1、2024/5/30第二讲 命题及其关系充分条件与必要条件2024/5/30回归课本1.命题(1)一般地,我们把用语言符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫命题,其中判断为真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题.(2)“若p则q”是数学中常见的命题形式,其中p叫做命题的条件,q叫做命题的结论.2024/5/30(3)若原命题为“若p则q”,则它的逆命题为若q则p,它的否命题为若p则 q,它的逆否命题为若 q则 p.(4)互为逆否的命题是等价的,它们同真同假,在同一个命题的四种命题中,真命题的个数可能为024个.2024/5/30(5)否命题与命题的否定的区别:首先,只有“若p则q”形式的命题
2、才有否命题,其形式为“若p则q.”其他形式的命题只有“否定”,而没有否命题,其次,命题的否定与原命题一真一假,而“若p则q”形式的命题的否命题与原命题的真假可能相同也可能相反.2024/5/302.充要条件(1)“若p则q”为真命题是指由p通过推理可以得出q,这时我们就说由p可以推出q,记作pq,并说p是q的充分条件,q是p的必要条件.(2)若既有pq又由qp,则p是q的充分必要条件,记作p q.(3)从集合的角度认识充分条件必要条件.2024/5/30设AB为两个集合,A=x|p(x),B=x|q(x)则若AB,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;若B A,则p是q的必要条件;若A=B,则
3、p是q的充要条件.();4qppqpqqp“”“”“”“”.2024/5/303.反证法证明命题的一般步骤(1)否定结论,(2)从假设出发,经过推理论证得出矛盾,(3)断定假设错误,肯定结论成立.反证法属于间接证法,当证明一个结论成立,已知条件较少,或结论的情况较多,或结论是以否定形式出现,如某些结论中含有“至多”“至少”“惟一”“不可能”“不都”等指示性词语时往往考虑采用反证法证明结论成立.2024/5/301.pq,rq,A.prB.rpC.prD.pr 若 是 的充分条件 是 的必要条件 则:pq,pq,qp.rq,qr,rq,qp,rp,B.解析是 的充分条件是 的必要条件又选答案:B
4、考点陪练2024/5/302.“m2”是“方程x2-mx+m+3=0的两根都大于1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不充分不必要条件2024/5/301212122112212:x,x,0 xxm,x xm31,2,2,(1)1,.m2;0,:m4m120;m6m1,3m,2;6.1xxxmxx xm 解析 设方程有两根则且又 即 解之得或 综上可知 2024/5/30(2)m2时,取m=3,此时方程为x2-3x+6=0无实根,即m2不能推出x11且x21.由(1)(2)知m2是方程的两根都大于1的必要不充分条件.答案:B2024/5/303.(2010陕西)对于数列
5、an,“an+1|an|(n=1,2,)”是“an为递增数列”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2024/5/30解析:因为an+1|an|an+1anan为递增数列,但an为递增数列an+1an推不出an+1|an|,故“an+1|an|(n=1,2,)”是“an为递增数列”的充分不必要条件,选B.答案:B2024/5/304.(2010山东)设an是等比数列,则“a1a2a3”是“数列an是递增数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2024/5/30解析:由题可知,若a1a20时,解得q1,此
6、时数列an是递增数列,当a10时,解得0q1,此时数列an是递增数列;反之,若数列an是递增数列,则a1a2a3成立,所以“a1a2b,则a2b2”的逆否命题;(3)“若x-3,则x2+x-60”的否命题;(4)“若ab是无理数,则ab是无理数”的逆命题.其中真命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.32024/5/30解 (1)逆命题为“若xy互为相反数,则x+y=0”是真命题.(2)原命题为假,其逆否命题为假.(3)否命题为“若x-3,则x2+x-60”,假如x=4-3,但x2+x-6=140,故为假.(4)逆命题“若ab是无理数,则ab也是无理数”,假如则ab=2是有理数.故为假.2
