1、共 55 页1第十七讲同角三角函数的基本关系式及诱导公式共 55 页2回归课本共 55 页31.同角三角函数基本关系式平方关系:sin2+cos2=1;商数关系:tan=.sincos共 55 页42.相关角的表示(1)终边与角的终边关于原点对称的角可以表示为+;(2)终边与角的终边关于x轴对称的角可以表示为-(或2-);(3)终边与角的终边关于y轴对称的角可以表示为-;(4)终边与角的终边关于直线y=x对称的角可以表示为-.2共 55 页53.诱导公式(1)公式一sin(+k2)=sin,cos(+k2)=cos,tan(+k2)=tan,其中kZ.(2)公式二sin(+)=-sin,cos
2、(+)=-cos,tan(+)=tan.共 55 页6(3)公式三sin(-)=-sin,cos(-)=cos,tan(-)=-tan.(4)公式四sin(-)=sin,cos(-)=-cos,tan(-)=-tan.共 55 页7(5)公式五,.22sincoscossin共 55 页8(6)公式六,.22sincoscossin 即+k2(kZ),-,的三角函数值,等于的同名函数值,前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号;的正弦(余弦)函数值,分别等于的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号.2共 55 页9总口诀为:奇变偶不变,符号看象限,其中“奇偶”是指“k(kZ)
3、”中k的奇偶性;“符号”是把任意角看作锐角时原函数值的符号.2共 55 页10考点陪练共 55 页111.(2010全国)cos300=()解析:cos300=cos(360-60)=cos60=,故选C.答案:C31.2213.22ABCD12共 55 页12 4,543.3432.sin,ta4.43nABCD若且 是第二象限角 则的值等于22:,cost4311,55454.5n3a3sinsincos 解析为第二象限角答案:A共 55 页13 1,33611.332 32 3.333.sincosABCD已知则的值为共 55 页14,6236231.33:coscossin 解析答案:
4、B共 55 页154.点P(tan2008,cos2008)位于()A.第二象限B.第一象限C.第四象限D.第三象限解析:2008=6360-152,tan2008=-tan152=tan280,cos2008=cos1520,点P在第四象限.答案:C共 55 页16 5.cos2sintan5,11.2.222ABCD 若则等于222225,(51,2 5,55.:sin2sin)1,tan25.cossinsincossincos 解析答案:B共 55 页17类型一 利用同角三角函数基本关系式化简求值解题准备:本考点的试题难度不大,而对公式的应用要求准确灵活,尤其是利用平方关系sin2+c
5、os2=1及其变形形式sin2=1-cos2或cos2=1-sin2进行开方运算时,特别注意符号的判断.如果所给的三角函数值是字母给出的,且没有指定角在哪个象限,那么就需要结合分类讨论的思想来确定其他角的三角函数值.共 55 页18【典例1】(1)已知sin=,且为第二象限角,求tan;(2)已知sin=,求tan;(3)已知sin=m(m0,m1),求tan.1313共 55 页19 222 1sin,costan2sin1,312 211,332.,cos,tan.410,32 221.342.ta4,1nsinsincossin 解为第二象限角为第一或第二象限角当 为第一象限角时当 为第
6、二象限角时 由知共 55 页20(3)sin=m(m0,m1),cos=(当为第一四象限角时取正号,当为第二三象限角时取负号),所以当为第一四象限角时,tan=;当为第二三象限角时,tan=21sin 21m21mm2.1mm共 55 页21反思感悟 本例属同角三角函数关系式的基本题,关键是掌握住“先平方,后作商”的原则,先求与sin的平方关系相联系的cos,再由公式求tan.在(3)中,为第四象限角,但tan=,原因是m此时小于0,所以形式上tan的表达式前面仍不带负号.21mm共 55 页22类型二诱导公式及其应用解题准备:诱导公式起着变名变角变号的作用,应用诱导公式,着眼点应放在“角”上
