0，+）上是增函数，当xx0
16、时，m（x）m（x0）=0，当xx0时，m（x）m（x0）=0，故0即此时点P是y=f（x）的“类对称点”综上，y=f（x）存在“类对称点”，是一个“类对称点”的横坐标故选B二填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）11若复数（i是虚数单位），则z的模|z|=【考点】复数代数形式的混合运算；复数求模【分析】分子分母同乘以1+2i对复数化简，整理成代数形式，再代入复数模的公式求解【解答】解：由题意得， =1+i，则|z|=，故答案为：12已知物体的运动方程为s=t2+（t是时间，s是位移），则物体在时刻t=2时的速度为【考点】导数的运算【分析】根据位移的导数是速度，求出s的导函数即速度与
17、时间的函数，将2代入求出物体在时刻t=2时的速度【解答】解：物体的运动速度为v（t）=s=2t所以物体在时刻t=2时的速度为v（2）=22=，故答案为：13已知f（x）=x2+2xf（1），则f（0）=4【考点】导数的运算【分析】把给出的函数求导得其导函数，在导函数解析式中取x=1可求f（1）的值，再代入即可求出f（0）的值【解答】解：由f（x）=x2+2xf（1），得：f（x）=2x+2f（1），取x=1得：f（1）=21+2f（1），所以，f（1）=2故f（0）=2f（1）=4，故答案为：414已知x（0，+），不等式x+2，x+3，x+4，可推广为x+n+1，则a等于nn【考点】归纳推理
18、【分析】由已知x（0，+），不等式x+2，x+3，x+4，可得不等式左边第项的分子为nn，进而得到答案【解答】解：由已知中，x（0，+）时，不等式：x+2，x+3，x+4，不等式左边第项的分子为nn，即a=nn，故答案为：nn15有一段“三段论”推理是这样的：“对于可导函数f（x），如果f（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点；因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f（0）=0，所以x=0是函数f（x）=x3的极值点”以上推理中（1）大前提错误（2）小前提错误（3）推理形式正确（4）结论正确你认为正确的序号为（1）（3）【考点】演绎推理的意义【分析】在使用三段论推理证明中，如果命题
19、是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f（x），如果f（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不难得到结论【解答】解：大前提是：“对于可导函数f（x），如果f（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f（x），如果f（x0）=0，且满足当xx0时和当xx0时的导函数值异号时，那么x=x0是函数f（x）的极值点，所以大前提错误，但是推理形式正确故答案为：（1）（3）三解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16设ab0，求证：【考点】
20、不等式的证明【分析】可用作差比较法进行证明【解答】证明：左边一右边=，ab0，左边一右边0，原不等式成立17已知抛物线y=x2+bx+c在点（1，2）处的切线与直线x+y+2=0垂直，求函数y=x2+bx+c的最值【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义，求出b，c的值，利用二次函数的性质即可得到结论【解答】解：y=x2+bx+c，函数的导数为f（x）=2x+b，抛物线在点（1，2）处的切线斜率k=2+b，切线与直线x+y+2=0垂直，2+b=1，即b=1，点（1，2）也在抛物线上，1+b+c=2，得c=2即函数y=x2+bx+c=x2x+2=（x）2+
21、，当x=时，函数取得最小值，函数无最大值18对于任意正整数n，猜想2n1与（n+1）2的大小关系，并给出证明【考点】数学归纳法【分析】令n=1，2，3，分别计算2n1与（n+1）2的值，根据规律进行猜想，使用作差法进行证明【解答】解：当n=1时，2n1=1，（n+1）2=4，当n=2时，2n1=3，（n+1）2=9，n=3时，2n1=5，（n+1）2=16，猜想：2n1（n+1）2证明：（n+1）2（2n1）=n2+2n+12n+1=n2+20（n+1）22n1，即2n1（n+1）219某个体户计划经销A、B两种商品，据调查统计，当投资额为x（x0）万元时，在经销A、B商品中所获得的收益分别为
22、f（x）万元与g（x）万元、其中f（x）=a（x1）+2（a0）；g（x）=6ln（x+b），（b0）已知投资额为零时，收益为零（1）试求出a、b的值；（2）如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其收入的最大值（精确到0.1，参考数据：ln31.10）【考点】函数的表示方法；函数模型的选择与应用【分析】（1）由f（0）=0，g（0）=0求出a，b；（2）分配资金构造新的函数s（x）=2（5x）+6ln（x+1）=6ln（x+1）2x+10（0x5），再用导数法研究其单调性，从而得出最值【解答】解：（1）根据问题的实际意义，可知f（0）
