1、集合与常用逻辑用语基础知识要记牢1集合(1)集合的运算性质：ABAB A；ABBB A；A BUA UB.(2)子集、真子集个数计算公式：对于含有 n 个元素的有限集合 M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 2n，2n1，2n1，2n2.2四种命题及其相互关系(1)(2)互为逆否命题的两命题同真同假3含有逻辑联结词的命题的真假(1)命题 pq：若 p、q 中至少有一个为真，则命题为真命题，简记为：一真则真(2)命题 pq：若 p、q 中至少有一个为假，则命题为假命题，p、q 同为真时，命题才为真命题，简记为：一假则假，同真则真(3)命题綈 p 与命题 p 真假相反4全称命题、特
2、称命题及其否定(1)全称命题 p：xM，p(x)，其否定为特称命题綈 p：x0M，綈 p(x0)(2)特称命题 p：x0M，p(x0)，其否定为全称命题綈 p：xM，綈 p(x)5充分条件和必要条件(1)若 pq 且 q/p，则称 p 是 q 的充分不必要条件；(2)若 p/q 且 qp，则称 p 是 q 的必要不充分条件；(3)若 pq，则称 p 是 q 的充要条件；(4)若 p/q 且 q/p，则称 p 是 q 的既不充分也不必要条件易错易混要辨明1集合的元素具有确定性、互异性和无序性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性针对练 1 设集合 A4，2a1，a2，B9，a5，1a，
3、若 AB9，则实数 a_解析：由 AB9，知 9A.当 2a19 时，a5，检验不符合要求，舍去；当 a29 时，a3 或 a3，检验 a3 不符合要求故 a3.答案：32描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义，抓住集合的代表元素如：x|ylg x表示函数的定义域；y|ylg x表示函数的值域；(x，y)|ylg x表示函数图象上的点集针对练 2 集合 Ax|xy1，B(x，y)|xy1，则 AB_答案：3遇到 AB时，你是否注意到“极端”情况：A或 B；同样在应用条件 ABBABAA B 时，不要忽略 A的情况针对练 3 设集合 Ax|x25x60，集合 Bx|mx10，若 ABB，则实数
4、m 组成的集合是_解析：由题意知 A2，3，又 ABB，所以 B A.当 m0 时，B，显然成立；当 m0 时，B1m 2，3，所以1m2 或1m3，即 m12或13.故 m 组成的集合是0，12，13.答案：0，12，134对于含有 n 个元素的有限集合 M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 2n，2n1，2n1，2n2.针对练 4 满足1，2，M 1，2，3，4，5，6的集合 M 的个数为_解析：满足条件的集合 M 有1，2，3，4，1，2，3，5，1，2，3，6，1，2，3，4，5，1，2，3，4，6，1，2，3，5，6，1，2，3，4，5，6，共 7 个答案：75注重数
5、形结合在集合问题中的应用，列举法常借助 Venn 图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意能否取到端点值针对练 5 已知全集 IR，集合 Ax|y 1x，集合 Bx|0 x2，则(IA)B等于_解析：由题意知 Ax|y 1xx|x1，IAx|x1，(IA)Bx|x1x|0 x2x|x0答案：0，)6“否命题”是对原命题“若 p，则 q”既否定其条件，又否定其结论；而“命题 p 的否定”即：非 p，只是否定命题 p 的结论针对练 6 命题“若 xy1，则 x，y 互为倒数”的否命题为_；命题的否定为_答案：否命题：若 xy1，则 x，y 不互为倒数命题的否定：若 xy1，则 x，y 不互
6、为倒数7要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是 B”是指 B 能推出 A，且 A 不能推出 B；而“A 是 B 的充分不必要条件”则是指 A 能推出 B，且 B 不能推出 A.针对练 7 设集合 M1，2，Na2，则“a1”是“N M”的_条件解析：当 a1 时，N1 M；反之当 N M 时，a21 或 a22，即 a1，1，2，2.故 a1 是 M N 的充分不必要条件答案：充分不必要8要注意全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题如对“a，b 都是偶数”的否定应该是“a，b 不都是偶数”，而不应该是“a，b 都是奇数”求参数范围时，常与补集思想联合应用，即体现了正难则反思想针对
