1、考点测试8函数的单调性高考概览本考点是高考的常考知识点，常与函数的奇偶性、周期性相结合综合考查题型为选择题、填空题，分值为5分，难度为低、中、高各种档次考点研读1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义2会运用基本初等函数的图象分析函数的单调性一、基础小题1下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是()Ay|x| By3xCy Dyx24答案A解析函数y3x，y，yx24在区间(0，1)上均为减函数，y|x|在区间(0，1)上为增函数故选A.2函数yx26x10在区间(2，4)上()A单调递减B单调递增C先单调递减后单调递增D先单调递增后单调递减答案C解析由函数yx26x10的图象开口向
2、上，对称轴为直线x3，知yx26x10在区间(2，4)上先单调递减后单调递增故选C.3若函数f(x)(2a1)xb是R上的减函数，则实数a的取值范围为()A BC D答案D解析当2a10，即a0时，g(x)在1，2上是减函数，则a的取值范围是0x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)ab BcbaCacb Dbac答案D解析因为f(x)的图象关于直线x1对称，所以ff.由x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)0恒成立，知f(x)在(1，)上单调递减因为12ff(e)，所以bac.9(多选)已知函数f(x)log(x22x3)，规定区间E，对任意x1，x2E，当x1x2时，总有f(x1
3、)0，得x3或x0，则a的取值范围是_答案解析由f(x)a，且yf(x)在(2，)上是增函数，得12a.二、高考小题13(2021全国甲卷)下列函数中是增函数的为()Af(x)x Bf(x)Cf(x)x2 Df(x)答案D解析解法一(排除法)：取x11，x20，对于A，有f(x1)1，f(x2)0，所以A不符合题意；对于B，有f(x1)，f(x2)1，所以B不符合题意；对于C，有f(x1)1，f(x2)0，所以C不符合题意故选D.解法二(图象法)：如图，在同一平面直角坐标系中分别作出A，B，C，D四个选项中函数的大致图象，由图可快速直观地判断D项符合题意故选D.14(2020全国卷)设函数f(
4、x)ln |2x1|ln |2x1|，则f(x)()A是偶函数，且在单调递增B是奇函数，且在单调递减C是偶函数，且在单调递增D是奇函数，且在单调递减答案D解析f(x)ln |2x1|ln |2x1|的定义域为，关于坐标原点对称，又f(x)ln |12x|ln |2x1|ln |2x1|ln |2x1|f(x)，f(x)为定义域上的奇函数，可排除A，C；当x时，f(x)ln (2x1)ln (12x)，yln (2x1)在上单调递增，yln (12x)在上单调递减，f(x)在上单调递增，排除B；当x时，f(x)ln (2x1)ln (12x)ln ln ，1在上单调递减，f()ln 在定义域内单
5、调递增，根据复合函数单调性可知f(x)在上单调递减，D正确故选D.15(2020全国卷)若2x2y3x3y，则()Aln (yx1)0 Bln (yx1)0Cln |xy|0 Dln |xy|0答案A解析由2x2y3x3y，得2x3x2y3y.令f(t)2t3t，y2x为R上的增函数，y3x为R上的减函数，f(t)为R上的增函数xy，yx0，yx11，ln (yx1)0，故A正确，B错误|xy|与1的大小关系不确定，故C，D无法确定故选A.16(2020新高考卷)若定义在R的奇函数f(x)在(，0)单调递减，且f(2)0，则满足xf(x1)0的x的取值范围是()A1，13，)B3，10，1C1
6、，01，)D1，01，3答案D解析因为定义在R上的奇函数f(x)在(，0)上单调递减，且f(2)0，所以f(x)在(0，)上也单调递减，且f(2)0，f(0)0，所以当x(，2)(0，2)时，f(x)0；当x(2，0)(2，)时，f(x)f(2)f(2)Bff(2)f(2)Cf(2)f(2)fDf(2)f(2)f答案C解析因为f(x)是定义域为R的偶函数，所以ff(log34)f(log34).又因为log341220，且函数f(x)在(0，)单调递减，所以f(log34)f(2)0，a1)在R上是减函数，则函数g(x)(a2)x3在R上的单调性为()A.单调递增B在(0，)上单调递减，在(，
7、0)上单调递增C单调递减D在(0，)上单调递增，在(，0)上单调递减答案C解析指数函数f(x)ax(a0，a1)在R上是减函数，0a1，a20，g(x)(a2)x3在R上是减函数故选C.19(2022河北石家庄第一中学高三上教学质量检测(一)已知函数ylog(x2ax6)在(，2)上单调递增，则实数a的取值范围是()A5，4 B(，4C(5，4 D4，)答案A解析令g(x)x2ax6，00在(，2)上恒成立，即则实数a的取值范围是5，4.故选A.20(2021广西南宁高三阶段训练)已知函数f(x)满足f(1x)f(1x)，当x1时，f(x)x，则x|f(x2)1()Ax|x0Bx|x2Cx|x