23、=0，g（0）=0即：，（2）由（1）的结果可得：f（x）=2x，g（x）=6ln（x+1）依题意，可设投入B商品的资金为x万元（0x5），则投入A商品的资金为5x万元，若所获得的收入为s（x）万元，则有s（x）=2（5x）+6ln（x+1）=6ln（x+1）2x+10（0x5）s（x）=当x2时，s（x）0；当x2时，s（x）0；x=2是s（x）在区间0，5上的唯一极大值点，此时s（x）取得最大值：S（x）=s（2）=6ln3+612.6（万元），此5x=3（万元）答该个体户可对A商品投入3万元，对B商品投入2万元，这样可以获得12.6万元的最大收益20已知函数f（x）=（x2+ax+a）e
24、x，（a为常数，e为自然对数的底）（）当a=0时，求f（2）；（）若f（x）在x=0时取得极小值，试确定a的取值范围；（）在（）的条件下，设由f（x）的极大值构成的函数为g（a），将a换元为x，试判断曲线y=g（x）是否能与直线3x2y+m=0（m为确定的常数）相切，并说明理由【考点】函数模型的选择与应用；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）把a=0代入函数解析式，求导后直接把x=2代入导函数解析式计算；（）求出原函数的导函数，解出导函数的零点为0或2a，分2a=0、2a0、2a0三种情况讨论导函数在不同区间内的符号，判出极小值点，从而得到使f（x）在x=0时取得极小值的a的取值范围；（
25、）由（）中的条件，能够得到x=2a是f（x）的极大值点，求出f（2a），得到g（x），两次求导得到函数g（x）的导数值小于1，而直线3x2y+m=0的斜率为，说明曲线y=g（x）与直线3x2y+m=0不可能相切【解答】解：（）当a=0时，f（x）=x2ex，f（x）=2xexx2ex=xex（2x）所以f（2）=0（）f（x）=（2x+a）exex（x2+ax+a）=exx2+（2a）x=exxx（2a）令f（x）=0，得x=0或x=2a若2a=0，即a=2时，f（x）=x2ex0恒成立，此时f（x）在区间（，+）上单调递减，没有极小值；当2a0，即a2时，若x0，则f（x）0若0x2a，则f
26、（x）0所以x=0是函数f（x）的极小值点当2a0，即a2时，若x0，则f（x）0若2ax0，则f（x）0此时x=0是函数f（x）的极大值点综上所述，使函数f（x）在x=0时取得极小值的a的取值范围是a2（）由（）知当a2，且x2a时，f（x）0，因此x=2a是f（x）的极大值点，极大值为f（2a）=（4a）ea2所以g（x）=（4x）ex2（x2）g（x）=ex2+ex2（4x）=（3x）ex2令h（x）=（3x）ex2（x2）则h（x）=（2x）ex20恒成立，即h（x）在区间（，2）上是增函数所以当x2时，h（x）h（2）=（32）e22=1，即恒有g（x）1又直线3x2y+m=0的斜率
27、为，所以曲线y=g（x）不能与直线3x2y+m=0相切21已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）（1）当a=时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间1，+）上为减函数，求实数a的取值范围；（3）当x0，+）时，不等式f（x）x0恒成立，求实数a的取值范围【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（1）当时，直接对f（x）求导，解不等式f（x）0和f（x）0，即可求函数f（x）的单调区间；（2）根据函数f（x）在区间1，+）上为减函数可确定a，又最小值为，从而可确定a的取值范围；（3）不等式f（x）x0可化简为ax2+ln（x+1）x0，分情况讨论，a=0，a0和a0时a
28、x2+ln（x+1）x0是否恒成立即可【解答】解：（1）当时，解f（x）0得1x1；解f（x）0得x1f（x）的单调递增区间是（1，1），单调递减区间是（1，+）（2）因为函数f（x）在区间1，+）上为减函数，对x1，+）恒成立即a对x1，+）恒成立a（3）当x0，+）时，不等式f（x）x0恒成立，即ax2+ln（x+1）x0恒成立，设g（x）=ax2+ln（x+1）x（x0），只需g（x）max0即可由当a=0时，当x0时，g（x）0，函数g（x）在（0，+）上单调递减，g（x）g（0）=0成立当a0时，令g（x）=0，x0，解得1）当，即时，在区间（0，+）上g（x）0，则函数g（x）在（0+）上单调递增，g（x）在0，+）上无最大值，不合题设2）当时，即时，在区间上g（x）0；在区间上g（x）0函数g（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增，同样g（x）在0，+）无最大值，不满足条件当a0时，由x0，故2ax+（2a1）0，0，函数g（x）在0，+）上单调递减，g（x）g（0）=0成立，综上所述，实数a的取值范围是（，02016年7月19日高考资源网版权所有，侵权必究！