7、练 8 若存在 a1，3，使得不等式 ax2(a2)x20 成立，则实数 x 的取值范围是_解析：不等式即(x2x)a2x20，设 f(a)(x2x)a2x2.研究“任意 a1，3，恒有 f(a)0”则f（1）0，f（3）0，解得 x1，23.则实数 x 的取值范围是(，1)23，.答案：(，1)23，查缺补漏不可少1若全集 U1，2，3，4，5，6，M1，4，N2，3，则集合(UM)N 等于()A2，3 B2，3，5，6C1，4 D1，4，5，6解析：选 A 由题意可得：UM2，3，5，6，(UM)N2，32“x0”是“ln(x1)0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既
8、不充分也不必要条件解析：选 B 设命题 p：x0，命题 q：ln(x1)0，x11，所以1x0，即命题 q 为1x2 或 x0，所以 A(RB)x|3x04已知命题 p：xR，使得 x1x0，下列命题为真的是()ApqB(綈 p)qCp(綈 q)D(綈 p)(綈 q)解析：选 A 对于命题 p：取 x1，则 x1x22，所以命题 p 是真命题，则綈 p是假命题；对于 q，1430 解集为 R，所以命题 q 是真命题，命题綈 q 是假命题，所以 pq 为真命题5命题“函数 f(x)，g(x)定义在 R 上，h(x)f(x)g(x)，如果 f(x)，g(x)均为奇函数，则 h(x)为偶函数”的逆命
9、题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是()A0 B1 C2 D3解析：选 B 由 f(x)，g(x)均为奇函数可得 h(x)f(x)g(x)为偶函数，反之则不成立，如h(x)x2 是偶函数，但函数 f(x)x2x21，g(x)x21 都不是奇函数，故其逆命题不正确，其否命题也不正确，只有其逆否命题正确6已知 f(x)3sin xx，命题 p：x0，2，f(x)0Dp 是真命题，綈 p：x00，2，f(x0)0解析：选 D 因为 f(x)3cos x，所以当 x0，2 时，f(x)0，函数 f(x)单调递减，所以对 x0，2，f(x)f(0)0 恒成立，所以 p 是真命题，又全称命题的否定是特称
10、命题，所以选 D.7已知集合 UR，Ax|x2y241，By|yx1，xA，则(UA)(UB)_解析：Ax|1x11，1，By|yx1，xA0，2，(UA)(UB)U(AB)(，1)(2，)答案：(，1)(2，)8已知命题 p：函数 yloga(12x)在定义域上单调递增；命题 q：不等式(a2)x22(a2)x40 对任意实数 x 恒成立，若 pq 是真命题，则实数 a 的取值范围为_解析：命题 p：函数 yloga(12x)在定义域上单调递增，0a1.又命题 q：不等式(a2)x22(a2)x40 对任意实数 x 恒成立，a2 或a20，4（a2）216（a2）0，即2a2.pq 是真命题
11、，a 的取值范围是20，条件 q：xa，且綈 p 是綈 q 的充分不必要条件，则 a 的取值范围为_解析：由 x22x30 可得 x1 或 x0 且 a1，b0 且 b1，M0，N0)4指数函数与对数函数的对比表解析式yax(a0 且 a1)ylogax(a0 且 a1)图象定义域R(0，)值域(0，)R单调性0a1 时，在 R 上是减函数；a1 时，在 R 上是增函数0a1 时，在(0，)上是减函数；a1 时，在(0，)上是增函数对称性关于直线 yx 对称5.方程的根与函数的零点(1)方程的根与函数零点的关系：由函数零点的定义，可知函数 yf(x)的零点就是方程 f(x)0 的实数根，也就是
12、函数 yf(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标所以，方程 f(x)0 有实数根函数 yf(x)的图象与 x轴有交点函数 yf(x)有零点(2)函数零点的存在性：如果函数 yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且 f(a)f(b)0 且 a1)；(ex)ex；(logax)1xln a(a0 且 a1)；(ln x)1x.(2)导数的四则运算：(uv)uv；(uv)uvuv；uv uvuvv2(v0)7导数与极值、最值(1)函数 f(x)在 x0 处的导数 f(x0)0 且 f(x)在 x0 附近“左正右负”f(x)在 x0 处取极大值；函数 f(x)在 x0 处的导数 f(x0
13、)0 且 f(x)在 x0 附近“左负右正”f(x)在 x0 处取极小值(2)函数 f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极值与其端点值中的“最大值”；函数 f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极值与其端点值中的“最小值”易错易混要辨明1求函数的定义域，关键是使含自变量 x 的代数式有意义，从而列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根、被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏对抽象函数，只要对应法则相同，括号里整体的取值范围就完全相同针对练 1(1)函数 ylog12x2的定义域是_(2)若函数 yf(x)的定义域为0，)，则函
