1、第一章 集合与函数概念 1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性 学习目标：1.理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性(重点、难点)2.会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性(难点)3.会求一些具体函数的单调区间(重点)自 主 预 习探 新 知1增函数与减函数的定义一般地，设函数 f(x)的定义域为 I：如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1x2 时 条件都有 f(x)f(f(x)都有 f(x)_f结论那么就说函数f(x)在区间D上是增函数那么就说函数 f(x)在区间 D
2、上是减函数任意f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)增减图示思考 1：增(减)函数定义中的 x1，x2 有什么特征？提示 定义中的 x1，x2 有以下 3 个特征(1)任意性，即“任意取 x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定 x1x2；(3)属于同一个单调区间2函数的单调性与单调区间如果函数 yf(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 yf(x)的单调区间思考 2：函数 y1x在定义域上是减函数吗？提示 不是y1x在(，0)上递减，在(0，)上也递减，但不能说 y1x在(，
3、0)(0，)上递减增函数或减函数单调区间基础自测1思考辨析(1)因为 f(1)f(1)()(3)若函数 f(x)在区间(1,2和(2,3)上均为增函数，则函数 f(x)在区间(1,3)上为增函数()答案(1)(2)(3)2函数 yf(x)的图象如图 1-3-1 所示，其增区间是()图 1-3-1A4,4B4，31,4C3,1D3,4C 由图可知，函数 yf(x)的单调递增区间为3,1，选 C.3下列函数中，在区间(0，)上是减函数的是()【导学号：37102125】Ay1x ByxCyx2Dy1xD 函数 y1x 在区间(0，)上是减函数，其余函数在(0，)上均为增函数，故选 D.4函数 f(
4、x)x22x3 的单调减区间是_(，1)因为 f(x)x22x3 是图象开口向上的二次函数，其对称轴为 x1，所以函数 f(x)的单调减区间是(，1)合 作 探 究攻 重 难 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数(1)f(x)1x；(2)f(x)2x1，x1，5x，x1；(3)f(x)x22|x|3.【导学号：37102126】求函数的单调区间解(1)函数 f(x)1x的单调区间为(，0)，(0，)，其在(，0)，(0，)上都是增函数(2)当 x1 时，f(x)是增函数，当 x1 时，f(x)是减函数，所以 f(x)的单调区间为(，1)，1，)，并且函数 f(x)
5、在(，1)上是减函数，在1，)上是增函数(3)因为 f(x)x22|x|3x22x3，x0，x22x3，x0.根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，函数 f(x)的单调区间为(，1，(1,0)，0,1)，1，)f(x)在(，1，0,1)上是增函数，在(1,0)，1，)上是减函数规律方法 1求函数单调区间的方法(1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解；(2)利用函数的图象，如本例(3)2若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“,”隔开，如本例(3)跟踪训练1(1)根据如图 1-3-2 说
6、出函数在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数；图 1-3-2(2)写出 y|x22x3|的单调区间解(1)函数在1,0，2,4上是减函数，在0,2，4,5上是增函数(2)先画出f(x)x22x3，x3，x22x3，1x3 的图象，如图所以 y|x22x3|的单调减区间为(，1，1,3；单调增区间为1,1，3，)证明函数 f(x)x1x在(0,1)上是减函数.【导学号：37102127】思路探究：设元0 x1x2fx2结论 减函数函数单调性的判定与证明证明 设 x1，x2 是区间(0,1)上的任意两个实数，且 x1x2，则 f(x1)f(x2)x11x1x21x2 (x1 x2)1x11x2
7、(x1 x2)x2x1x1x2 (x1 x2)1 1x1x2 x1x21x1x2x1x20 x1x21，x1x20,0 x1x21，则1x1x20，即 f(x1)f(x2)，f(x)x1x在(0,1)上是减函数规律方法 利用定义证明函数单调性的步骤 1取值：设 x1，x2 是该区间内的任意两个值，且 x1x21，则 f(x1)f(x2)2x112x212x2x1x11x21，因为 x1x21，所以 x2x10，x210，所以 f(x1)f(b)，则 a，b 满足什么关系如果函数 f(x)是减函数呢？函数单调性的应用提示：若函数 f(x)是其定义域上的增函数，那么当 f(a)f(b)时，ab；若
8、函数 f(x)是其定义域上的减函数，那么当 f(a)f(b)时，ab.2若函数 f(x)x22ax3 在(2，)上是增函数，则实数 a 的取值范围是什么？提示：因为函数 f(x)x22ax3 是图象开口向上的二次函数，其对称轴为 xa，所以其单调增区间为(a，)，由题意可得(2，)(a，)，所以a2.已知函数 f(x)x2axb.(1)若函数 f(x)的图象过点(1,4)和(2,5)，求 f(x)的解析式(2)若函数 f(x)在区间1,2上不单调，求实数 a 的取值范围.【导学号：37102128】思路探究：待定系数法求fx 数形结合分析fx的对称与区间的关系建立不等式 求a的范围解(1)f(
9、x)x2axb 过点(1,4)和(2,5)，1ab4，42ab5，解得a2，b5，f(x)x22x5.(2)由 f(x)在区间1,2上不单调可知 1a22，即4ag(5x6)”，求实数 x 的取值范围解 g(x)在(，)上是增函数，且 g(2x3)g(5x6)，2x35x6，即 xg(5x6)，2x35x6，即 x3.所以实数 x 的取值范围为(，3)规律方法 函数单调性的应用 1函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.2若一个函数在区间a，b上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.当 堂 达
10、标固 双 基1如图 1-3-3 是定义在区间5,5上的函数 yf(x)，则下列关于函数 f(x)的说法错误的是()A函数在区间5，3上单调递增B函数在区间1,4上单调递增C函数在区间3,14,5上单调递减D函数在区间5,5上没有单调性图 1-3-3C 由图可知，f(x)在区间3,1，4,5上单调递减，单调区间不可以用并集“”连接，故选 C.2函数 f(x)在 R 上是减函数，则有()【导学号：37102129】Af(3)f(5)Df(3)f(5)C 3f(5)3如果函数 f(x)x22bx2 在区间3，)上是增函数，则 b 的取值范围为()Ab3 Bb3Cb3 Db3C 函数 f(x)x22bx2 的图象是开口向上，且以直线 xb 为对称轴的抛物线，若函数 f(x)x22bx2 在区间3，)上是增函数，则 b3，故选 C.4已知函数 f(x)kx(k0)在区间(0，)上是增函数，则实数 k 的取值范围是_.【导学号：37102130】(，0)结合反比例函数的单调性可知 kx21，则y1y2 x1x11 x2x21x1x2x11x21.x1x21，x1x20，x110，x210，x1x2x11x210，即 y1y20，y1y2，y xx1在(1，)上是增函数课时分层作业（九）点击上面图标进入 谢谢观看
