1、云南省普洱市景东彝族自治县第一中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的1.若集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接根据集合的交集的定义进行运算，可得答案.【详解】因为，所以.故选：A.【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.2.复数等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算法则可得答案.【详解】.故选：B.【点睛】本题考查了复数的除法运算法则，属于基础题.3.已知，则向量与的夹角是（ ）A. B. C
2、. D. 【答案】A【解析】【分析】化简整理求出，再根据夹角公式求解即可.【详解】解：因为，所以，又，所以所以 结合向量的夹角公式有：，据此可得：向量与的夹角为.故选：A【点睛】考查向量的运算以及用夹角公式求向量的夹角；基础题.4.已知函数，则函数在处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求得函数的导数，求出和的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.【详解】，则，因此，函数在处的切线方程为，即.故选：A.【点睛】本题考查利用导数求解函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题.5.按如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案
3、】C【解析】【分析】依次列出每次循环的结果即可.【详解】依题意，执行题中的程序框图，当输入时，进行第一次循环，不满足进行第二次循环，不满足进行第三次循环，不满足进行第四次循环，满足，结束循环，输出故选：C【点睛】本题考查的是程序框图的循环结构，较简单.6.设随机变量服从正态分布，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】随机变量服从正态分布，.7.在的展开式中，的系数等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】写出二项展开式的通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解.【详解】的展开式通项为，令，得.因此，在展开式中，的系数等于.故选：D.【点睛】本题考查二项
4、式中指定项的系数的求解，考查二项展开式通项的应用，考查计算能力，属于基础题.8.的值为（ ）A. B. C. 2D. 0【答案】C【解析】【分析】根据微积分基本定理，直接计算，即可得到结果.详解】.故选：C.【点睛】本题主要考查求定积分，熟记微积分基本定理即可，属于基础题型.9.将名教师，名学生分成个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由名教师和名学生组成，不同的安排方案共有（ ）A. 种B. 种C. 种D. 种【答案】A【解析】试题分析：第一步，为甲地选一名老师，有种选法；第二步，为甲地选两个学生，有种选法；第三步，为乙地选名教师和名学生，有种选法，故不同的安排方案共有种，故
5、选A考点：排列组合的应用10.已知函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，以下关于函数的判断正确的是（ ）A. 点为函数图象的一个对称中心B. 为函数图象的一条对称轴C. 函数在区间上单调递减D. 函数在区间上单调递减【答案】C【解析】【分析】先化简，然后根据图象变换求出的解析式，结合解析式逐项判断.【详解】，；因为时，显然不是函数图象的一个对称中心，所以A错误；因为时，显然不是函数图象一条对称轴，所以B错误；因为时，而，所以C正确；因为时，而，所以D错误；故选：C【点睛】本题主要考查三角函数的图象及性质，把函数解析式化简为最简形式是求解这类问题的通法，侧重考查数学运算的核心素养.11.已知
6、定义域为上的函数既是奇函数又是周期为3的周期函数，当时，则函数在区间上的零点个数是（ ）A. 3B. 5C. 7D. 9【答案】D【解析】【分析】根据当时，令，求得根，再结合奇函数，求出一个周期上的零点，然后根据周期性得到区间上的零点即可.【详解】因为当时，令，解得，又因为是以3为周期的周期函数，所以 ，有 ，又因为函数是定义在R上的奇函数，所以，所以，所以在区间 上有 ，且，因为是以3为周期的周期函数，所以方程在区间上的零点是：0，1，2，3，4，5，6，共9个，故选：D【点睛】本题主要考查函数的周期性和奇偶性的综合应用，还考查了逻辑推理的能力，属于中档题.12.已知双曲线的左、右焦点，是半
7、焦距，是双曲线上异于实轴端点的点，满足，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据，得到，设，由，利用直线的斜率公式得到，结合，解不等式即可.【详解】因为，所以，设，所以，因为，所以，所以，即，解得.故选：B【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的取值范围以及斜率公式，还考查了化简运算求解的能力，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为_.【答案】【解析】【分析】作出可行域，平移目标函数，其截距最大时，有最大值.【详解】解：作出可行域如图：由 解得，由得，平移直线，结合图像知，直线过点A
8、时，故答案为：4.【点睛】考查线性规划中求目标函数的最大值，其关键是平移目标函数，结合图像即可求解；基础题.14.若一个底面是正方形的直四棱柱的正（主）视图和侧视图如下图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的体积是_【答案】【解析】【分析】由已知的正视图，我们可得该四棱柱的底面棱长和高，进而求出底面外接圆半径及球半径，最后依据球的体积公式求出球的体积【详解】解：由已知底面是正方形的直四棱柱的正视图和侧视图，我们可得该正四棱柱的底面边长为，高为1球半径，所以该球的体积故答案为：【点睛】本题考查多面体的外接球，球的体积的计算，考查运算求解能力与转化思想属于中档题15.角的顶点为坐标原点，始边与轴正半
9、轴重合且终边过两直线与的交点，则_【答案】【解析】【分析】由直线方程得出点的坐标，再由三角函数的定义以及倍角公式，即可得出答案.【详解】由，得出由三角函数的定义可知，则故答案为：【点睛】本题主要考查了三角函数的定义以及倍角公式，属于中档题.16.13.某小学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如图），根据频率分布直方图估计这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是_.【答案】600【解析】【分析】首先计算成绩小于60 的三个小矩形的面积之和，即成绩小于60 的学生的频率，再乘以300
10、0即可【详解】解：由频率分布直方图成绩小于60 的学生的频率为10（0.002+0.006+0.012）0.2，所以成绩小于60分的学生数是3000600故答案为600【点睛】本题考查频率分布直方图和由频率分布直方图估计总体的分布，考查识图能力三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列bn中的b3、b4、b5（）求数列bn的通项公式；（）数列bn的前n项和为Sn，求证：数列Sn+是等比数列【答案】（）（）详见解析【解析】【分析】（I）利用成等差数列的三个正数的和等于15可设三
11、个数分别为5-d，5，5+d，代入等比数列中可求d，进一步可求数列bn的通项公式；（II）根据（I）及等比数列的前 n项和公式可求，要证数列是等比数列即可【详解】（I）设成等差数列的三个正数分别为ad，a，a+d依题意，得ad+a+a+d=15，解得a=5所以bn中的依次为7d，10，18+d依题意，有（7d）（18+d）=100，解得d=2或d=13（舍去）故bn的第3项为5，公比为2由b3=b122，即5=4b1，解得所以bn是以首项，2为公比的等比数列，通项公式为（II）数列bn的前和即，所以，因此是以为首项，公比为2的等比数列 18.在中，分别为内角的对边，且.（1）求；（2）若，求.
