1、第三章 函数的概念与性质课标A版数学必修第一册函数的概念与性质第三章第三章3.2 3.2.1 第2课时课标A版数学必修第一册3.2函数的基本性质第三章3.2 3.2.1 第2课时课标A版数学必修第一册3.2.1单调性与最大(小)值第三章3.2 3.2.1 第2课时课标A版数学必修第一册第 2 课时函数的最大(小)值第三章3.2 3.2.1 第2课时课标A版数学必修第一册课前自主预习 第三章3.2 3.2.1 第2课时课标A版数学必修第一册1理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义2会借助单调性求最值3掌握求二次函数在闭区间上的最值第三章3.2 3.2.1 第2课时课标A版数学必修第一册1最大值
2、(1)定义：一般地，设函数 yf(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：xI，都有；x0I，使得.那么，称 M 是函数 yf(x)的最大值(2)几何意义：函数 yf(x)的最大值是图象的纵坐标f(x)Mf(x0)M最高点第三章3.2 3.2.1 第2课时课标A版数学必修第一册2最小值(1)定义：一般地，设函数 yf(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：xI，都有；x0I，使得.那么，称 M 是函数 yf(x)的最小值(2)几何意义：函数 yf(x)的最小值是图象的纵坐标f(x)Mf(x0)M最低点第三章3.2 3.2.1 第2课时课标A版数学必修第一册温馨提示：(1)最大(小)值
3、必须是一个函数值，是值域中的一个元素(2)并不是每一个函数都有最值，如函数 y1x，既没有最大值，也没有最小值(3)最值是函数的整体性质，即在函数的整个定义域内研究其最值第三章3.2 3.2.1 第2课时课标A版数学必修第一册1函数 yf(x)在2,2上的图象如图所示，试指出此函数的最小值、最大值和相应的 x 的值答案 f(x)的最小值为1，此时 x2；f(x)的最大值为 2，此时 x1第三章3.2 3.2.1 第2课时课标A版数学必修第一册2判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)任何函数都有最大值或最小值()(2)函数的最小值一定比最大值小()(3)函数 f(x)x 在2,3)上的最大
4、值为2，无最小值()(4)函数最大值对应图象中的最高点，且该点只有一个()答案(1)(2)(3)(4)第三章3.2 3.2.1 第2课时课标A版数学必修第一册课堂互动探究 第三章3.2 3.2.1 第2课时课标A版数学必修第一册题型一图象法求函数的最大(小)值【典例 1】(1)已知函数 f(x)x2，1x1，1x，x1.求 f(x)的最大值、最小值；(2)画出函数 f(x)2x，x，0，x22x1，x0，的图象，并写出函数的单调区间，函数的最小值思路导引 作出函数 f(x)的图象，结合图象求解第三章3.2 3.2.1 第2课时课标A版数学必修第一册解(1)作出函数 f(x)的图象(如图 1)由
5、图象可知，当 x1 时，f(x)取最大值为 f(1)1；当 x0时，f(x)取最小值 f(0)0，故 f(x)的最大值为 1，最小值为 0.(2)f(x)的图象如图 2 所示，f(x)的单调递增区间是(，0)和0，)，函数的最小值为 f(0)1.第三章3.2 3.2.1 第2课时课标A版数学必修第一册图象法求最大(小)值的步骤第三章3.2 3.2.1 第2课时课标A版数学必修第一册针对训练1利用图象求下列函数的最大值和最小值(1)y2x，x1,3；(2)y|x1|x2|.第三章3.2 3.2.1 第2课时课标A版数学必修第一册解(1)作出函数图象如右图所示，该函数的图象既有最高点3，23，也有
6、最低点(1，2)，所以函数 y2x，x1,3有最大值23，最小值2；第三章3.2 3.2.1 第2课时课标A版数学必修第一册(2)y|x1|x2|3，x2，2x1，1x2，3，x1.作出函数的图象，由右图可知，y3,3所以函数的最大值为 3，最小值为3.第三章3.2 3.2.1 第2课时课标A版数学必修第一册题型二利用单调性求函数的最大(小)值【典例 2】已知函数 f(x)x1x.(1)证明：f(x)在(1，)内是增函数；(2)求 f(x)在2,4上的最值第三章3.2 3.2.1 第2课时课标A版数学必修第一册解(1)证明：设x1，x2(1，)，且 x1x11，x1x21，x1x210，故(x
7、1x2)x1x21x1x20，即 f(x1)f(x2)，所以 f(x)在(1，)内是增函数第三章3.2 3.2.1 第2课时课标A版数学必修第一册(2)由(1)可知 f(x)在2,4上是增函数，当 x2,4时，f(2)f(x)f(4)又 f(2)21252，f(4)414174，f(x)在2,4上的最大值为174，最小值为52.第三章3.2 3.2.1 第2课时课标A版数学必修第一册函数的最值与单调性的关系(1)如果函数 yf(x)在区间(a，b上是增函数，在区间b，c)上是减函数，则函数 yf(x)，x(a，c)在 xb 处有最大值 f(b)(2)如果函数 yf(x)在区间(a，b上是减函数
