1、数 学 必修 人教A版新课标导学第四章 圆的方程 4.2 直线、圆的位置关系4.2.2 圆与圆的位置关系1 自主预习学案 2 互动探究学案 3 课时作业学案 自主预习学案观察下面这些生活中常见的图形，感受一下圆与圆之间有哪些位置关系？外离1圆与圆的位置关系：两圆(xa1)2(yb1)2r21(r10)与(xa2)2(yb2)2r22(r20)圆心距 da1a22b1b22，dr1r2两圆_；dr1r2两圆_；|r1r2|dr1r2两圆_；d|r1r2|两圆_；0d|r1r2|两圆_，d0 时为同心圆外切相交内切内含2两圆的公切线条数：当两圆内切时有_公切线；当两圆外切时有_公切线；相交时有_公
2、切线；相离时有_公切线；内含时_公切线一条 三条 两条 四条 无 1圆x2y21与圆x2y22的位置关系是()A相切 B外离 C内含 D相交C解析 圆 x2y21 的圆心 O1(0,0)，半径 r11，圆 x2y22 的圆心 O2(0,0)，半径 r2 2，则 d|O1O2|0，|r2r1|21，d|r2r1|，这两圆的位置关系是内含2(2019山东省泰安市校级月考)若圆x2y22x10y10与圆x2y22x2ym0相交，则m的取值范围是()A(2,39)B(0,81)C(0,79)D(1,79)D解析 将两圆的方程化为标准方程，得(x1)2(y5)225 与(x1)2(y1)2m2.由两圆相
3、交且圆心距离为 4，得|5 m2|45 m2，解得1m79.3若圆x2y2m与圆x2y26x8y110内切，则m_.1或121 解析 圆 x2y2m 的半径 r1 m，圆 x2y26x8y110 的圆心坐标为(3,4)，半径 r26.两圆相内切，两圆心距离 d5，6 m5，或 m65，m1 或 m121.4已知圆 C 与圆 x2y22x0 相外切，并且与直线 x 3y0 相切于点 Q(3，3)，求圆 C 的方程解析 圆心 C(a，b)在过点 Q(3，3)与直线 x 3y0 垂直的直线 y 3x4 3上，b 3a4 3.圆心 C 到 C1(1,0)和 Q(3，3)距离的差为 1，可得a4b0 或
4、a0b4 3.C 的方程为(x4)2y24 或 x2(y4 3)236.互动探究学案命题方向1 两圆位置关系的判断典例 1判断圆 x2y26x70 与圆 x2y26y270 的位置关系解析 解法一：圆 x2y26x70 的圆心为 C1(3,0)，半径 r14，圆 x2y26y270 的圆心为 C2(0，3)，半径为 r26，则两圆的圆心距 d|C1C2|0323023 2，|r1r2|d0，两圆相交规律方法 判断两圆位置关系的方法有两种，一是代数法，看方程组的解的个数，但往往较繁琐，另外须注意方程组有“一个”解与两圆相切不等价；二是几何法，看两圆连心线的长d，若dr1r2，两圆外切；d|r1r
5、2|时，两圆内切；dr1r2时，两圆外离；d|r1r2|时，两圆内含；|r1r2|dr1r2时，两圆相交跟踪练习1(2019山东省济宁市段考)圆A：(x2)2(y1)24与圆B：(x1)2(y3)24的位置关系是()A相交 B外离C外切 D内含B解析 方法一 根据题意，可知圆 A 的半径 r12，圆 B 的半径 r22，圆 A与圆 B 的圆心距 d 21213254，即 dr1r2，故两圆外离方法二 将两圆的方程联立，得方程组x22y124，x12y324，即x2y24x2y10，x2y22x6y60，消去 x2，y2，得 6x8y50.将其代入圆 A(或圆 B)的方程中消去 y，得 100
6、x2100 x1690，所以 100241001690，所以方程无实数解，即两圆相离因为两圆半径相等，所以不会出现内含的情况，故两圆外离实数k为何值时，两圆C1：x2y24x6y120，C2：x2y22x14yk0相交、相切、相离？命题方向2 由圆与圆的位置关系求参数的值或取值范围典例 2解析 将两圆的一般方程化为标准方程，得C1：(x2)2(y3)21，C1：(x1)2(y7)250k.则圆 C1 的圆心为 C1(2,3)，半径 r11；圆 C2 的圆心为 C2(1,7)，半径 r250k，k50.|C1C2|2123725.当 1 50k5，即 k34 时，两圆外切；当|50k1|5，即
7、k14 时，两圆内切；当 14k34 时，4 50k6，则 r2r1|C1C2|r2r1，此时，两圆相交；当 k14 时两圆内含，当 34k50 时，两圆相离规律方法 根据圆与圆的位置关系，利用圆心距与半径的和或差的绝对值的大小关系列出关系式，求出参数的值或取值范围，注意相切和相离均包括两种情况跟踪练习2已知圆C1：x2y22mx4ym250，圆C2：x2y22x2mym230，m为何值时：(1)圆C1与圆C2相外切；(2)圆C1与圆C2内含解析 对于圆 C1 与圆 C2 的方程，经配方后C1：(xm)2(y2)29.圆心 C1(m，2)，半径 r13.C2：(x1)2(ym)24.圆心 C2