14、数 yf(2x1)的定义域为_解析：(1)要使函数有意义，则x0，log12x20，解之得 00，|x2|20得定义域为(1，0)(0，1)，f(x)lg（1x2）（x2）2lg（1x2）x.f(x)f(x)，f(x)为奇函数答案：奇4弄清函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反(2)若 f(x)为偶函数，则 f(x)f(x)f(|x|)(3)若奇函数 f(x)的定义域中含有 0，则必有 f(0)0.故“f(0)0”是“f(x)为奇函数”的既不充分也不必要条件针对练 4 设 f(x)lg21xa
15、 是奇函数，且在 x0 处有意义，则该函数的单调递增区间为_解析：由题意可知 f(0)0，即 lg(2a)0，解得 a1，故 f(x)lg1x1x，函数 f(x)的定义域是(1，1)，在此定义域中，f(x)lg1x1xlg(1x)lg(1x)，函数 y1lg(1x)是增函数，函数 y2lg(1x)是减函数，故 f(x)y1y2 是增函数答案：(1，1)5用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题针对练 5 已知 f(cos x)sin2x，则 f(x)_解析：令 tcos x，且 t1，1，则 f(t)1t2，t1，1，即 f(x)1x2，x1，1答案：1x2，x1，16分段
16、函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应法则的函数，它是一个函数，而不是几个函数针对练 6 已知函数 f(x)ex，x0，则 ff 1e_解析：f 1e ln1e1，ff 1ef(1)e11e.答案：1e7函数 f(x)ax2bxc 有且只有一个零点，要注意讨论 a 是否为零针对练 7 函数 f(x)mx22x1 有且仅有一个正实数零点，则实数 m 的取值范围为_解析：当 m0 时，x12为函数的零点当 m0 时，若 44m0，即当 m1 时，x1 是函数唯一的零点若 44m0，即 m1 时，显然 x0 不是函数的零点这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程 f(x)mx22x
17、1 有一个正根一个负根因此 mf(0)0.m0，412a0，解得 a13.a13时，f(x)(x1)20，且只有 x1 时，f(x)0，a13符合题意答案：13，9导数为零的点并不一定是极值点，例如函数 f(x)x3，有 f(0)0，但 x0 不是极值点针对练 9 函数 f(x)14x413x3 的极值点是_解析：f(x)x3x2，由 f(x)0 得 x0 或 x1.显然 f(x)在(，0)，(0，1)上为减函数，在(1，)上为增函数，所以 f(x)存在极小值点 x1.答案：x110求曲线的切线方程时，要注意题目条件中的已知点是否为切点针对练 10 抛物线 f(x)x2 过点 P52，6 的切
18、线方程为_解析：设此切线过抛物线上的点(x0，x20)由导数的几何意义知，此切线的斜率为 2x0.又因为此切线过点 P(52，6)和点(x0，x20)，所以x206x0522x0，即 x205x060，解得 x02 或x03，即切线过抛物线 yx2 上的点(2，4)或点(3，9)，所以切线方程为 y44(x2)和 y96(x3)，即 4xy40 和 6xy90.答案：4xy40 和 6xy90查缺补漏不可少1下列函数中既是偶函数，又在(，0)上单调递增的是()Ayx43Byx3Cyx2Dyx13解析：选 C yx43在(，0)上单调递减，故 A 错误；yx3，yx13不是偶函数，故B，D 错误
19、2函数 f(x)axloga(x1)在0，1上的最大值和最小值之和为 a，则 a 的值为()A.14B.12C2 D4解析：选 B 当 a1 时，aloga21a，loga21，所以 a12，与 a1 矛盾；当 0a1时，1aloga2a，loga21，所以 a12.3函数 ylog12(x22x)的单调递减区间是()A(，1)B(1，)C(2，)D(，0)解析：选 C 因为函数的定义域是(，0)(2，)，再由复合函数的单调性可知，原函数的递减区间即为函数 g(x)x22x 的递增区间，也即为(2，)4设 f(x)是定义在实数集上的函数，且 f(2x)f(x)，若当 x1 时，f(x)ln x
20、，则有()Af 13 f(2)f 12Bf 12 f(2)f 13Cf 12 f 13 f(2)Df(2)f 12 f 13解析：选 C 由 f(2x)f(x)可知函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称，所以 f 12 f 32，f 13 f 53，又当 x1 时，f(x)ln x，单调递增，所以 f 32 f 53 f(2)，即 f 12 f 13 4，若函数 yf(x)在区间(a，a1)上单调递增，则实数 a的取值范围是()A(，1 B1，4C4，)D(，14，)解析：选 D 如图，画出 f(x)x24x，x4，log2x，x4的图象，若使函数 yf(x)在区间(a，a1)上单调递增，则