7、,重点是“函数名称”和“正负号”的判断.求任意角的三角函数值问题,都可以利用诱导公式最终化为锐角三角函数的求值问题,具体步骤是:“化负为正化大为小锐角求值”.共 55 页233()(2)2.()(2,()fsincostancotsin【典例】已知 是第三象限角 且 31,251f;2f;31860,f.coscos 化简若求的值若求的值共 55 页24分析 显然应用到诱导公式,既可以直接从诱导公式中合理选用,也可以直接运用十字诀,一般来说用后一方法记忆负担较轻.共 55 页25 (2)(4)(3)222(2)(2)2 12.f()sincostancotsinsincoscotcoscots
8、in 解 231(3),22551226,6.2sin,sincosf()555coscos 共 55 页26(3)-1860=-2190+30,f(-1860)=-cos(-1860)=-cos(-2190+30)=-sin30=.12共 55 页27反思感悟 如何运用十字诀,可通过下例来体会:设=-且为锐角,则如图所示,可知可看成是第二象限角,而在第二象限中余弦取负号,且k=-3为奇数.cos=cos(-3+)=-sin.3,22共 55 页28类型三sincos与sincos关系的应用解题准备:利用sin2+cos2=1,可以得出如下结论:(sin+cos)2=1+2sincos;(si
9、n-cos)2=1-2sincos;(sin+cos)2+(sin-cos)2=2;(sin+cos)2-(sin-cos)2=4sincos.对于sin+cos,sincos,sin-cos这三个式子,已知其中一个式子的值,可求其余二式的值.共 55 页29【典例3】已知sinx+cosx=,求下列各式的值:(1)sin3x+cos3x;(2)sin4x+cos4x;(3)tan2x+cot2x.1222sinxcosxsinx1,211.221cosxsinxcosx.4 解共 55 页30 33331 sin xcos xsinxcosx3sinxcosx sin1xcos11532;4
10、822x 2442222222 sin xcos xsin xcos x2sin xcos x1 2 sinxcosx117;428 222222223 tan xcot xtanxcot11221621x224.116sin xcos xsinx cosxsin x cos x共 55 页31反思感悟 平方关系sin2x+cos2x=1把sinx+cosx,sinxcosx联系起来,要灵活运用它们之间的变换,熟记立方和公式及和的立方公式.共 55 页32类型四 关于sin与cos的二次齐次式的求值问题解题准备:这类已知某个三角函数值,求其余三角函数值的问题的常规思路是:利用同角间的三角函数关
11、系,求出其余三角函数值,这就需要根据m的取值符号,确定角所在的象限,再对它进行讨论.这样计算相当繁琐,而在这里灵活地运用“1”的代换,将所求值的式子的分子分母同除以cosn,用tann表示出来,从而简化了解题过程,我们应熟练掌握这种解法.更主要的是由此进一步领悟具体问题具体分析的辩证思想方法.共 55 页33 24.2 sinsin cos21,13(1);.tantansincossincos【典例】已知求下列各式的值共 55 页34 1.2133352.1131a12t nsincostansincostan 解由已知得共 55 页35 2222222222222sinsin cos2si
12、nsin cos2 cos3232111321322.5112sinsinsin coscossincostantantan 共 55 页36反思感悟 形如asin+bcos和asin2+bsincos+ccos2的式子分别称为关于sincos的一次齐次式和二次齐次式,对涉及它们的三角式的变换常有如上的整体代入方法可供使用.共 55 页37错源一 忽视隐含的平方关系,扩大解的范围而致错 1sin342,o,552c smmmm【典例】已知其中则下列结论正确的是A.m3,9B.m(-,5)3,+)C.m=0,或m=8D.m=8共 55 页38错解 由已知有解得m0一定要说明.同样,快解法中,得出sin=,cos=也是由(0,)确定的.4535共 55 页55易丢分原因 求sin-cos的过程中,若不考虑(0,),将sin-cos变为是不行的.求方程的根时,若不考虑(0,),会求得sin=,cos=,其结果也是两个值.2()sincos4535
