1、考点测试39两条直线的位置关系与距离公式高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值为5分，中、低等难度考纲研读1.能根据两直线方程判断这两条直线平行或垂直2能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标3掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离一、基础小题1已知直线xa2y60与直线(a2)x3ay2a0平行，则a的值为()A0或3或1B0或3C3或1D0或1答案D解析由题意知13aa2(a2)0，即a(a22a3)0，解得a0或a1或a3，经验证，当a3时，两直线重合故选D.2已知点P(4，a)到直线4x3y10的距离不大于3，则a的取值范围是()A10,10B10,
2、5C5,5D0,10答案D解析由题意得，点P到直线的距离为.又3，即|153a|15，解得0a10，所以a的取值范围是0,103已知直线4xmy60与直线5x2yn0垂直，垂足为(t,1)，则n的值为()A7B9C.11D7答案A解析由直线4xmy60与直线5x2yn0垂直得，202m0，m10.因为直线4x10y60过点(t,1)，所以4t1060，t1.又点(1,1)在直线5x2yn0上，所以52n0，n7.4两直线3axy20和(2a1)x5ay10分别过定点A，B，则|AB|的值为()A.BC.D答案C解析直线3axy20过定点A(0，2)，直线(2a1)x5ay10过定点B，由两点间
3、的距离公式，得|AB|.5若两平行直线l1：x2ym0(m0)与l2：2xny60之间的距离是，则mn()A0B1C.2D1答案C解析因为l1，l2平行，所以1n2(2)，解得n4，所以直线l2的方程为x2y30.又l1，l2之间的距离是，所以，解得m2或m8(舍去)，所以mn2.故选C.6直线axy3a10恒过定点M，则直线2x3y60关于M点对称的直线方程为()A2x3y120B2x3y120C2x3y120D2x3y120答案D解析由axy3a10，可得a(x3)(y1)0，令可得x3，y1，所以M(3,1)，M不在直线2x3y60上，设直线2x3y60关于点M对称的直线方程为2x3yc
4、0(c6)，则，解得c12或c6(舍去)，所以所求方程为2x3y120.故选D.7已知x，y满足x2y50，则(x1)2(y1)2的最小值为()A.BC.D答案A解析(x1)2(y1)2表示点P(x，y)到点Q(1,1)的距离的平方由已知可得点P在直线l：x2y50上，所以|PQ|的最小值为点Q到直线l的距离，即d，所以(x1)2(y1)2的最小值为d2.故选A.8在平面直角坐标系xOy(O为坐标原点)中，不过原点的两直线l1：xmy2m10，l2：mxym20的交点为P，过点O分别向直线l1，l2引垂线，垂足分别为M，N，则四边形OMPN面积的最大值为()A3BC.5D答案D解析将直线l1的
5、方程变形得(x1)m(2y)0，由得则直线l1过定点(1,2)，同理可知，直线l2过定点(1,2)，所以，直线l1和直线l2的交点P的坐标为(1,2)，易知，直线l1l2，如图所示，易知，四边形OMPN为矩形，且|OP|，设|OM|a，|ON|b，则a2b25，四边形OMPN的面积为S|OM|ON|ab，当且仅当即当ab时，等号成立，因此，四边形OMPN面积的最大值为.故选D.9(多选)已知直线l：mxym10，A(1,2)，B(3,4)，则下列结论正确的是()A存在实数m，使得直线l与直线AB垂直B存在实数m，使得直线l与直线AB平行C存在实数m，使得点A到直线l的距离为4D存在实数m，使得
6、以线段AB为直径的圆上的点到直线l的最大距离为答案ABD解析直线l：mxym10，A(1,2)，B(3，4)，直线l的斜率为m，直线AB的斜率为1，故当m1时，直线l与直线AB垂直；当m1时，直线l与直线AB平行，故A，B正确；直线l：mxym10，即m(x1)y10，令求得可得直线经过定点P(1，1)，由于AP3，故点A到直线l的最大距离为3，故C错误；由于A(1,2)，B(3，4)，AB2，故以AB为直径的圆的圆心Q(2,3)，且PQ，圆的半径为，圆心Q到直线l的最大距离为，故以线段AB为直径的圆上的点到直线l的最大距离为，故D正确10(多选)经过点P(0,1)的直线l与两直线l1：x3y