21、 a12 或 a4，解得实数 a 的取值范围是(，14，)6若关于 x 的方程 ax1x23 的正实数解有且仅有一个，则实数 a 的取值范围是()A(，0)B(，02C0，)D0，)2解析：选 B 在直角坐标系中作出 y1x2的图象，如图所示，易知当 a0 时，直线 y3ax 与 y1x2的图象在第一象限只有一个交点；当 a2 时，易知直线 y32x 与 y1x2的图象在第一象限内只有一个交点(1，1)7已知 f(x)是定义在0，2 上的函数，f(x)是它的导函数，且恒有 f(x)2f 3Bf(1)f 4D.3f 6 f 3解析：选 D 因为 f(x)0，所以f（x）sin xf（x）sin
22、xf（x）cos xsin2x0，所以函数f（x）sin x 在0，2 上单调递增，从而f 6sin6f 3sin3，即 3f 60，则 f(f(2)_解析：f(2)log1221，所以 f(f(2)f(1)(1)212.答案：29设 f(x)是周期为 2 的奇函数，当 0 x1 时，f(x)2x(1x)，则 f52 _解析：因为 f(x)是奇函数，且当 0 x1 时，f(x)2x(1x)，所以当1x0 时，0 x1，f(x)2x(1x)f(x)，即 f(x)2x(1x)又 f(x)的周期为 2，所以 f52 f212 f12 212 1212.答案：1210若函数 f(x)ax33x2x 恰
23、好有三个单调区间，则实数 a 的取值范围是_解析：由题意知，f(x)3ax26x1，由函数 f(x)恰好有三个单调区间，得 f(x)有两个不相等的零点，3ax26x10 满足 a0，且 3612a0，解得 a3，实数 a 的取值范围是(3，0)(0，)答案：(3，0)(0，)11已知 a1xx ln x 对任意 x12，2 恒成立，则 a 的最大值为_解析：令 f(x)1xx ln x，则 f(x)x1x2，当 x12，1 时，f(x)0，f(x)在12，1 上单调递减，在1，2上单调递增，f(x)minf(1)0，a0.答案：012已知函数 f(x)xln x，g(x)(x2ax3)ex(a
24、 为实数)(1)当 a5 时，求函数 yg(x)在 x1 处的切线方程；(2)求 f(x)在区间t，t2(t0)上的最小值；(3)若存在两个不等实根 x1，x21e，e，使方程 g(x)2exf(x)成立，求实数 a 的取值范围解：(1)当 a5 时，g(x)(x25x3)ex，g(1)e.g(x)(x23x2)ex，故切线的斜率为 g(1)4e.所以切线方程为：ye4e(x1)，即 y4ex3e.(2)f(x)ln x1，当 x 变化时 f(x)，f(x)的变化情况如下表：x0，1e1e1e，f(x)0f(x)单调递减极小值(最小值)单调递增当 t1e时，在区间t，t2上 f(x)为增函数，
25、所以 f(x)minf(t)tln t.当 0t1e时，在区间t，1e 上 f(x)为减函数，在区间1e，t2 上 f(x)为增函数，所以 f(x)minf 1e 1e.(3)由 g(x)2exf(x)，可得 2xln xx2ax3，ax2ln x3x，令 h(x)x2ln x3x，则 h(x)12x3x2（x3）（x1）x2.当 x 变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表：x1e，11(1，e)h(x)0h(x)单调递减极小值(最小值)单调递增h 1e 1e3e2，h(1)4，h(e)3ee2，h(e)h 1e 42e2e0，0)4两组三角公式(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin
26、()sin cos cos sin.cos()cos cos sin sin.tan()tan tan 1tan tan .辅助角公式：asin bcos a2b2sin()(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin cos.cos 2cos2sin22cos2112sin2.降幂公式 sin21cos 22，cos21cos 22.tan 2 2tan 1tan2.5正弦定理asin A bsin B csin C2R(2R 为 ABC 外接圆的直径)变形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；sin A a2R，sin B b2R，sin C c2R；abcsin
