1、22.1.3 二次函数y=ax2+k的图象和性质 导学案 学习目标 1）用描点法画二次函数y=ax2+k的图象。2）通过观察图象能说出二次函数y=ax+k的图象特征和性质。3）由二次函数y=ax2的图象特征及性质类比地学习二次函数y=ax2+k的图象特征及性质，并能发现它们的联系，培养类比学习能力，渗透数形结合的数学思想方法。 重点难点突破 核心知识 思维导图 引入新课 新知探究 【问题】用描点法画二次函数 y=2x2+1 和 y=2x2-1 的图象。【问题】抛物线y=2x2+1和y=2x21的开口方向、对称轴、顶点、最值各是什么？1）抛物线y=2x2+1的开口方向_、对称轴_,顶点坐标是_，
2、函数的最_值为_2）抛物线y=2x21的开口方向_、对称轴_,顶点坐标是_ ，函数的最_值为_【提问】观察抛物线y=2x2+1和y=2x21的图象，讨论增减性？从抛物线y=2x2+1和y=2x21的图象可以看出：两者的增减性_在对称轴的_，抛物线从左到右下降趋势；在对称轴的_，抛物线从左到右上升趋势.也就是说，当x0时，y随x的增大而_； 当x0时，y随x的增大而_.【提问】你能说出二次函数yax2k(a0)的图象特征和性质吗？【问题】描点法画抛物线y=12x2、y=12x2+1、y=12x21的图象？并回答下面问题？1）三条抛物线的开口方向：_2）三条抛物线的对称轴：_3）从上而下顶点坐标分
3、别为：_4）顶点都是最_点，函数都有最_值，从上而下最_值分别为_5）函数的增减性都_:即当x0时，y随x的增大而_；当x0时，y随x的增大而_.【提问】你能说出二次函数yax2k(a0)的图象特征和性质吗？【思考】1)抛物线y=2x2+1和y=2x21与y=2x2有什么关系？2抛物线y=2x2+1与y=2x21有什么关系？3)抛物线y=ax2+k与y=ax2有什么关系？【总结】二次函数y=ax+k的图象特征和性质: 典例分析 例1 抛物线 y=2x23的开口 _，对称轴是 _，顶点坐标是 _，当x _时，y随x的增大而增大，当x_时，y随x的增大而减小【针对训练】1二次函数y=12x2+5有
4、最_值为_2二次函数y（m2+1）x21的图象开口方向是_（填“向上”或“向下”）3抛物线yx23的对称轴是_，顶点坐标是_4已知二次函数y=2x21，如果y随x的增大而增大，那么x的取值范围是_5. 下列关于二次函数y=2x2+3，下列说法正确的是（）A它的开口方向向下 B它的顶点坐标是2,3C当x”，“=”或“”）2已知点A1,y1，点B2,y2在二次函数y=ax22a0的图象上，且y1y2，那么a的取值范围是_3已知(2,y1)，(1,y2)，(3,y3)是二次函数y=x2+m上的点，则y1，y2，y3从小到大用“”排列是_4已知点(x1,y1)，(x2,y2)均在抛物线y=x21上，下
5、列说法正确的是（）A若x1=x2，则y1=y2B若y1=y2，则x1=x2C若x1x20，则y1y2D若0x1x2，则y1y2例5抛物线y=ax2+c与y=3x2的形状相同，开口方向相反，且其顶点坐标是0,2，则该抛物线的函数解析式是_【针对训练】1抛物线y=2x2+c的顶点坐标为(0，1)，则抛物线的解析式为 _2写出顶点坐标为（0，-3），开口方向与抛物线y=x2的方向相反，形状相同的抛物线解析式_3已知抛物线y=ax2+b过点2,3和点1,6（1）求这个函数的关系式；（2）写出当x为何值时，函数y随x的增大而增大例6下列各组抛物线中能够互相平移得到的是（）Ay=2x2与y=3x2 By=
6、2x2与y=x2+2Cy=2x2+3与y=3x2+2 Dy=2x2与y=2x21【针对训练】1 填空1）抛物线y3x28可以由抛物线y3x2向 平移 个单位得到2）抛物线y-3x2+2向 平移 个单位后会得到抛物线y=-3x22二次函数y=5x23与二次函数y=5x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向对称轴和顶点坐标分别是什么？先想一想，如果需要，画图看一看二次函数y=5x22的图象与二次函数y=5x2+3的图象呢？例7函数yax与yax2+a（a0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（）【针对训练】1函数yaxa和y=ax2+2（a为常数，且a0），在同一平面直角坐标系中的大致
7、图象可能是（） 能力提升 1如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y=13x2于点B，C，则BC的长为_2如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”，已知点A、B、C、D分别是“芒果”与坐标轴的交点，AB是半圆的直径，抛物线的解析式为y=32x232，则图中CD的长为_3已知抛物线y=ax2+c与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P在抛物线上，且P（1，3），B（4，0）（1）点A的坐标是 ；（2）求该抛物线的解析式；（3）直接写出该抛物线的顶点C的坐标 直击中考 1（2022湖北荆门真题）抛物线yx2+3上有两点A（x1，y1），B（x
