1、垂直关系一、选择题1已知直线l平面，直线m平面，若，则下列结论正确的是()Al或lBlmCmDlmA直线l平面，则l或l，A正确，故选A2如图，在四面体DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中点，则下列结论正确的是()A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BDCC平面ABC平面BDE，且平面ADC平面BDED平面ABC平面ADC，且平面ADC平面BDEC因为ABCB，且E是AC的中点，所以BEAC，同理有DEAC，于是AC平面BDE因为AC在平面ABC内，所以平面ABC平面BDE又由于AC平面ACD，所以平面ACD平面BDE3在下列四个正方体中，能得出ABCD的是()ABCDA作出AB在
2、CD所在平面的射影，当射影垂直于CD时，就有ABCD，经检验知选A4(2021南宁模拟)在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PAAB2，则直线PB与平面PAC所成角为()ABCDA连接BD，交AC于点O因为PA平面ABCD，底面ABCD是正方形，所以BDAC，BDPA又因为PAACA，所以BD平面PAC，故BO平面PAC连接OP，则BPO即为直线PB与平面PAC所成角又因为PAAB2，所以PB2，BO所以sinBPO，所以BPO故选A5在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()AA1EDC1BA1EBDCA1EBC1 DA1EACC如图，A1E在平
3、面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，选项B，D错误；A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1CBC1，A1EBC1，故选项C正确；(证明：由条件易知，BC1B1C，BC1CE，又CEB1CC，BC1平面CEA1B1又A1E平面CEA1B1，A1EBC1)A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故选项A错误故选C6如图所示，在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90将ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列结论正确的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平
4、面BDCD平面ADC平面ABCD在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，BDCD又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，故CD平面ABD，则CDAB又ADAB，ADCDD，AD平面ADC，CD平面ADC，故AB平面ADC又AB平面ABC，平面ADC平面ABC二、填空题7如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，若该长方体的体积为8，则直线AC1与平面BB1C1C所成的角为_30连接BC1(图略)，由AB平面BB1C1C知AC1B就是直线AC1与平面BB1C1C所成的角由22AA18得AA12，BC12，在RtAC1B中，tanAC1B，AC1B3
5、08四面体PABC中，PAPBPC，底面ABC为等腰直角三角形，ACBC，O为AB中点，请从以下平面中选出两个相互垂直的平面_(只填序号)平面PAB；平面ABC；平面PAC；平面PBC；平面POC(答案不唯一)四面体PABC中，PAPBPC，底面ABC为等腰直角三角形，ACBC，O为AB中点， COAB，POAB，COPOO，AB平面POCAB平面ABC， 平面POC平面ABC，两个相互垂直的平面为9在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2，则点A1到平面AB1D1的距离是_如图，AB1D1中，AB1AD1，B1D1，AB1D1的边B1D1上的高为，S，设A1到平面AB1D1的距离
6、为h；则有ShSAA1，即h2，解得h三、解答题10如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点证明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE证明(1)在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD又ACCD，PAACA，PA，AC平面PAC，CD平面PAC而AE平面PAC，CDAE(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPAE是PC的中点，AEPC由(1)知AECD，且PCCDC，PC，CD平面PCD，AE平面PCD，而PD平面PCD，AEPDPA底面ABCD，AB平面ABCD，PAAB又ABAD，且PAAD
7、A，AB平面PAD，而PD平面PAD，ABPD又ABAEA，AB，AE平面ABE，PD平面ABE11(2021茂名一模)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，点D是AB的中点，BCAC，AB2DC2，AA1(1)求证：平面A1DC平面ABB1A1；(2)求点A到平面A1DC的距离解(1)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，点D是AB的中点，BCAC，CD平面ABC，CDAB，CDAA1，ABAA1A，CD平面ABB1A1，CD平面A1DC，平面A1DC平面ABB1A1(2)由题意，点D是AB的中点，BCAC，AB2DC2，AA1设点A到平面A1DC的距离为d，
8、VV，SACDAA1Sd，1112d，解得d，点A到平面A1DC的距离为1(2021武汉模拟)如图所示，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则点C1在平面ABC上的射影H必在()A直线AB上B直线BC上C直线AC上DABC的内部A连接AC1(图略)，因为ACAB，ACBC1，ABBC1B，所以AC平面ABC1，又AC平面ABC，所以平面ABC1平面ABC，所以点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上，故选A2已知圆锥的顶点为P，母线PA，PB所成角的余弦值为，PA与圆锥底面所成角为60，若PAB的面积为，则该圆锥的体积为_作示意图如图所示，设底面半径为r，PA与圆
9、锥底面所成角为60，则PAO60，则POr，PAPB2r，又PA，PB所成角的余弦值为，则sinAPB，则SPABPAPBsinAPB2r2r，解得r，故圆锥的体积为3(2021郑州模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面四边形ABCD是菱形，点E在线段PC上，PA平面EBD(1)证明：点E为线段PC的中点；(2)已知PA平面ABCD，ABC60，点P到平面EBD的距离为1，四棱锥PABCD的体积为2，求PA解(1)证明：连接AC，与BD相交于点O，连接EO，则经过PA的平面PAC与平面EBD交线为EO因为PA平面EBD，所以PAEO因为四边形ABCD是菱形，所以O为AC的中点，所以EO是PAC
10、的中位线，于是E为线段PC的中点(2)因为PA平面EBD，所以点A到平面EBD的距离等于点P到平面EBD的距离等于1因为PA平面ABCD，所以EO平面ABCD，所以平面EBD平面ABCD，平面EBD平面ABCDBD因为AOBD，所以AO平面EBD，因此AO1因为ABC60，所以四边形ABCD是边长为2的菱形，面积为22sin 602，所以四棱锥PABCD的体积为VPABCD2PA，由2PA2，得PA31(2019全国卷)已知ACB90，P为平面ABC外一点，PC2，点P到ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为_如图，过点P作PO平面ABC于O，则PO为P到平面ABC的距离再
11、过O作OEAC于E，OFBC于F，连接PC，PE，PF，则PEAC，PFBC又PEPF，所以OEOF，所以CO为ACB的平分线，即ACO45在RtPEC中，PC2，PE，所以CE1，所以OE1，所以PO2(2021浙江省诸暨中学月考)九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，在阳马PABCD中，侧棱PD底面ABCD，且PDCD，过棱PC的中点E，作EFPB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE(1)证明：PB平面DEF试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；(2)若平面
12、DEF与平面ABCD所成二面角的大小为，求的值解(1)证明：因为PD底面ABCD，所以PDBC，由底面ABCD为长方形，有BCCD，而PDCDD，所以BC平面PCD而DE平面PCD，所以BCDE又因为PDCD，点E是PC的中点，所以DEPC而PCBCC，所以DE平面PBC而PB平面PBC，所以PBDE又PBEF，DEEFE，所以PB平面DEF由DE平面PBC，PB平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB，DEF，EFB，DFB(2)如图，在平面PBC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ABCD 的交线由(1)知，PB平面DEF，所以PBDG又因为PD底面ABCD，所以PDDG而PDPBP，所以DG平面PBD故BDF是平面DEF与平面ABCD所成二面角的平面角， 设PDDC1，BC，有BD，在RtPDB中，由DFPB， 得DPFFDB， 则tan tanDPF，解得所以故当平面DEF与平面ABCD所成二面角的大小为时，