12、【答案】（1）;（2）【解析】【分析】(1)由已知利用两角和的余弦公式展开整理,.可求,进而可求A；(2)由,可求,代入可求B,然后由正弦定理,可求b.【详解】(1)由得,即.从而,得，,故 (2)由题意可得,由,得,，由正弦定理可得，解得.【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.19.已知矩形，面，分别是的中点，设，（1）证明：；（2）求二面角的大
13、小【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】解法一（1）接，交于点，连，可得，可得面，从而可证明结论.（2）根据条件，面,则，又是矩形，则，可得面,所以，所以就是二面角的平面角，再根据，可求得答案.解法二，建系（1）利用空间向量数量积计算证明，（2）先求两平面法向量，再根据法向量夹角与二面角关系得结果.【详解】（1）如图连接，交于点，因为是矩形，所以是与的中点，再连，因为分别是的中点，所以，所以又因为面，所以面，又因为面，面，所以面，而面，所以（2）因为面,则是矩形，则,又所以面,所以所以就是二面角的平面角，因为且所以，故二面角的平面角为解法二：（1）证明：如图，以为原点，分别以为轴建立平面
14、直角坐标系，则，（2）由（1）知，可知平面的法向量为，设平面的法向量为，则，解得设二面角的平面角为，则，故二面角的平面角为【点睛】本题考查证明线线垂直和求二面角的大小，垂直的证明可以用向量法来处理，二面角的求法常用定义法和向量法，属于基础题.20.张先生家住小区，他在科技园区工作，从家开车到公司上班有，两条路线（如图）， 路线上有，三个路口，各路口遇到红灯的均为；上有，两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，（1）若走路线，求最多遇到1次红灯的概率；（2）若走路线，求他遇到红灯的次数的数学期望【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意，设走路线最多遇到1次红灯为事件，利用排列组合知识
15、能求出；（2）根据题意，的可能取值为，再分别求出其概率，由此能求出随机变量的分布列和数学期望.【详解】（1）设走路线最多遇到1次红灯为事件，则（2）依题意，的可能取值为，则，随机变量的分布列为：【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是历年高考的必考题型解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用.21.已知椭圆 的右顶点，离心率为，为坐标原点.（）求椭圆的方程；（）已知（异于点）为椭圆上一个动点，过作线段的垂线交椭圆于点，求的取值范围.【答案】（）；（） .【解析】【分析】（1）由椭圆右顶点求出，由离心率求出，再由求出，从而求出椭圆方程；（2）先考虑AP斜率不存在，再考虑斜率存在时
16、，设出AP方程，联立椭圆方程，解出点P坐标，然后求出AP长度，同理求出DE长度，从而求出比值，用换元法结合单调性求出其范围.【详解】解：（）因为是椭圆的右顶点，所以. 又，所以.所以.所以椭圆的方程为 （）当直线的斜率为0时，为椭圆的短轴，则，所以.当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，则直线DE的方程为. 由得.所以所以 所以.同理可求. 所以设则，.令，则.所以是一个增函数.所以.综上：的取值范围为.【点睛】本题考查了椭圆的离心率与标准方程，直线与椭圆的位置关心，弦长公式与最值，属于中档题.22.已知函数（1）若，求函数的极值和单调区间；（2）若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数的取值
17、范围【答案】（1）取得极小值为，的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.【解析】【分析】（1）求函数的导数，令导数等于零，解方程，再求出函数的导数和驻点，然后列表讨论，求函数的单调区间和极值；（2）若在区间上存在一点，使得成立，其充要条件是在区间上的最小值小于即可利用导数研究函数在区间上的最小值，先求出导函数，然后讨论研究函数在上的单调性，将的极值点与区间的端点比较，确定其最小的极值点【详解】解：的定义域为，因为，（1）当时，令，得，又定义域为，随的变化情况如下表:10单调递减极小值单调递增所以时，取得极小值为的单调递增区间为，单调递减区间为（2）因为，且令，得，若在区间上存在一点，使得成立
18、，其充要条件是在区间上的最小值小于0即可当，即时，对成立，所以，在区间上单调递减，故在区间上的最小值为，由，得，即当，即时，若，则对成立，所以在区间上单调递减，所以，在区间上的最小值为，显然，在区间上的最小值小于不成立若，即时，则有单调递减极小值单调递增所以在区间上的最小值为由，得，解得，即综上，由可知符合题意【点睛】本题考查利用导函数来研究函数的极值以及在闭区间上的最值问题在利用导函数来研究函数的极值时，分三步求导函数，求导函数为的根，判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值，体现了转化的思想和分类讨论的思想，同时考查学生的分析问题解决问题及计算能力；较难