8、2，y2），若y1y2，则下列结论正确的是()A0x1x2 Bx2x10Cx2x10或0x1x2 D以上都不对2（2023安徽真题）下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（）Ay=x2+1 By=x2+1 Cy=2x+1 Dy=2x+13（2023广东统考真题）如图，抛物线y=ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（）A-1B2C3D44（2019山东真题）已知抛物线y=-x2+1，下列结论：抛物线开口向上；抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0）；抛物线的对称轴是y轴；抛物线的顶点坐标是（0，1）；抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1
9、个单位得到的其中正确的个数有（ ）A5个B4个C3个 D2个 课堂小结 1.本节课学了哪些主要内容？2.抛物线yax2k与抛物线yax2的区别与联系是什么？3.通过本节课的学习，你想继续探究的知识是什么？【参考答案】 新知探究 【问题】用描点法画二次函数 y=2x2+1 和 y=2x2-1 的图象。【问题】抛物线y=2x2+1和y=2x21的开口方向、对称轴、顶点、最值各是什么？1）抛物线y=2x2+1的开口方向向上、对称轴y轴,顶点坐标是（0，1），函数的最小值为12）抛物线y=2x21的开口方向向上、对称轴y轴,顶点坐标是（0，-1），函数的最小值为-1【提问】观察抛物线y=2x2+1和y
10、=2x21的图象，讨论增减性？从抛物线y=2x2+1和y=2x21的图象可以看出：两者的增减性相同在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降趋势；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升趋势.也就是说，当x0时，y随x的增大而减小； 当x0时，y随x的增大而增大.【提问】你能说出二次函数yax2k(a0)的图象特征和性质吗？一般地，当a0时，抛物线y=ax2+k的开口向上，对称轴是y轴，顶点是(0,k)，顶点是抛物线的最低点，函数最小值为k.当x0时，y随x的增大而减小；当x0时，y随x的增大而增大.【问题】描点法画抛物线y=12x2、y=12x2+1、y=12x21的图象？并回答下面问题？1）三条抛物线的
11、开口方向：向下_2）三条抛物线的对称轴：y轴3）从上而下顶点坐标分别为：（0，1）（0，0）（0，-1）4）顶点都是最高点，函数都有最大值，从上而下最大值分别为y=1、 y= 0、 y= -15）函数的增减性都相同:即当x0时，y随x的增大而增大；当x0时，y随x的增大而减小.【提问】你能说出二次函数yax2k(a0)的图象特征和性质吗？一般地，当a0时，抛物线y=ax2+k的开口向下，对称轴是y轴，顶点是(0,k)，顶点是抛物线的最高点，函数最大值为k.当x0时，y随x的增大而增大；当x0时，y随x的增大而减小.【思考】1)抛物线y=2x2+1和y=2x21与y=2x2有什么关系？2抛物线y
12、=2x2+1与y=2x21有什么关系？3)抛物线y=ax2+k与y=ax2有什么关系？【总结】二次函数y=ax+k的图象特征和性质: 典例分析 例1抛物线 y=2x23的开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，-3），当x 0时，y随x的增大而减小【针对训练】1二次函数y=12x2+5有最大值为y=52二次函数y（m2+1）x21的图象开口方向是向上（填“向上”或“向下”）3抛物线yx23的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，3）4已知二次函数y=2x21，如果y随x的增大而增大，那么x的取值范围是x05. 下列关于二次函数y=2x2+3，下列说法正确的是（C）A它的开口方向向下 B它的顶点坐标是2
13、,3C当x-1时，y随x的增大而增大 D当x=0时，y有最小值是3例2如果抛物线y=2ax2+2开口向下，那么a的取值范围是a2例3已知二次函数y=ax22的图象经过点(1,3)，那么a的值为1【针对训练】1已知点M（-1，m）在二次函数y=2x2+1图象上，则m的值为32二次函数y(k1)xk2+3的图象开口向上，则k23如果抛物线y=ax2-3的顶点是它的最高点，那么a的取值范围是a0_ 例4已知点A（7，m）、B（5，n）都在二次函数y13x2+4的图像上，那么m、n的大小关系是：m _ n（填“”、“”或“”）【针对训练】1若点A1,y1，B2,y2在抛物线y=2x2+m上，则y1，y