27、 Asin Bsin C.6余弦定理a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C.推论：cos Ab2c2a22bc，cos Ba2c2b22ac，cos Ca2b2c22ab.7面积公式S ABC12bcsin A12acsin B12absin C.8平面向量的两个充要条件若两个非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(1)abab(b0)x1y2x2y10.(2)abab0 x1x2y1y20.9平面向量的三个性质(1)若 a(x，y)，则|a|aa x2y2.(2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|（x2x1）2（y2
28、y1）2.(3)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，为 a 与 b 的夹角，则 cos ab|a|b|x1x2y1y2x21y21x22y22.(4)|ab|a|b|.10三点共线的判定三个点 A，B，C 共线，共线；向量中三终点 A，B，C 共线存在实数，使得，且1.11三角形“四心”向量形式的充要条件设 O 为ABC 所在平面上一点，角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，则易错易混要辨明1当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决，机械地使用三角函数的定义就会出现错误针对练 1 已知角 的终边经过点 P(3，b)，且 cos 35，则 sin _解析：cos 35，
29、3（3）2b235，b4，sin 45.答案：452在解决三角问题时，应明确正切函数的定义域，正弦函数、余弦函数的有界性针对练 2 已知 sin xsin y13，则 sin ycos2x 的最大值为_解析：sin xsin y13，sin y13sin x.又1sin y1，113sin x1，即23sin x1，sin ycos2 x13sin x(1sin2 x)23sin xsin2 xsin x1221112.又 sin x23，1，当 sin x23时，取最大值49.答案：493求 yAsin(x)的单调区间时，要注意，A 的符号0 时，应先利用诱导公式将 x 的系数转化为正数后再
30、求解；在书写单调区间时，不能弧度和角度混用，需加 2k时，不要忘掉 kZ，所求区间一般为闭区间针对练 3 函数 f(x)2sin3x 的单调递减区间为_解析：由 f(x)2sin3x 2sinx3，令22kx322k，则62kx56 2k，kZ.函数 f(x)2sin3x 的单调递减区间为62k，56 2k，kZ.答案：62k，56 2k，kZ4由于相位变换和周期变换是相对于 x 而言的，所以处理图象变换问题时务必注意图象的变换顺序针对练 4 要得到 ysin(3x)的图象，需将 y 22(cos 3xsin 3x)的图象向_平移_个单位(写出其中的一种特例即可)解析：y 22(cos 3xs
31、in 3x)sin43x sin3(x 12)，要由 ysin3x 12得到 ysin(3x)只需对 x 加上 12即可，因而是将 y 22(cos 3xsin 3x)向左平移 12个单位答案：左 125对三角函数的给值求角问题，应选择该角所在范围内是单调函数，这样，由三角函数值才可以唯一确定角，若角的范围是0，2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围是2，2，选正弦较好针对练 5 若，为锐角，且 sin 55，sin 1010，则 _解析：，为锐角，sin 55，sin 1010，cos 2 55，cos 3 1010，cos()cos cos sin sin 2 5
32、5 3 1010 55 1010 22.又 0Bsin Asin B.针对练 6 在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a1，c 3，A6，则 b_解析：由 asin Acsin C，得 sin Ccsin Aa 32，得 C3或23.当 C3时，B2，可得 b2；当 C23 时，B6，此时 b1.答案：2 或 17要特别注意零向量带来的问题：0 的模是 0，方向任意，并不是没有方向；0 与任意非零向量平行；00(R)，而不是等于 0；0 与任意向量的数量积等于 0，即 0a0；但不说 0 与任意非零向量垂直当 ab0 时，不一定得到 ab，当 ab 时，ab0；ab
33、cb，不能得到 ac，消去律不成立；(ab)c 与 a(bc)不一定相等；(ab)c 与 c 平行，而 a(bc)与 a 平行针对练 7 下列叙述错误的是_若 ab，bc，则 ac.若非零向量 a 与 b 方向相同或相反，则 ab 与 a 或 b 之一的方向相同|a|b|ab|a 与 b 方向相同向量 b 与向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数，使得 ba.若 ab，则 ab.解析：这六个命题都是错误的，因为对于，当 b0 时，a 不一定与 c 平行；对于，当 ab0 时，其方向任意，它与 a、b 的方向都不相同；对于，当 a、b 之一为零向量时结论不成立；对于，当 a0 且 b0 时，