8、0Dx|x4答案C解析由f(1x)f(1x)，可知函数f(x)的图象关于直线x1对称当x1时，f(x)x在1，)上单调递增，f(2)1，又函数f(x)的图象关于直线x1对称，所以f(0)1，且f(x)在(，1)上单调递减，所以由f(x2)1得x22，故x0，所以x|f(x2)1x|x0故选C.21(多选)(2021山东临沂期末)已知函数f(x)在R上单调递增，且f(1x)f(1x)0，f(2)1，则()Af(x)的图象关于(1，0)对称Bff0Cff0D不等式f(x)21的解集为(，0)(2，)答案ACD解析函数f(x)满足f(1x)f(1x)0，可得f(x)的图象关于(1，0)对称，A正确；
9、令x，得ff0，又函数f(x)在R上单调递增，则ff，即ff0，B错误；ff，即ff0，C正确；令x1，得f(0)f(2)1，又f(x)21等价于f(x)1或f(x)1，f(x)在R上单调递增，x0或x2，D正确故选ACD.22(多选)(2022海口模拟)若存在正实数a，b，使得xR有f(xa)f(x)b恒成立，则称f(x)为“限增函数”给出以下四个函数，其中是“限增函数”的是()Af(x)x2x1 Bf(x)Cf(x)sin (x2) Df(x)x答案BCD解析对于A，f(xa)f(x)b即(xa)2(xa)1x2x1b，即2axa2ab，x对一切xR恒成立，显然不存在这样的正实数a，b；对
10、于B，f(x)，即 b，|xa|x|b22b，而|xa|x|a，只要存在正实数a，b满足|x|a|x|b22b即可，则，显然，当ab2时式子恒成立，f(x)是“限增函数”；对于C，f(x)sin (x2)，1f(x)sin (x2)1，故f(xa)f(x)2，当b2时，对于任意的正实数a，b都成立，f(x)sin (x2)是“限增函数”；对于D，f(x)x，即xaxb，显然，当ab时式子恒成立，f(x)x是“限增函数”故选BCD.23(2022北京交通大学附属中学高三上开学考试)设函数f(x)的定义域为0，1，能说明“若函数f(x)在0，1上的最大值为f(1)，则函数f(x)在0，1上单调递增
11、”为假命题的一个函数是_答案f(x)，x0，1(答案不唯一)解析根据题意，要求函数f(x)的定义域为0，1，在0，1上的最大值为f(1)，但f(x)在0，1上不是增函数，可以考虑定义域为0，1且先减后增的二次函数，函数f(x)，x0，1符合24(2021辽宁省辽阳市高三联考)设函数f(x)则满足f(x)f(x1)2的x的取值范围是_答案解析易知f(x)在R上单调递增，所以yf(x)f(x1)在R上单调递增当x1时，f(x)f(x1)32；当x1时，f(x)f(x1)2成立；当x1时，f(x)f(x1)x1x2，解得x1.综上，x的取值范围是.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型二、模拟
12、大题1(2021深圳调研)函数f(x)2x的定义域为(0，1.(1)当a1时，求函数f(x)的值域；(2)若f(x)在定义域上是减函数，求a的取值范围.解(1)因为a1，所以函数f(x)2x2，所以函数f(x)的值域为2，).(2)若函数f(x)在定义域上是减函数，则任取x1，x2(0，1且x1f(x2)成立，即f(x1)f(x2)(x1x2)0，只要a0)，F(x)若f(1)0，且对任意实数x均有f(x)0成立(1)求F(x)的表达式；(2)当x2，2时，g(x)f(x)kx是单调函数，求实数k的取值范围解(1)因为f(1)0，所以ab10，所以ba1，所以f(x)ax2(a1)x1.因为对
13、任意实数x均有f(x)0成立，所以所以所以a1，从而b2，所以f(x)x22x1，所以F(x)(2)g(x)x22x1kxx2(2k)x1.因为g(x)在2，2上是单调函数，所以2或2，解得k2或k6.故实数k的取值范围是(，26，).3(2021陕西西安长安区大联考)已知定义在区间(0，)上的函数f(x)满足f(x1x2)f(x1)f(x2)，且当x1时，f(x)0.(1)求f(1)的值；(2)证明：f(x)为增函数；(3)若f1，求f(x)在上的最值.解(1)因为函数f(x)满足f(x1x2)f(x1)f(x2)，令x1x21，则f(1)f(1)f(1)，解得f(1)0.(2)证明：设x1
14、，x2(0，)，且x1x2，则1，所以f0，所以f(x1)f(x2)ff(x2)f(x2)ff(x2)f0，所以f(x1)f(x2)，所以f(x)在(0，)上是增函数(3)由(2)得f(x)在(0，)上是增函数若f1，则fff2，因为ff(1)ff(5)0，所以f(5)1，则f(5)f(5)f(25)2，f(5)f(25)f(125)3，即f(x)在上的最小值为2，最大值为3.4(2022湖南湘潭摸底)已知f(x)是定义在1，1上的奇函数，且f(1)1，若a，b1，1，ab0，有0成立(1)判断函数f(x)在1，1上是增函数还是减函数，并加以证明；(2)解不等式ff；(3)若对所有x1，1，a1，1，m22am1f(x)恒成立，求实数m的取值范围解(1)f(x)在1，1上是增函数，证明如下：任取x1，x21，1，且x10，x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2).f(x)在1，1上是增函数(2)f(x)在1，1上单调递增，x，不等式的解集为.(3)f(x)在1，1上是增函数，f(x)f(1)1，即1是f(x)的最大值若m22am1f(x)对所有x1，1，a1，1恒成立，则有m22am11对a1，1恒成立，即m22am0恒成立令g(a)2mam2，它的图象是一条线段，那么解得m(，202，).
