1、数 学 必修 人教A版新课标导学第三章 直线与方程 3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.3 点到直线的距离3.3.4 两条平行直线间的距离1 自主预习学案 2 互动探究学案 3 课时作业学案 自主预习学案在铁路的附近，有一大型仓库现要修建一条公路与之连接起来，易知从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短将铁路看作一条直线l，仓库看作点P.怎样求得仓库到铁路的最短距离呢？1点到直线的距离公式点 P0(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离 d_.|Ax0By0C|A2B2归纳总结 点到几种特殊直线的距离：(1)点P(x0，y0)到x轴的距离d|y0|；(2)点P(x0，y0)到y轴的距离d|
2、x0|；(3)点P(x0，y0)到直线ya的距离d|y0a|；(4)点P(x0，y0)到直线xb的距离d|x0b|.2两条平行直线间的距离(1)定义：夹在两条平行直线间_的长叫做这两条平行直线间的距离(2)求法：转化为求_的距离，即在其中任意一条直线上任取一点，这点到另一条直线的距离就是这两条平行直线间的距离公垂线段 点到直线(3)公式一般地，已知两条平行直线 l1：AxByC10，l2：AxByC20(C1C2)设P(x0，y0)是直线 l2 上的任意一点，则 Ax0By0C20，即 Ax0By0C2，于是P(x0，y0)到直线 l1：AxByC10 的距离d|Ax0By0C1|A2B2|C
3、1C2|A2B2.此式就是两条平行直线 l1 与 l2 间的距离公式归纳总结(1)使用两条平行直线间的距离公式的前提条件：把直线方程化为直线的一般式方程；两条直线方程中x，y系数必须分别相等(2)求两条平行直线间的距离通常转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，且两平行线间距离与其中一条直线上点的选取无关(3)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决 两直线都与x轴垂直时，l1：xx1，l2：xx2，则d|x2x1|；两直线都与y轴垂直时，l1：yy1，l2：yy2，则d|y2y1|.A1点(1,2)到直线 y2x1 的距离为()A 55 B2 55 C 5 D2 5解析
4、 点(1,2)到直线 y2x1 的距离为 d|221|41 55.2已知两点 A(3,2)和 B(1,4)到直线 mxy30 的距离相等，则 m 为()A0 或12 B12或6C12或12 D0 或12B解析 由题知直线 mxy30 与 AB 平行或过 AB 的中点，则有m4213或 m312 242 30，m12或 m6.3两平行直线 xy20 与 xy30 的距离等于()A5 22 B 22 C5 2 D 2A解析 直线 xy20 与 x 轴的交点是 P(2,0)，点 P 到直线 xy30的距离 d|203|1212 5 22，即这两条平行线间的距离为5 22.4 经 过 点 M(3，2)
5、且 与 原 点 距 离 为 3 的 直 线 l 的 方 程 为_.x30或5x12y390 解析 若直线 l 的斜率存在，设为 k，则 l 的方程为y2k(x3)，即 kxy(3k2)0，由点到直线的距离公式，得|3k2|k213，解得 k 512，故直线 l 的方程为 512xy(542)0即 5x12y390，当直线的斜率不存在时，x3 也符合题意，所求直线方程为 5x12y390 或 x30.互动探究学案命题方向1 点到直线的距离公式典例 1求点 P(3，2)到下列直线的距离(1)y34x14；(2)y6;(3)x4.思路分析 解答本题可先把直线方程化为一般式(特殊直线可以不化)，然后再
6、利用点到直线的距离公式及特殊形式求出相应的距离解析(1)把方程 y34x14写成 3x4y10，由点到直线的距离公式得 d|33421|3242185.(2)解法一：把方程 y6 写成 0 xy60，由点到直线的距离公式得 d|0326|02128.解法二：因为直线 y6 平行于 x 轴，所以 d|6(2)|8.(3)因为直线 x4 平行于 y 轴，所以 d|43|1.规律方法 1.求点到直线的距离，首先要把直线方程化成一般式方程，然后再套用点到直线的距离公式2当点与直线有特殊位置关系时，也可以用公式求解，但是这样会把问题变复杂了，要注意数形结合3几种特殊情况的点到直线的距离：(1)点P0(x