34、有无数个值；当 a0 但 b0 时，不存在对于，由于两个向量之和仍是一个向量，所以0.对于，当 0 时，不管 a 与 b 的大小与方向如何，都有 ab，此时不一定有 ab.答案：8两向量夹角的范围为0，向量的夹角为锐角与向量的数量积大于 0 不等价针对练 8 已知(x，2x)，(3x，2)，如果BAC 为钝角，则 x 的取值范围是_解析：由BAC 为钝角知，0，且与不共线，即3x24x43或x0，0，|2)的图象，则其解析式是_解析：依题意，A3，T，故 2T 2，故 f(x)3sin(2x)因为 f12 3，故3sin6 3，即622k(kZ)，故 32k(kZ)，因为|2，故 3，所以 f
35、(x)3sin2x3.答案：f(x)3sin2x39已知平面向量 a 与 b 的夹角等于3，如果(a2b)(2a3b)137，|a|2，那么|b|_解析：由(a2b)(2a3b)2|a|26|b|2ab86|b|22|b|12137，整理得 6|b|2|b|1450，解得|b|5(舍负)答案：510在 ABC 中，B60，b 3，则acb 的取值范围是_，ac 的取值范围是_解析：由题意及正弦定理知：acb sin Asin Csin B 23sin Asin(120A)23(32sin A 32 cos A)2sin(A30)又 0A120，即 30A30150，12sin(A30)1，则1
36、0，那么数列logaan(a0 且 a1)必成等差数列(3)如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原来两个等差数列的公差的最小公倍数7不等式的性质(1)ab，bcac；(2)ab，c0acbc；ab，c0acbc；(3)abacbc；(4)ab，cdacbd；(5)ab0，cd0acbd；(6)ab0，nN，n1anbn，n an b.8简单分式不等式的解法(1)f（x）g（x）0f(x)g(x)0，f（x）g（x）0f(x)g(x)0.(2)f（x）g（x）0f（x）g（x）0，g（x）0，f（x）g（x）0f（x）g（x）0，g（x）
37、0.(3)对于形如f（x）g（x）a(a)的分式不等式要采取：移项通分化乘积的方法转化为(1)或(2)的形式求解9一元二次不等式的恒成立问题(1)ax2bxc0(a0)恒成立的条件是a0，0.(2)ax2bxc0)同侧(或异侧)(A1x0B1y0C1)(A2x0B2y0C2)0(或0)易错易混要辨明1已知前 n 项和 Sna1a2a3an，则 anS1（n1），SnSn1（n2）.由 Sn 求 an 时，易忽略 n1 的情况针对练 1 已知数列an的前 n 项和 Snn21，则 an_解析：当 n1 时，a1S12；当 n2 时，anSnSn1(n21)(n1)21n2(n1)22n1，又 2
38、1112.an2，n1，2n1，n2.答案：2，n1，2n1，n22易混淆几何平均数与等比中项，正数 a，b 的等比中项是 ab.针对练 2 已知实数1，x，y，z，2 成等比数列，则 xyz_解析：设等比数列的公比为 q(q0)，则 y1q20 的等比数列b1b2b31010r10r2S3070，r2r60，r2 或 r3(舍去)，S40b1b2b3b410（124）12150.答案：1506数列问题中若遇到(1)n 则需考虑 n 的奇偶性对所求数值的影响必要时应分 n 为奇数和 n 为偶数两种情况讨论针对练 6 已知 f(n)n，n为奇数，n，n为偶数，若 anf(n)f(n1)，则 a1
39、a2a3a2 016_解析：当 n 为奇数时，anf(n)f(n1)n(n1)1；当 n 为偶数时，annn11，a1a2a3a2 0160.答案：07数列相关问题中，切忌忽视公式中 n 的取值范围，混淆数列的单调性与函数的单调性如数列an的通项公式 ann2n，求最小值，既要考虑函数 f(x)x2x(x0)的单调性，又要注意 n 的取值限制条件针对练 7 若数列an的前 n 项和 Snn217n18，则 Sn 取得最大值时，n_解析：函数 f(x)x217x18 的对称轴为 x172 8.5.又 nN*，当 n8 或 9 时，Sn 取得最大值答案：8 或 98求等差数列an前 n 项和 Sn
40、 的最值，易混淆取得最大或最小值的条件针对练 8 在等差数列an中，满足 3a47a7，且 a10，Sn 是数列an的前 n 项和，若 Sn 取得最大值，则 n_解析：设公差为 d，由题设 3(a13d)7(a16d)，d 433a10，即 a1(n1)433a1 0，得 nbc，则 abB若 a2b2，则 abC若1a1b，则 abD若 a b，则 ab解析：选 D 对于 A，若 c0，则不成立；对于 B，若 a，b 均小于 0 或 a0，b0，平方时显然有 a0 时，易忽视系数 a 的讨论导致漏解或错解，要注意分 a0，a0 的解的情况是()A 2x 2或 x0 时，解集为 x 2或 x