7、(2),2,ab答案 B2024/5/30反思感悟 判断一个命题为假命题,只需举出一个反例,无需证明.2024/5/30类型二四种命题及其关系解题准备:互为逆否关系的命题是等价命题:原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假.所以:当判断一个命题的真假有困难时,可以判断它的逆否命题的真假;原命题逆命题否命题逆否命题这四个命题中真命题的个数可能是0个2个4个.2024/5/30【典例2】分别写出下列命题的逆命题否命题逆否命题命题的否定,并判断它们的真假:(1)若q1,则方程x2+2x+q=0有实根;(2)若xy=0,则x=0或y=0;(3)若x2+y2=0,则x、y全为0.2024/5/3
8、0解 (1)原命题是真命题;逆命题:若方程x2+2x+q=0有实根,则q1,为真命题;否命题:若q1,则方程x2+2x+q=0无实根,为真命题;逆否命题:若方程x2+2x+q=0无实根,则q1,为真命题;命题的否定:若q1,则方程x2+2x+q=0无实根,为假命题.2024/5/30(2)原命题为真命题;逆命题:若x=0或y=0,则xy=0,是真命题;否命题:若xy0,则x0且y0,是真命题;逆否命题:若x0且y0,则xy0,是真命题;命题的否定:若xy=0,则x0且y0,是假命题.2024/5/30(3)原命题为真命题.逆命题:若x、y全为0,则x2+y2=0,为真命题;否命题:若x2+y2
9、0,则x、y不全为0,为真命题;逆否命题:若x、y不全为0,则x2+y20,为真命题;命题的否定:若x2+y2=0,则x、y不全为0,是假命题.2024/5/30反思感悟 (1)注意:“都是”的否定是“不都是”,而不是“都不是”,因为“x、y不都是奇数”包含“x是奇数y不是奇数”“x不是奇数y是奇数”“x、y都不是奇数”三种情况;“x=0或y=0”的否定是“x0且y0”,而不是“x0或y0”,因为“x=0或y=0”包含“x=0且y0”、“x0且y=0”“x=0且y=0”三种情况.(2)要注意区别“否命题”与“命题的否定”:否命题要对命题的条件和结论都否定,而命题的否定仅对命题的结论否定.202
10、4/5/30类型三充分必要条件的判定与证明解题准备:判断一个命题是另一个命题的什么条件,关键是利用定义:如果pq,则p叫做q的充分条件,原命题(或逆否命题)成立,命题中的条件是充分的,也可称q是p的必要条件;如果qp,则p叫做q的必要条件,逆命题(或否命题)成立,命题中的条件为必要的,也可称q是p的充分条件;如果既有pq,又有qp,记作pq,则p叫做q的充分必要条件,简称充要条件,原命题和逆命题(或逆否命题和否命题)都成立,命题中的条件是充要的.2024/5/30【典例3】求证方程ax2+2x+1=0有且只有一个负实数根的充要条件是a0或a=1.思路点拨 首先应从充分性和必要性两个方面进行证明
11、,其次要注意对参数a的分类讨论.2024/5/30证明 充分性:当a=0时,方程变为2x+1=0,其根为x=-,方程只有一负根.当a=1时,方程为x2+2x+1=0,其根为x=-1.方程只有一负根.当a0,方程有两个不相等的根,且,方程有一正一负根.10a 2024/5/30必要性:若方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根.当a=0时,适合条件.当a0时,方程ax2+2x+1=0有实根,则=4-4a0,a1,当a=1时,方程有一负根x=-1.若方程有且仅有一负根,综上方程ax2+2x+1=0有且仅有一负实数根的充要条件为a0或a=1.a0.1,10aa则2024/5/30反思感悟 (1)这类证
12、明问题需要证明充分性和必要性两个方面,因此应分清条件和结论,由条件证明结论成立是充分性,由结论证明条件成立是必要性,不能将二者混淆;(2)涉及一元二次方程根的问题,主要利用根的判别式进行求解,同时不能忘记对x2项系数的分类讨论.2024/5/30探究 是否存在实数p,使“4x+p0”的充分条件?如果存在,求出p的取值范围.分析 “4x+p0”是结论,先解出这两个不等式,再探求符合条件的p的范围.2024/5/30222xx20 x2x1,4xp0 xxx2x1,1,p4,p4,1x1xx20,p4,4xp0 xx20.4444.pppp 解的解是或由得要想使时或成立 必须有即 所以当 时所以