7、0，y0)到直线xa的距离d|x0a|；(2)点P0(x0，y0)到直线yb的距离d|y0b|.跟踪练习 1(2019辽宁省鞍山市高一期末)已知直线 l 在两坐标轴上的截距相等，且点 P(1,3)到直线l的距离为2，则直线l的方程为_.xy0或7xy0或xy20或xy60思路点拨 先设出适当的直线方程，然后根据点到直线的距离公式列出等式，从而求得直线 l 的方程解析 由题意知，若截距为 0，则设所求直线 l 的方程为 ykx(k0)由题意知|k3|k21 2，解得 k1 或7，此时直线 l 的方程为 xy0 或 7xy0.若截距不为 0，则设所求直线 l 的方程为 xya0(a0)由题意知|1
8、3a|2 2，解得 a2 或 a6，此时直线 l 的方程为 xy20或 xy60.综上，所求直线 l 的方程为 xy0 或 7xy0 或 xy20 或 xy60.命题方向2 求两平行直线的距离典例 2(2019山东省烟台市期末)与直线 2xy10 平行，且距离为 2的直线方程为_2xy2 510 或 2xy2 510.思路点拨 思路一 由直线平行设出方程 利用平行线间的距离公式求解思路二 设出直线上任意一点的坐标利用点到直线的距离公式求出直线上的点满足的方程即可解析 方法一 由已知可设所求直线的方程为 2xyC0(C1)，则它与直线 2xy10 的距离为 d|C1|2212|C1|5 2，|C
9、1|2 5，C2 51，故所求直线的方程为 2xy2 510 或 2xy2 510.方法二 设 P(x，y)为所求直线上任意一点，则点 P 到直线 2xy10 的距离 d|2xy1|2212|2xy1|52，即 2xy12 5，故所求直线的方程为 2xy2 510 或 2xy2 510.规律方法 1.求两平行直线间距离的两种思路：(1)转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离(2)利用两条平行直线间距离公式 d|C1C2|A2B2.2当两直线都与 x 轴(或 y 轴)垂直时，可利用数形结合来解决(1)两直线都与 x 轴垂直时，l1：xx1，l2：xx2，则 d|x2x1|；(2)两直线
10、都与 y 轴垂直时，l1：yy1，l2：yy2，则 d|y2y1|.跟踪练习 2(2019益阳高一检测)直线 2x3y10 与 4xmy70 平行，则它们之间的距离为()A4 B2 1313 C5 1326 D7 1020C解析 由题意，得 2m340，m6.故两直线 2x3y10 与 4x6y70 的距离 d|172|22325 1326.一、数形结合思想两互相平行的直线分别过A(6,2)、B(3，1)，并且各自绕着A、B旋转，如果两条平行线间的距离为d.(1)求d的变化范围；(2)求当d取得最大值时的两条直线方程空间典例 3解析 解法一：(1)设两条直线方程分别为ykxb1 和 ykxb2
11、，则26kb113kb2，即b126kb23k1.而 d|b2b1|1k2|9k3|1k2，两边平方整理得即(81d2)k254k9d20，由于 kR，所以 5424(81d2)(9d2)0，整理得 4d2(d290)0，0d3 10.(2)因 d3 10时，k54819023，故两直线方程分别为 3xy200 和 3xy100.解法二：(1)由图形可知，当两平行线均与线段 AB 垂直时，距离 d|AB|3 10最大，当两直线都过 A、B 点时距离 d0 最小，但平行线不能重合0d3 10.(2)两直线方程分别是：3xy200 和 3xy100.规律方法 上面我们用两种思路作了解答，不难发现解
12、法二比解法一简捷的多，这足以显示数形结合的威力，在学习解析几何过程中，一定要有意识的往形上联系，以促进数形结合能力的提高和思维能力的发展跟踪练习3若A(1,4)、B(3,1)，过点B的直线l与点A的距离为d.(1)d的取值范围为_；(2)当d取最大值时，直线l的方程为_；(3)当d4时，直线l的方程为_.0,5 4x3y90 7x24y30 解析(1)用数形结合法容易得到，当直线 lAB 时，d 取最大值，当 l 经过A、B 时，d 取最小值，0d5.(2)当 d5 时，kl 1kAB，kAB411334，直线 l 的方程 y143(x3)，即：4x3y90.(3)设 l：y1k(x3)，即：
