1、圆锥曲线中的证明、探索性问题1已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，左、右顶点分别是A1，A2，上顶点为B(0，b)，A1A2B的面积等于2(1)求椭圆C的方程；(2)设点Q(1,0)，P(4，m)，直线PA1，PA2分别交椭圆C于点M，N，证明：M，Q，N三点共线解(1)由离心率为得，由A1A2B的面积为2得，ab2a2b2c2，联立解得，a2，b1，椭圆C的方程为y21(2)记点M，N的坐标分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)注意到A1(2,0)，直线PA1的方程为y(x2)，与椭圆y21联立并整理得(m29)x24m2x4m2360，由2x1得x1，代入直线PA1的方程得y1，即M同理
2、可得NQ(1,0)，由知，M，Q，N三点共线2(2021河南开封高三期末)已知点，都在椭圆C上，点A为椭圆C的上顶点，点F为椭圆C的右焦点(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知直线l的倾斜角为30，且与椭圆C交于M，N两点，问是否存在这样的直线l使得0？若存在，求l的方程；若不存在，说明理由解(1)设椭圆C的方程为mx2ny21，由已知有解得所以椭圆C的标准方程为1(2)由(1)知，A(0，)，F(1,0)，假设存在直线l满足题意，并设l的方程为yxt，M(x1，y1)，N(x2，y2)由 ，得13x28tx12(t23)0，由(8t)241312(t23)0，得t，又因为x1x2，由题意易知点
3、F为AMN的重心，所以x1x2xA3xF，即03，解得t，当t时，不满足t，所以不存在直线l使得03设D是圆O：x2y216上的任意一点，m是过点D且与x轴垂直的直线，E是直线m与x轴的交点，点Q在直线m上，且满足2|EQ|ED|当点D在圆O上运动时，记点Q的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程；(2)已知点P(2,3)，过F(2,0)的直线l交曲线C于A，B两点，交直线x8于点M试判断直线PA，PM，PB的斜率是否依次构成等差数列，并说明理由解(1)设点Q(x，y)，D(x0，y0)，因为2|EQ|ED|，点Q在直线m上，所以x0x，|y0|y|因为点D在圆O：x2y216上运动，所以xy16将代入，可得x216即曲线C的方程为1(2)直线PA，PM，PB的斜率依次构成等差数列，理由如下由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x2)，令x8，得点M的坐标为(8,6k)由消去y，并整理得(4k23)x216k2x16(k23)0设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2，x1x2记直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，从而k1，k2，k3k因为直线AB的方程为yk(x2)，所以y1k(x12)，y2k(x22)，所以k1k232k3把代入，得k1k22k32k1又k3k，所以k1k22k3，于是直线PA，PM，PB的斜率依次构成等差数列
