1、第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和 第2课时 等差数列的前n项和的综合应用 学习目标：1.掌握 an 与 Sn 的关系并会应用(难点).2.掌握等差数列前 n 项和的性质及应用(重点).3.会求等差数列前 n 项和的最值(重点).4.会用裂项相消法求和(易错点)自 主 预 习探 新 知1Sn 与 an 的关系an_2等差数列前 n 项和的性质(1)等差数列an中，其前 n 项和为 Sn，则an中连续的 n 项和构成的数列 Sn，S3nS2n，构成等差数列(2)数列an是等差数列Snan2bn(a，b 为常数)思考：如果an是等差数列，那么 a1a2a10，a11a12a20，a21a22
2、a30 是等差数列吗？S1，n1SnSn1.n2S2nSnS4nS3n提示(a11a12a20)(a1a2a10)(a11a1)(a12a2)(a20a10)100d，类似可得(a21a22a30)(a11a12a20)100d.a1a2a10，a11a12a20，a21a22a30 是等差数列3等差数列前 n 项和 Sn 的最值(1)若 a10，则数列的前面若干项为负数项(或 0)，所以将这些项相加即得Sn的最值(2)若 a10，d0，d0，则是Sn的最值；若 a10，d0，则是Sn的最大值小大S1小S1思考：我们已经知道当公差 d0 时，等差数列前 n 项和是关于 n 的二次函数 Snd2
3、n2a1d2 n，类比二次函数的最值情况，等差数列的 Sn 何时有最大值？何时有最小值？提示 由二次函数的性质可以得出：当 a10 时，Sn 先减后增，有最小值；当 a10，d0，d0，则等差数列中所有正项之和最大()(3)在等差数列中，Sn 是其前 n 项和，则有 S2n1(2n1)an.()答案(1)(2)(3)2在项数为 2n1 的等差数列中，所有奇数项的和为 165，所有偶数项的和为 150，则 n 等于()A9 B10C11 D12B S奇S偶n1n，165150n1n.n10.故选 B 项3等差数列an中，S24，S49，则 S6_.15 由 S2，S4S2，S6S4 成等差数列得
4、 2(S4S2)S2(S6S4)解得 S615.4已知数列an的通项公式是 an2n48，则 Sn 取得最小值时，n 为_.【导学号：91432176】23 或 24 由 an0 即 2n480 得 n24.所有负项的和最小，即 n23 或 24.合 作 探 究攻 重 难等差数列前 n 项和的性质(1)等差数列an的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，求数列an的前 3m 项的和 S3m；(2)两个等差数列an，bn的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn，已知SnTn7n2n3，求a5b5的值解(1)在等差数列中，Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列30,70，S3m100 成等
5、差数列27030(S3m100)，S3m210.(2)a5b512a1a912b1b99a1a929b1b92S9T979293 6512.规律方法 等差数列前 n 项和计算的几种思维方法(1)整体思路：利用公式 Snn(a1an)2，设法求出整体 a1an，再代入求解.(2)待定系数法：利用 Sn 是关于 n 的二次函数，设 SnAn2BnA，列出方程组求出 A，B 即可，或利用Snn 是关于 n 的一次函数，设Snn anba进行计算.跟踪训练1(1)等差数列an中，a2a7a1224，则 S13_.【导学号：91432177】(2)等差数列an的通项公式是 an2n1，其前 n 项和为
6、Sn，则数列Snn的前 10 项和为_(1)104(2)75(1)由 a2a7a1224，得 a78，所以 S13a1a13213a713104.(2)因为 an2n1，所以 a13.所以 Snn32n12n22n，所以Snn n2，所以Snn 是公差为 1，首项为 3 的等差数列，所以前 10 项和为 3101092175.等差数列前 n 项和 Sn 的函数特征探究问题1将首项为 a12，公差 d3 的等差数列的前 n 项和看作关于 n 的函数，那么这个函数有什么结构特征？如果一个数列的前 n 项和为 Sn3n2n，那么这个数列是等差数列吗？上述结论推广到一般情况成立吗？提示：首项为 2，公