13、kxy3k10，由 A(1,4)到 l 距离为 4 知|k43k1|1k24，k 724，当斜率 k 不存在时，x3 也满足题意故所求直线方程为：7x24y30.二、对称问题(关于 x，y 的二元方程可记作 f(x，y)0)1中心对称，由中点坐标公式知，点 A(x0，y0)关于点 P(m，n)的对称点坐标为(2mx0,2ny0)，所以曲线(直线)f(x，y)0 关于点 P(m，n)对称的曲线(直线)方程为 f(2mx,2ny)0，特别地，点 P(x0，y0)关于原点的对称点为(x0，y0)2轴对称：(1)点关于直线的对称点的求法点 P(x，y)关于直线 AxByC0 的对称点 P0(x0，y0
14、)，满足关系Axx02Byy02C0，yy0 xx0BA，解方程组可得点 P0的坐标其中主要抓两个关键点：一是两对称点的中点在对称轴上；二是两对称点连线与轴垂直(2)特殊的轴对称问题点P(x0，y0)关于x轴、y轴，xm、yn、yx、yx、yxm、yxn的对称点的坐标依次为(x0，y0)、(x0，y0)、(2mx0，y0)、(x0,2ny0)、(y0，x0)、(y0，x0)、(y0m，x0m)、(y0n，x0n)，于是曲线(直线)f(x，y)0关于x轴、y轴、xm、yn、yx、yx、yxm、yxn对称的曲线(直线)方程依次为：f(x，y)0、f(x，y)0、f(2mx，y)0、f(x,2ny)
15、0、f(y，x)0、f(y，x)0、f(ym，xm)0、f(yn，xn)0.光线通过点A(2,3)在直线l：xy10上反射，反射光线经过点B(1,1)，则反射光线所在直线的方程为_.思路分析 点A关于直线l的对称点A在反射光线所在直线上，又反射光线通过点B，则反射光线所在直线为AB典例 44x5y10 解析 点 A(2,3)关于 l：xy10 的对称点 A坐标 x314，y213，即 A(4，3)由题意反射光线所在直线为 ABkAB131445，直线方程为 y145(x1)，整理得 4x5y10.跟踪练习4直 线 2x y 1 0 关 于 直 线 x y 2 0 对 称 的 直 线 方 程 为
16、_.x2y30 已知直线l过点A(1,2)，且原点到直线l的距离为1，求直线l的方程求直线方程时，忽略斜率不存在的情况典例 5错解 由题意设 l 的方程为 y2k(x1)，即 kxyk20.因为原点到直线 l 的距离为 1，所以|k2|k21 1，解得 k34.所以所求直线 l 的方程为 y234(x1)，即 3x4y50.错因分析 符合题意的直线有两条，错解中忽略了斜率不存在的情况，从而只得到了一条直线正解 当直线 l 过点 A(1,2)且斜率不存在时，直线 l 的方程为 x1，原点到直线 l 的距离为 1，满足题意当直线 l 过点 A(1,2)且斜率存在时，由题意设直线 l 的方程为 y2
17、k(x1)，即 kxyk20.因为原点到直线 l 的距离为 1，所以|k2|k21 1，解得 k34.所以所求直线 l 的方程为 y234(x1)，即 3x4y50.综上所述，所求直线 l 的方程为 x1 或 3x4y50.警示 应用直线方程时，各种直线方程的适用条件要清楚B1(2019安溪高一检测)若点 P(x，y)在直线 xy40 上，O 为原点，则|OP|的最小值是()A 10 B2 2 C 6 D2解析|OP|的最小值即为点 O 到直线 xy40 的距离，由点到直线的距离公式，得 d|4|12122 2.2平行直线 l1：3xy0 与 l2：3xy 100 的距离等于()A1 B0 C
18、 10 D3A解析 d|0 10|32121.3已知点 M(1,4)到直线 l：mxy10 的距离等于 1，则实数 m 等于()A34 B34 C43 D43C解析 由题意得|m41|m21 1，解得 m43.4求点P0(1,2)到下列直线的距离：(1)2xy100;(2)x2;(3)y10.解析(1)由点到直线的距离公式知d|21210|22121052 5.(2)解法一：直线方程化为一般式为 x20.由点到直线的距离公式d|1022|12023.解法二：直线 x2 与 y 轴平行，由右图知 d|12|3.(3)解法一：由点到直线的距离公式得d|1021|02121.解法二：直线 y10 与 x 轴平行，由下图知 d|21|1.课时作业学案