41、2；当 a0 时，解集为 2x 2.11应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把 f（x）g（x）0 直接转化为f(x)g(x)0，而忽视 g(x)0.针对练 11 不等式x1x20 的解集为_解析：x1x20（x1）（x2）0，x20，解之得 x1 或 x2.答案：x|x1 或 x212容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数 f(x)x221x22的最值，就不能利用基本不等式求解最值；求解函数 yx3x(x0，b0，ab1，则a1a2b1b2的最小值为_解析：a1a2b1b2a2b21a2 1b24(a2b2)1a2 1b2 4(ab)22ab1
42、a1b2 2ab 4(12ab)1 1a2b2 4由 abab2214，得 12ab11212，且 1a2b216，1 1a2b217.原式12174252(当且仅当 ab12时，等号成立)，a1a2b1b2的最小值是252.答案：252查缺补漏不可少1在等差数列an中，已知 a3a810，则 3a5a7 等于()A10 B18 C20 D28解析：选 C 因为 a3a810，所以由等差数列的性质，得 a5a610，所以 3a5a72a52a620.2若1a1b0，则下列不等式：ab|b|；ab 中，正确的不等式有()A0 个B1 个C2 个D3 个解析：选 B 由1a1b0，得 a0，b0，
43、故 ab0，所以 abab，即正确；由1a1b 1b，两边同乘|ab|，得|b|a|，故错误；由知|b|a|，a0，bb，即错误3数列an满足 a10，an1an(1an1)(1an)，则数列11an 是()A首项为 1，公差为 1 的等差数列B首项为 1，公比为 1 的等比数列C既是等差数列，又是等比数列D既不是等差数列，又不是等比数列解析：选 A 由题意知，(1an)(1an1)(1an1)(1an)，有11an111an1，又11a11，得11an 是首项为 1，公差为 1 的等差数列4已知，x1，y1，且14ln x，14，ln y 成等比数列，则 xy 有()A最小值 e B最小值
44、eC最大值 e D最大值 e解析：选 A x1，y1，且14ln x，14，ln y 成等比数列，14ln xln y 142，即14ln xln yln xln y22，ln xln y1，ln xy1，故 xye.5设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S10S512，则 S15S5 等于()A34 B23 C12 D13解析：选 A an是等比数列，S5，S10S5，S15S10 也构成等比数列，记 S52k(k0)，则 S10k，可得 S10S5k，进而得 S15S1012k，于是 S1532k，故 S15S532k2k34.6已知数列an，bn均为公差为 1 的等差数列，其首项分
45、别为 a1，b1，且 a1b15，a1b1，a1，b1N*，则数列abn的前 10 项和等于()A55 B75 C85 D75 或 85解析：选 C 由题意知，a13，b12 或 a14，b11.当 a13，b12 时，an3(n1)1n2，bn2(n1)1n1，abn的前 10项和 S10a2a3a1145131710285；当 a14，b11 时，ann3，bnn，abn的前 10 项和 S10a1a2a10451385.S1085.7不等式2x21x1 的解集是_解析：由 2x21x1 得 2x21x1，从而x10，2x21（x1）2，解得 0 x2，所以原不等式的解集为x|0 x2答案
46、：x|0 x28已知 x0，y0，x，a，b，y 成等差数列，x，c，d，y 成等比数列，则（ab）2cd的最小值是_解析：由 x，a，b，y 成等差数列知 abxy，由 x，c，d，y 成等比数列知 cdxy，把代入（ab）2cd得（ab）2cd（xy）2xyx2y22xyxy4，（ab）2cd的最小值为 4.答案：49已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组0 x 2，y2，x 2y给定若 M(x，y)为 D上的动点，点 A 的坐标为(2，1)，则 zOMOA的最大值为_解析：画出可行域 D，如图中阴影部分所示，而 zOMOA 2xy，y 2xz，令 l0：y 2x，将 l0
47、平移到过点(2，2)时，截距 z 有最大值，故 zmax 2 224.答案：410已知正项数列an，其前 n 项和 Sn 满足 8Sna2n4an3，且 a2 是 a1 和 a7 的等比中项(1)求数列an的通项公式；(2)符号x表示不超过实数 x 的最大整数，记 bnlog2an34，求 b1b2b3b2n.解：(1)由 8Sna2n4an3，知 8Sn1a2n14an13(n2，nN)由得 8an(anan1)(anan1)4an4an1，整理得(anan14)(anan1)0(n2，nN)an为正项数列，anan10，anan14(n2，nN)an为公差为 4 的等差数列，由 8a1a2