8、，在区间b，c)上是增函数，则函数 yf(x)，x(a，c)在 xb 处有最小值 f(b)(3)如果函数 yf(x)在区间a，b上是增(减)函数，则在区间a，b的左、右端点处分别取得最小(大)值、最大(小)值第三章3.2 3.2.1 第2课时课标A版数学必修第一册针对训练2已知函数 f(x)xx1，x2,5，判断函数 f(x)的单调性，并求函数 f(x)的最大值和最小值解 任取 2x1x25，则 f(x1)x1x11，f(x2)x2x21，f(x2)f(x1)x2x21 x1x11x1x2x21x11，2x1x25，x1x20，x110，第三章3.2 3.2.1 第2课时课标A版数学必修第一册
9、f(x2)f(x1)0.f(x2)f(x1)f(x)xx1在区间2,5上是单调减函数f(x)maxf(2)2212，f(x)minf(5)55154.第三章3.2 3.2.1 第2课时课标A版数学必修第一册题型三求二次函数的最大(小)值【典例 3】(1)已知函数 f(x)3x212x5，x0,3，求函数的最大值和最小值(2)求二次函数 f(x)x22ax2 在2,4上的最小值思路导引 找出 f(x)的对称轴，分析对称轴与给定区间的关系，结合单调性求最值第三章3.2 3.2.1 第2课时课标A版数学必修第一册解(1)函数 f(x)3x212x53(x2)27，函数 f(x)3(x2)27 的图象
10、如图所示，由图可知，函数 f(x)在0,2)上递减，在2,3上递增，并且 f(0)5，f(2)7，f(3)4，所以在0,3上，f(x)maxf(0)5，f(x)minf(2)7.第三章3.2 3.2.1 第2课时课标A版数学必修第一册(2)函数图象的对称轴是 xa，当 a4 时，f(x)在2,4上是减函数，f(x)minf(4)188a.当 2a4 时，f(x)minf(a)2a2.f(x)min64a，a4.第三章3.2 3.2.1 第2课时课标A版数学必修第一册变式 本例(2)条件变为，若 f(x)x22ax2，当 x2,4时，f(x)a 恒成立，求实数 a 的取值范围解 在2,4内，f(
11、x)a 恒成立，即 ax22ax2 在2,4内恒成立，即 af(x)max，x2,4又 f(x)max188a，a3，64a，a3.当 a3 时，a188a，解得 a2，此时有 2a3.第三章3.2 3.2.1 第2课时课标A版数学必修第一册当 a3 时，a64a，解得 a65，此时有 a3.综上有实数 a 的取值范围是2，)第三章3.2 3.2.1 第2课时课标A版数学必修第一册求解二次函数最值问题的顺序(1)确定对称轴与抛物线的开口方向、作图(2)在图象上标出定义域的位置(3)观察单调性写出最值第三章3.2 3.2.1 第2课时课标A版数学必修第一册针对训练3已知函数 f(x)x22xa(
12、x0,2)有最小值2，则 f(x)的最大值为()A4 B6 C1 D2解析 函数 f(x)x22xa 的对称轴为 x1，在0,2上为增函数，所以 f(x)的最小值为 f(0)a2，f(x)的最大值为 f(2)8a6.答案 B第三章3.2 3.2.1 第2课时课标A版数学必修第一册4已知函数 f(x)x26x8，x1，a，并且 f(x)的最小值为 f(a)，则实数 a 的取值范围是_解析 如图可知 f(x)在1，a内是单调递减的，又f(x)的单调递减区间为(，3，1400.其中 x 是仪器的月产量第三章3.2 3.2.1 第2课时课标A版数学必修第一册(1)将利润表示为关于月产量的函数 f(x)
13、；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益总成本利润)思路导引 先将利润表示成关于 x 的函数，再利用函数的单调性求最值解(1)月产量为 x 台，则总成本为(20000100 x)元，从而 f(x)12x2300 x20000，0 x400，60000100 x，x400.第三章3.2 3.2.1 第2课时课标A版数学必修第一册(2)当 0 x400 时，f(x)12(x300)225000，当 x300 时，f(x)max25000；当 x400 时，f(x)60000100 x 是减函数，f(x)60000100400200000)的单调性来求其最值.第三章3.2 3.2.1 第2课时课标A版数学必修第一册2.函数的值域与最大(小)值的区别(1)函数的值域是一个集合，函数的最值是一个函数值，它是值域的一个元素，即定义域中一定存在一个 x0，使 f(x0)M(最值)(2)函数的值域一定存在，但函数并不一定有最大(小)值，如yx 在 x(1,1)时无最值.第三章3.2 3.2.1 第2课时课标A版数学必修第一册请做：随堂巩固验收