13、时“”是“”的充分条件2024/5/30反思感悟 本题用集合的包含关系去理解更容易解答,注意结合数轴确定p的范围.2024/5/30错源一判断充分必要条件时不注意设问方式【典例1】使不等式2x2-5x-30成立的一个充分不必要条件是()A.x0 B.x2C.x-1,3,5 D.x-或x32024/5/30错解 由2x2-5x-30得x3或x-,当x3或x-时能推出B选项,但当B选项成立时,不一定能推出x3或x-,所以选B.剖析 本题错误在于没有弄清楚问题的设问方式,混淆了条件和结论而导致的.正确的理解是所选选项是2x2-5x-30成立的充分不必要条件.2024/5/30正解 依题意所选选项能使
14、不等式2x2-5x-30成立,但当不等式2x2-5x-30成立时,却不一定能推出所选选项.由于不等式2x2-5x-30的解为:x3或x-,所以应选C.答案 C2024/5/30错源二四种命题的结构不明致误【典例2】写出命题“若a,b都是偶数,则a+b是偶数”的逆命题,否命题,逆否命题,并判断它们的真假.剖析 解本题易出现的错误有两个:一是对一个命题的逆命题否命题逆否命题的结构认识模糊出错;二是在否定一个结论时出错,如对“a,b都是偶数”的否定应该是“a,b不都是偶数”,而不应该是“a,b都是奇数”.2024/5/30正解 逆命题:“若a+b是偶数,则a,b都是偶数.”它是假命题;否命题:“若a
15、,b不都是偶数,则a+b不是偶数.”它是假命题;逆否命题:“若a+b不是偶数,则a,b不都是偶数.”它是真命题.2024/5/30评析四种命题的结构与等价关系如果原命题是“若A,则B”,则这个命题的逆命题是“若B,则A”,否命题是“若A,则B”,逆否命题是“若B,则A”.这里面有两组等价的命题,即“原命题和它的逆否命题等价,否命题与逆命题等价”.在解答由一个命题写出该命题的其他形式的命题时,一定要明确四种命题的结构以及它们之间的等价关系.2024/5/30技法一等价命题转化法【典例1】若p:x+y3,q:x1或y2.则p是q的什么条件?解 直接判断原命题“若p,则q”的真假比较难,但它的逆否命
16、题即“若x=1且y=2,则x+y=3”显然为真,故原命题也为真,即pq.逆命题的真假较难判断,但它的等价命题否命题“若x+y=3,则x=1且y=2”显然为假,故逆命题也为假,即qp.所以p是q的充分不必要条件.2024/5/30方法与技巧 当所给命题的充要条件不好判定时,可利用四种命题的关系,对命题进行等价转换.常利用“原命题逆否命题”,“否命题逆命题”.一些否定形式的命题常用这种方法判定.2024/5/30技法二快速解题(列表法)【典例2】有6名歌手进入决赛的电视歌曲大奖赛,组委会只设一名特别奖.赛前观众A猜:不是1号就是2号能获特别奖;B猜:3号不可能获特别获:C猜:456号都不可能获特别
17、奖;D猜;能获特别奖的是456号中的一个,赛后结果表明,四人中只有一人猜对了.问:谁猜对了?几号歌手获特别奖?2024/5/30快解 将所猜能获奖的记为,不能获奖记为,由题意得下表:歌手观众123456ABCD2024/5/30从表中可以看出,所猜3号的结果只有一人猜对,是C猜对的,3号歌手得了特别奖.解题切入点 可由CD所猜入手.这两人所猜是对立的,但D与B不能都对,因此,可以C猜对为前提进行推证.分析思维过程 可以明显看出CD所猜是对立的.若C猜对了,则BD都没猜对.再看A,A猜1号或2号,因为只有一个猜对,就不可能是1号或2号,只能是3号.如果是3号获特别奖,那么ABD都没有猜对,只有C猜对了.2024/5/30解 将ABCD四人猜的结果分别记为命题PAPBPCPD,则PC与PD必一真一假.若PD为真,则PB也真,不合题意,则PC应为真.由题意,则PA必为假.当PA假时,只有3号能获特别奖.此时再看PAPBPCPD四命题,只有PC是真的,符合题意.故C猜对了,3号获得特别奖.得分主要步骤 本题主要是入手抓住CD所猜结果对立,必有一人猜对.假设其中一人是对的,若推下去不合题意,则另一人必对,于是思路清晰,结果渐趋明朗.2024/5/30易丢分原因 如果切入点抓不准,则解答起来很乱,无头绪,当然花费时间也较多,也难以得分.比较以上两种解法,前者显然比后者优越得多.