8、(1，m)，半径 r22.(1)当两圆相外切时，|C1C2|r1r2，m122m25，m23m100，解得 m5 或 2.(2)当两圆相内含时，0|C1C2|r1r2|，m122m21，m23m20，2m1.已知两圆x2y22x10y240和x2y22x2y80.(1)试判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在的直线方程；(3)求公共弦的长度命题方向3 两圆的公共弦问题典例 3解析(1)将两圆方程配方化为标准方程，C1：(x1)2(y5)250，C2：(x1)2(y1)210.则圆 C1 的圆心为(1，5)，半径 r15 2；圆 C2 的圆心为(1，1)，半径 r2 10.又|C1C2|2 5，
9、r1r25 2 10，r1r25 2 10.r1r2|C1C2|r1r2，两圆相交(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为 x2y40.(3)解法一：两方程联立，得方程组x2y22x10y240 x2y22x2y80 两式相减得 x2y4，把代入得 y22y0，y10，y22.x14y10，或x20y22.交点坐标为(4,0)和(0,2)两圆的公共弦长为 4020222 5.解法二：两方程联立，得方程组x2y22x10y240 x2y22x2y80，两式相减得 x2y40，即两圆相交弦所在直线的方程；由 x2y22x10y240，得(x1)2(y5)250，其圆心为 C1(1，5)，半径
10、r15 2.圆心 C1 到直线 x2y40 的距离d|1254|1223 5，两圆的公共弦长为 2 r2d22 50452 5.规律方法 求两圆公共弦长的方法1代数法：求交点的坐标，利用两点间的距离公式求出公共弦长2几何法：利用圆的半径、公共弦的一半、圆心到弦的垂线段构成的直角三角形，根据勾股定理求出公共弦长跟踪练习3(2019江苏省启东中学期中)圆心在直线xy40上，且经过圆x2y24x60与圆x2y24y60的交点的圆的方程为_.思路点拨 先求出两圆的交点坐标，可以利用圆的几何性质求圆心坐标和半径，也可以利用待定系数法求圆心坐标和半径，进而求得圆的方程；还可以利用圆系方程进行求解(x3)2
11、(y1)216 解析 方法一 由x2y24x60，x2y24y60，解得x11，y11，x23，y23.故圆 x2y24x60 与圆 x2y24x60 的交点为 A(1，1)，B(3,3)，线段 AB 的垂直平分线的方程为 y1(x1)由y1x1，xy40，解得x3，y1.所以所求圆的圆心坐标为(3，1)，半径为 3323124，所以所求圆的方程为(x3)2(y1)216.方法二 同方法一，求得 A(1，1)，B(3,3)，设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，由ab40，1a21b2r2，3a23b2r2，解得a3，b1，r216.所以所求圆的方程为(x3)2(y1)216.方法
12、三 设所求圆的方程为 x2y24x6(x2y24y6)0(1)，其圆心坐标为21，21，代入 xy40，得 13.故所求圆的方程为 x2y26x2y60，即(x3)2(y1)216.等价转化思想在解决与圆有关问题中的应用(1)直线与圆相交、相切、相离等价于 dr.(2)直线与圆相交弦长有关问题常利用 d2(|AB|2)2r2 及|AB|1k2|x1x2|讨论(3)圆过两点 A，B，则圆心在线段 AB 的中垂线上(4)直线平分圆(圆周)等价于直线过圆心，等价于直线是圆的对称轴(5)圆心角最小等价于弦长最短，等价于圆心与弦中点的连线与弦垂直(6)切线长最短等价于点到圆心的距离最小(7)圆面积最大等
13、价于圆的周长最大，等价于圆的半径最大(8)直线与圆有公共点等价于dr，等价于0.(9)直线l与C切于点P，等价于CPl且CPr.(10)过直线l：AxByC0与C：x2y2DxEyF0的交点的圆的方程可设为x2y2DxEyF(AxByC)0.典例 4 求与圆 x2y22x0 外切且与直线 x 3y0 切于点(3，3)的圆的方程思路分析 两圆外切，dr1r2.圆与直线相切于 P，则|PC|r，PC 与直线垂直解析 设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，将 x2y22x0 化为标准形式(x1)2y21，由题意可得 a12b2r1，|a 3b|2r，b 3a3 131.解得a4，b0，r
