1、课时过关检测(六十二) 离散型随机变量的数字特征A级基础达标1抛掷一枚质地均匀的硬币，若出现正面朝上则停止抛掷，至多抛掷ni次，设抛掷次数为随机变量i，i1,2，若n12，n23，则()AE(1)E(2)，D(1)D(2)BE(1)D(2)CE(1)E(2)，D(1)E(2)，D(1)D(2)解析：A抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上则停止抛掷，至多抛掷ni次，设抛掷次数为随机变量i，i1,2，n12，n23，n12，1的分布列为1 1 2PE(1)12，D(1)22，n23，2的分布列为2 1 2 3P E(2)123，D(2)222E(1)E(2)，D(1)D(2)故选A2若随机变量的分
2、布列如下表，则E()()101P12qq2A1B1C1D1解析：C由离散型随机变量分布列的性质，得解得q1，E()(1)0(12q)1q2q213已知袋子中装有若干个大小形状相同且标有数字1,2,3的小球，每个小球上有一个数字，它们的个数依次成等差数列，从中随机抽取一个小球，若取出小球上的数字X的数学期望是2，则X的方差是()AB CD解析：B因为取出小球上的数字X的数学期望是2，且个数依次成等差数列，设标有数字1,2,3的小球依次为ad，a，ad个，则P(X1)，P(X2)，P(X3)，所以E(X)32d0，aN*故袋中标有数字1,2,3的小球个数相同不妨设标有数字1,2,3的小球各有1个，
3、从而随机抽取一个小球的概率皆为，方差为(12)2(22)2(32)2，故选B4(多选)对于离散型随机变量X，它的数学期望E(X)和方差D(X)，下列说法正确的是()AE(X)是反映随机变量的平均取值BD(X)越小，说明X越集中于E(X)CE(aXb)aE(X)bDD(aXb)a2D(X)b解析：ABC离散型随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差越小，说明随机变量的取值越集中于均值；即A、B正确；由期望和方差的性质可得，E(aXb)aE(X)b，D(aXb)a2D(X)，即C正确，D错误故选A、B、C5(多选)设0p1，随机变量的分布列如下表
4、所示，则当p在(0,1)内增大时，下列说法正确的是()012PAE()减小BE()增大CD()先减小后增大DD()先增大后减小解析：BD由分布列可得：E()012p，所以当p在(0,1)内增大时，E()增大，故选项B正确；D()222p2p2，所以D()在上单调递增，在上单调递减，先增后减，故选项D正确，故选B、D6已知随机变量X的分布列为X012Pab若E(X)1，则E(aXb)_解析：由概率分布列的性质知abE(aXb)aE(X)bab答案：7现有10件商品，其中3件瑕疵品7件合格品，若从这10件商品中任取2件，设取到X件瑕疵品，则X的数学期望是_解析：依题意，X的所有可能值是0,1,2，
5、P(X0)，P(X1)，P(X2)，E(X)012，所以X的数学期望是答案：8(2020浙江高考)盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止设此过程中取到黄球的个数为，则P(0)_，E()_解析：0表示停止取球时没有取到黄球，所以P(0)随机变量的所有可能取值为0,1,2，则P(1)，P(2)，所以E()0121答案：19为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，某校准备成立一个环境保护兴趣小组该校高二年级有男生400人，女生200人；高三年级有男生100人，女生300人现按男、女用分层随机抽样的方法从高二年级中抽
6、取6人，从高三年级中抽取4人，组成环境保护兴趣小组，再从这10人的兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛(1)设事件A为“选出参加环保知识竞赛的4人中有两个男生、两个女生，而且这两个男生高二、高三年级学生都有”，求事件A发生的概率；(2)用X表示抽取的4人中高三年级女生的人数，求X的分布列及方差解：(1)由题意可得，抽取了高二年级男生4人，女生2人，高三年级男生1人，女生3人所以P(A)(2)X的可能取值为0,1,2,3，P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，所以X的分布列为X0123P所以E(X)0123，所以D(X)2222B级综合应用10如图所示是一个正方体，现将其六面分别都
7、涂红、蓝、黄、白、绿、紫6种颜色放干后，再切割为125个同样大小的正方体，然后放在足够大的容器内均匀搅拌，若从中随机取出一个小正方体记它的涂有颜色面数为X，则X的均值为()ABCD解析：D根据题意正方体内部有33327个小正方体没有被涂上颜色，仅有一面被涂上颜色的有6954个，仅有两个面涂上颜色的有31236个，有三个面涂上共有8个，故随机变量X的可能取值为0,1,2,3于是P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)所以期望为E(X)0123故选D11(多选)p1，随机变量X的分布列如下，则下列结论正确的有()X012Ppp21pp2AP(X2)的值最大BP(X0)，A错误；因为p1，所以
8、pp2p(1p)1p，即P(X0)P(X1)，B正确；E(X)(1p)2p222，因为p1，所以E(X)随着p的增大而增大，C错误，D正确，故选B、D12一个袋中共有10个大小相同的黑球、白球和红球已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，则白球的个数为_；从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为，则随机变量的数学期望E()_解析：设白球的个数为y，从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，则 ，化简得y219y700，解得y5或y14(舍)，由题设知的所有取值是0,1,2,3，P(0)，P(1)，P(2)，P(3)则随机变量的分布列为0
9、123P所以E()23答案：513某投资公司在2023年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由解：若按“项目一”投资，设获利为X1万元，X1的所有可能取值为300，150则X1的分布列为X1300150PE(X1)300(150)200(万元)，D(X1)(
10、300200)2(150200)235 000若按“项目二”投资，设获利X2万元，X2的所有可能取值为500，300,0则X2的分布列为X25003000PE(X2)500(300)0200(万元)，D(X2)(500200)2(300200)2(0200)2140 000E(X1)E(X2)，D(X1)D(X2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥综上所述，建议该投资公司选择项目一投资C级迁移创新14一个射箭运动员在练习时只记射中9环和10环的成绩，未射中9环或10环就以0环记该运动员在练习时射中10环的概率为a，射中9环的概率为b，既未射中9环也未射中10环的概率为c(a，b
11、，c0,1)，如果已知该运动员一次射箭射中环数的期望为9环，则当取最小值时，c的值为_解析：由该运动员一次射箭射中环数的期望为9环，得10a9b9，所以10，当且仅当，即a9b时，取得最小值，解得此时c1ab1答案：15若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0p1)，用随机变量表示A在1次试验中发生的次数(1)求方差D()的最大值；(2)求的最大值解：随机变量的所有可能取值为0,1，并且有P(1)p，P(0)1p，从而E()0(1p)1pp，D()(0p)2(1p)(1p)2ppp2(1)D()pp22，0p1，当p时，D()取得最大值，最大值为(2)2，0p1，2p2当2p，即p时，取等号因此，当p时，取得最大值22