7、100和l2：2xy80分别交于P1，P2两点，且满足2，则()A点P1的坐标为B|P1P2|C点P2的坐标为(7,1)D直线l的方程为y1答案BD解析当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x0，此时直线l与两直线l1：x3y100和l2：2xy80的交点P1，P2的坐标分别为，(0,8)，则，(0,7)，不满足2，故直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为ykx1，则直线l与两直线l1：x3y100和l2：2xy80的交点P1，P2的横坐标分别为，2，02，解得k0，则P1，P2的坐标分别为(7,1)，|P1P2|，直线l的方程为y1.故选BD.11已知a，b为正数，且直线ax
8、by60与直线2x(b3)y50互相平行，则2a3b的最小值为_，此时a_，b_.答案2555解析由两直线互相平行可得a(b3)2b，即2b3aab，1.又a，b为正数，所以2a3b(2a3b)1313225，当且仅当ab5时取等号故2a3b的最小值为25.12. 如图，已知A(2,0)，B(2,0)，C(0，2)，E(1,0)，F(1,0)，一束光线从F点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上(不含端点)，则直线FD的斜率的取值范围为_答案(4，)解析从特殊位置考虑如图，因为点A(2,0)关于直线BC：xy2的对称点为A1(2,4)，所以kA1F4.又点E(1,0)
9、关于直线AC：yx2的对称点为E1(2,1)，点E1(2,1)关于直线BC：xy2的对称点为E2(1,4)，此时直线E2F的斜率不存在，所以kFDkA1F，即kFD(4，)二、高考小题13(2021新高考卷)抛物线y22px(p0)的焦点到直线yx1的距离为，则p()A1B2C.2D4答案B解析抛物线的焦点坐标为，其到直线xy10的距离为d，解得p2(p6舍去)故选B.14(2020全国卷)点(0，1)到直线yk(x1)距离的最大值为()A1BC.D2答案B解析由yk(x1)可知直线过定点P(1，0)，设A(0，1)，当直线yk(x1)与AP垂直时，点A到直线yk(x1)的距离最大，即为|AP
10、|.故选B.15(2020全国卷)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2xy30的距离为()A.BC.D答案B解析由于圆上的点(2,1)在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆至少与一条坐标轴相交，不符合题意，所以圆心必在第一象限设圆心的坐标为(a，a)，a0，则圆的半径为a，圆的标准方程为(xa)2(ya)2a2.由题意可得(2a)2(1a)2a2，可得a26a50，解得a1或a5.所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5)点(1,1)，(5,5)到直线2xy30的距离均为d，所以圆心到直线2xy30的距离为.故选B.16(2019江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，P是曲线yx(x0
11、)上的一个动点，则点P到直线xy0的距离的最小值是_答案4解析解法一：由题意可设P(x00)，则动点P到直线xy0的距离d4，当且仅当2x0，即x0时取等号故所求最小值是4.解法二：设P(x00)，则曲线在点P处的切线的斜率为k1.令11，结合x00得x0，P(，3)，曲线yx(x0)上的动点到直线xy0的最短距离即为此时点P到直线xy0的距离，故dmin4.三、模拟小题17(2022济南模拟)若点P在直线3xy50上，且P到直线xy10的距离为，则点P的坐标为()A(1,2)B(2,1)C(1,2)或(2，1)D(2,1)或(1,2)答案C解析设P(x,53x)，则d，化简得|4x6|2，即
12、4x62，解得x1或x2，故点P的坐标为(1,2)或(2，1)18(2022河北省实验中学高三开学考试)若直线l1：ykxk1与直线l2关于点(2,3)对称，则直线l2一定过定点()A(3,5)B(3，5)C(3,5)D(5,3)答案C解析直线l1：ykxk1可化为y1k(x1)，故一定经过点(1,1)；点(1,1)关于点(2,3)的对称点的坐标为(3,5)，由于直线l1：ykxk1与直线l2关于点(2,3)对称，所以直线l2一定过定点(3,5)故选C.19(2021吉林省梅河口市第五中学月考)已知直线3x2y30和6xmy10互相平行，则它们之间的距离是()A.BC.D答案D解析直线3x2y