14、2的大小关系为：y1_”，“=”或“”）2已知点A1,y1，点B2,y2在二次函数y=ax22a0的图象上，且y10_3已知(2,y1)，(1,y2)，(3,y3)是二次函数y=x2+m上的点，则y1，y2，y3从小到大用“”排列是_y2y1y3_4已知点(x1,y1)，(x2,y2)均在抛物线y=x21上，下列说法正确的是（D）A若x1=x2，则y1=y2B若y1=y2，则x1=x2C若x1x20，则y1y2D若0x1x2，则y1y2例5抛物线y=ax2+c与y=3x2的形状相同，开口方向相反，且其顶点坐标是0,2，则该抛物线的函数解析式是_ y=3x2+2_【针对训练】1抛物线y=2x2+
15、c的顶点坐标为(0，1)，则抛物线的解析式为 _ _y=2x2+1_2写出顶点坐标为（0，-3），开口方向与抛物线y=x2的方向相反，形状相同的抛物线解析式_y=x23_3已知抛物线y=ax2+b过点2,3和点1,6（1）求这个函数的关系式；（2）写出当x为何值时，函数y随x的增大而增大【详解】解：（1）抛物线y=ax2+b过点2,3和点1,6，4a+b=3a+b=6，解得a=3b=9这个函数得关系式为：y=3x2+9（2）二次函数y=3x2+9开口向下，对称轴为x=0，当x0时，函数y随x的增大而增大例6下列各组抛物线中能够互相平移得到的是（D）Ay=2x2与y=3x2 By=2x2与y=x
16、2+2Cy=2x2+3与y=3x2+2 Dy=2x2与y=2x21【针对训练】1 填空1）抛物线y3x28可以由抛物线y3x2向 上 平移 8 个单位得到2）抛物线y-3x2+2向 下 平移 2 个单位后会得到抛物线y=-3x22二次函数y=5x23与二次函数y=5x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向对称轴和顶点坐标分别是什么？先想一想，如果需要，画图看一看二次函数y=5x22的图象与二次函数y=5x2+3的图象呢？【详解】1）二次函数y=5x23与y=5x2的图象都是拋物线，并且形状相同，只是位置不同； 将二次函数y=5x2的图象向下平移3个单位长度，就得到二次函数y=5x2
17、3的图象 二次函数y=5x23的图象是轴对称图形，它的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐称为0,32）二次函数y=5x22与y=5x2+3的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同； 将二次函数y=5x22的图象向上平移5个单位长度就得到函数y=5x2+3的图象例7函数yax与yax2+a（a0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（D）【针对训练】1函数yaxa和y=ax2+2（a为常数，且a0），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（C） 能力提升 1如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y=13x2于点B，C，则BC的长为_6_2如图，
18、是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”，已知点A、B、C、D分别是“芒果”与坐标轴的交点，AB是半圆的直径，抛物线的解析式为y=32x232，则图中CD的长为_52_3已知抛物线y=ax2+c与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P在抛物线上，且P（1，3），B（4，0）（1）点A的坐标是 ；（2）求该抛物线的解析式；（3）直接写出该抛物线的顶点C的坐标【详解】解：(1)该抛物线的对称轴是y轴，点A与点B关于y轴对称，B4，0，A4，0；(2)把点P1，3，B4，0代入y=ax2+c，得：a+c=316a+c=0，解得a=15c=165，该抛物线的解析式为y=15x2165；(3)由(2)知，该
19、抛物线的解析式为y=15x2165，则顶点C的坐标是0，165 直击中考 1（2022湖北荆门真题）抛物线yx2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1y2，则下列结论正确的是(D)A0x1x2 Bx2x10Cx2x10或0x1x2 D以上都不对2（2023安徽真题）下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（D）Ay=x2+1 By=x2+1 Cy=2x+1 Dy=2x+13（2023广东统考真题）如图，抛物线y=ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（B）A-1B2C3D44（2019山东真题）已知抛物线y=-x2+1，下列结论：抛物线开口向上；抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0）；抛物线的对称轴是y轴；抛物线的顶点坐标是（0，1）；抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的其中正确的个数有（ B ）A5个B4个C3个 D2个