7、差为 3 的等差数列的前 n 项和为 Sn2nnn13232n212n，显然 Sn 是关于 n 的二次型函数且常数项为 0，二次项系数为d2，一次项系数为 a1d2；如果一个数列的前 n 项和为 Sn3n2n，那么当 n1 时，S1a14.当 n2 时，anSnSn16n2，则该数列的通项公式为 an6n2，所以该数列为等差数列，事实上对于任何一个等差数列的前 n 项和都是关于n 的二次型函数，且常数项为 0，反之，一个数列的前 n 项和具备上述特征，该数列一定是等差数列2已知一个数列an的前 n 项和为 Snn25n，试画出 Sn 关于 n 的函数图象你能说明数列an的单调性吗？该数列前 n
8、 项和有最值吗？提示：Snn25nn522254，它的图象是分布在函数 yx25x 的图象上的离散的点，由图象的开口方向可知该数列是递增数列，图象开始下降说明了an前 n 项为负数由 Sn 的图象可知，Sn 有最小值且当 n2 或 3 时，Sn 最小，最小值为6，即数列an前 2 项或前 3 项和最小 数列an的前 n 项和 Sn33nn2，(1)求an的通项公式；(2)问an的前多少项和最大；(3)设 bn|an|，求数列bn的前 n 项和 Sn.【导学号：91432178】思路探究：(1)利用 Sn 与 an 的关系求通项，也可由 Sn 的结构特征求 a1，d，从而求出通项(2)利用 Sn
9、 的函数特征求最值，也可以用通项公式找到通项的变号点求解(3)利用 an 判断哪些项是正数，哪些项是负数，再求解，也可以利用 Sn的函数特征判断项的正负求解解(1)法一：(公式法)当 n2 时，anSnSn1342n，又当 n1 时，a1S1323421 满足 an342n.故an的通项公式为 an342n.法二：(结构特征法)由 Snn233n 知 Sn 是关于 n 的缺常数项的二次型函数，所以an是等差数列，由 Sn 的结构特征知d21，a1d233，解得 a132，d2，所以 an342n.(2)法一：(公式法)令 an0，得 342n0，所以 n17，故数列an的前 17 项大于或等于
10、零又 a170，故数列an的前 16 项或前 17 项的和最大法二：(函数性质法)由 yx233x 的对称轴为 x332.距离332 最近的整数为 16,17.由 Snn233n 的图象可知：当 n17 时，an0，当 n18 时，an0，故数列an的前 16 项或前 17 项的和最大(3)由(2)知，当 n17 时，an0；当 n18 时，an0，由an2n270，an12n1270，得n1312，n1212又nN*，当 n13 时，Sn 有最大值 169.法三：S9S17，a10a11a170.由等差数列的性质得 a13a140.a10，d0，a140；当 n35 时，anS7S5，有下列
11、四个命题：d0；S12S7，a7S5，a6a70，a60，d0，正确S12122(a1a12)6(a6a7)0，不正确Sn中最大项为 S6，不正确故正确的是.3已知等差数列an中，|a5|a9|，公差 d0，则使得前 n 项和 Sn 取得最小值的正整数 n 的值是_6 或 7 由|a5|a9|且 d0 得 a50，且 a5a902a112d0a16d0，即 a70，故 S6S7 且最小4数列an的通项公式 an1n n1，其前 n 项和 Sn9，则 n_.99 an1n n1 n1 n，Sn(21)(3 2)(n1 n)n119.n99.5已知数列an的前 n 项和公式为 Snn230n.(1)求数列 an的通项公式 an；(2)求 Sn 的最小值及对应的 n 值.【导学号：91432181】解(1)Snn230n，当 n1 时，a1S129.当 n2 时，anSnSn1(n230n)(n1)230(n1)2n31.n1 也适合，an2n31，nN*.(2)法一：Snn230nn15 2225当 n15 时，Sn 最小，且最小值为 S15225.法二：an2n31，a1a2a1515 时，an0.当 n15 时，Sn 最小，且最小值为 S15225.课时分层作业（十二）点击上面图标进入 谢谢观看