14、2.或a0，b4 3，r6.故所求圆的方程为(x4)2y24 或 x2(y4 3)236.跟踪练习4(2019湖北省荆州市高二期中)在ABO中，|OB|3，|OA|4，|AB|5，P是ABO的内切圆上的一点，求以|PA|，|PB|，|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值与最小值思路点拨 求三个圆的面积之和的最值实质上是求|PA|2|PB|2|PO|2的最值解析 以 O 为坐标原点，OA，OB 所在直线分别为 x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(4,0)，B(0,3)，O(0,0)设AOB 的内切圆的半径为 r，点 P 的坐标为(x，y)，则 2r|AB|OA|OB|，r1.内
15、切圆的方程为(x1)2(y1)21，即 x2y22y2x1.又|PA|2|PB|2|PO|2(x4)2y2x2(y3)2x2y23x23y28x6y25，将代入，得|PA|2|PB|2|PO|23(2x1)8x252x22.P(x，y)是内切圆上的点，0 x2，|PA|2|PB|2|PO|2 的最大值为 22，最小值为 18.又三个圆的面积之和为|PA|22|PB|22|PO|224(|PA|2|PB|2|PO|2)，故以|PA|，|PB|，|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值为112，最小值为92.求半径为4，与圆(x2)2(y1)29相切，且和直线y0相切的圆的方程两圆的位置有关系考虑
16、不全面致错典例 5错解 由题意知，所求圆的圆心为 C(a,4)，半径为 4，故可设所求圆的方程为(xa)2(y4)216.已知圆(x2)2(y1)29 的圆心为 A(2,1)，半径为 3.由两圆相切，则|CA|437，(a2)2(41)272，解得 a22 10，故所求圆的方程为(x22 10)2(y4)216 或(x22 10)2(y4)216.错因分析 两圆相切可为内切和外切，不要遗漏正解 设所求圆 C 的方程为(xa)2(yb)2r2.由圆 C 与直线 y0 相切且半径为 4，则圆心 C 的坐标为 C1(a,4)或 C2(a，4)已知圆(x2)2(y1)29 的圆心 A 的坐标为(2,1
17、)，半径为 3.由两圆相切，则|CA|437 或|CA|431.当圆心为 C1(a,4)时，(a2)2(41)272 或(a2)2(41)212(无解)，故可得 a22 10，故所求圆的方程为(x22 10)2(y4)216 或(x22 10)2(y4)216.当圆心为 C2(a，4)时，(a2)2(41)272 或(a2)2(41)212(无解)，解得 a22 6.故所求圆的方程为(x22 6)2(y4)216 或(x22 6)2(y4)216.综上所述，所求圆的方程为(x22 10)2(y4)216 或(x22 10)2(y4)216 或(x22 6)2(y4)216 或(x22 6)2(
18、y4)216.警示 两圆相切包括外切与内切，外切时，圆心距等于两圆半径之和，内切时，圆心距等于两圆半径差的绝对值在题目没有说明是内切还是外切时，要分两种情况进行讨论解决两圆相切问题，常用几何法1圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29的位置关系为()A内切 B相交 C外切 D相离B解析 r13，r22，|O1O2|222102 17，r1r2|O1O2|r1r2，所以两圆相交故选 B2若圆C1：x2y21与圆C2：x2y26x8ym0外切，则m()A21 B19 C9 D11C解析 圆 C1：圆心(0,0)，r11，圆 C2：圆心(3,4)，r2 62824m2 25m，因为圆 C1 与圆 C2 外切，所以 3024021 25m，解得 m9.故选 C3两圆 x2y210 与 x2y23x9y20 的公共弦长为_.解析 两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为 x3y10，圆 x2y210 的圆心为(0,0)，半径长为 1，又(0,0)到直线 x3y10 的距离为 110，所以公共弦长为 21 11023 105.3 105课时作业学案