13、30和6xmy10互相平行，m4，将直线3x2y30的方程化为6x4y60，则两条平行直线之间的距离d.故选D.20(多选)(2022河北省实验中学高三开学考试)瑞士数学家莱昂哈德欧拉(Leonhard Euler)1765年在其所著的三角形的几何学一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线已知ABC的顶点A(4,0)，B(0,4)，其欧拉线方程为xy20，则顶点C的坐标可以是()A(2,0)B(0,2)C(2,0)D(0，2)答案AD解析设C(x1，y1)，AB的垂直平分线为yx，ABC的欧拉线方程为xy20，与直线yx的交点为M(1,1)，|MC|MA|
14、，(x11)2(y11)210，由A(4,0)，B(0,4)，得ABC的重心为，代入欧拉线方程xy20，得x1y120，由可得x12，y10或x10，y12.故选AD.21(多选)(2021湖南永州高三复习检测)已知三条直线2x3y10,4x3y50，mxy10不能构成三角形，则实数m的可能取值为()A.BC.D答案BCD解析设l1：2x3y10，l2：4x3y50，l3：mxy10，易知l1与l2交于点A，l3过定点B(0，1)因为l1，l2，l3不能构成三角形，所以l1l3或l2l3或l3过点A.当l1l3时，m；当l2l3时，m；当l3过点A时，m，所以实数m的可能取值为，.故选BCD.
15、22(2021安徽四校联考(二)已知入射光线经过点M(3，4)，被直线l：xy30反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为_答案6xy60解析设点M(3,4)关于直线l：xy30的对称点为M(a，b)，则反射光线所在直线过点M，所以解得a1，b0.又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为，即6xy60.23(2022山东省历城二中上学期学情检测)已知mR，动直线l1：xmy10过定点A，动直线l2：mxy2m10过定点B，则B点坐标为_；若直线l1与l2相交于点P(异于点A，B)，则PAB周长的最大值为_答案(2,1)2解析由条件知直线l1过定点A(1,0)，直线
16、l2过定点B(2,1)，所以|AB|，又因为1mm(1)0，所以l1l2，即PAPB，所以|PA|2|PB|2|AB|22，|PA|PB|2 2，当且仅当|PA|PB|1时取等号，所以|PA|PB|AB|2，故PAB周长的最大值为2.24(2021岳阳模拟)已知动直线l：axbyc20(a0，c0)恒过点P(1，m)且Q(4,0)到动直线l的最大距离为3，则m_，的最小值为_答案0解析因为动直线l：axbyc20(a0，c0)恒过点P(1，m)，所以abmc20，设点Q(4,0)到直线l的距离为d，当d|PQ|时取最大值，所以3，解得m0.所以ac2，则(ac)，当且仅当c2a时取等号一、高考
17、大题本考点在近三年高考中未涉及此题型二、模拟大题1(2022陕西榆林质量检测)已知两条不重合的直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的a，b的值(1)l1l2，且直线l1过点(3，1)；(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等解(1)因为l1l2，所以a(a1)b0.又因为直线l1过点(3，1)，所以3ab40.故a2，b2.(2)因为直线l2的斜率存在，且l1l2，所以直线l1的斜率存在所以1a.又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，所以l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即b.联立，可得a2，b2或a，b2.2(2021深圳调研)已知直线l：2x3y10，点
18、A(1，2)求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程；(3)直线l关于点A(1，2)对称的直线l的方程解(1)设A(x，y)，由题意知解得所以A.(2)在直线m上取一点M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M必在直线m上设M(a，b)，则解得M.设直线m与直线l的交点为N，则由得N(4,3)又因为m经过点N(4,3)，所以由两点式得直线m的方程为9x46y1020.(3)设P(x，y)为直线l上任意一点，则P(x，y)关于点A(1，2)的对称点为P(2x，4y)，因为P在直线l上，所以2(2x)3(4y)10，即2x3y90.所以直线l的方程为2x3y90.