48、14a13，得 a13 或 a11.当 a13 时，a27，a727，不满足 a2 是 a1 和 a7 的等比中项当 a11 时，a25，a725，满足 a2 是 a1 和 a7 的等比中项an1(n1)44n3.(2)由 an4n3 得 bnlog2an34log2n，由符号x表示不超过实数 x 的最大整数知，当 2mn0)(3)圆的直径式方程：(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0(圆的直径的两端点是 A(x1，y1)，B(x2，y2)5直线与圆位置关系的判定方法(1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：0相交，0相离，0相切(2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径
49、的大小)：设圆心到直线的距离为 d，则 dr相离，dr相切(主要掌握几何方法)6圆与圆的位置关系已知两圆的圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2，则(1)当|O1O2|r1r2 时，两圆外离；(2)当|O1O2|r1r2 时，两圆外切；(3)当|r1r2|O1O2|r1r2 时，两圆相交；(4)当|O1O2|r1r2|时，两圆内切；(5)当 0|O1O2|r1r2|时，两圆内含7圆锥曲线定义、标准方程和性质8.抛物线 y22px，过焦点的弦 AB 有如下结论：(1)xAxBp24；(2)yAyBp2；(3)|AB|2psin2(是直线 AB 的倾斜角)；(4)|AB|xAxBp.易错易
50、混要辨明1不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错针对练 1 已知直线 xsin y0，则该直线的倾斜角的变化范围是_解析：由题意得，直线 xsin y0 的斜率 ksin，1sin 1，1k1，当1k0 时，倾斜角的变化范围是34，；当 0k1时，倾斜角的变化范围是0，4.故直线的倾斜角的变化范围是0，4 34，.答案：0，4 34，2易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽视截距为 0 的情况，直接设为xaya1；再如，过定点 P(x0，y0)的直线往往忽视斜率不存在的情况直接设为 yy0k(xx
51、0)等针对练 2 已知直线过点 P(1，5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为_解析：当截距为 0 时，直线方程为 5xy0；当截距不为 0 时，设直线方程为 xya，则 a6.直线方程为 xy60.答案：5xy0 或 xy603讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率为 0.针对练 3 已知直线 l1：(t2)x(1t)y1 与 l2：(t1)x(2t3)y20 互相垂直，则 t 的值为_解析：l1l2(t2)(t1)(1t)(2t3)0t1 或 t1.答案：1 或 14在解析几何中，研究两条直线的位置关系时
52、，要注意有可能这两条直线重合；在立体几何中一般提到的两条直线可理解为它们不重合针对练 4 设直线 l1：xmy60 和 l2：(m2)x3y2m0，当 m_时，l1l2；当 m_时，l1l2；当_时 l1 与 l2 相交；当 m_时，l1 与 l2重合答案：1 12 m3 且 m1 35求解两条平行线之间的距离时，考生易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式|C1C2|A2B2，导致错解针对练 5 两平行直线 3x2y50 与 6x4y50 间的距离为_答案：1526 136易误认两圆相切为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致漏解针对练 6 已知两圆 x2y22x6y10，x2y210 x12ym0
53、 相切，则 m_解析：由 x2y22x6y10，得(x1)2(y3)211，由 x2y210 x12ym0，得(x5)2(y6)261m.当两圆外切时，m2510 11；当两圆内切时，m2510 11.答案：2510 117利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支针对练 7 ABC 的顶点 A(5，0)，B(5，0)，ABC 内切圆圆心在直线 x3 上，则顶点 C 的轨迹方程是_解析：设内
54、切圆的圆心为 P，则 ADAE8，BFBE2，CDCF，|CA|CB|826.根据双曲线定义，所求轨迹是以 A，B 为焦点，实轴长为 6 的双曲线的右支，方程为x29y2161(x3)答案：x29y2161(x3)8解决椭圆、双曲线、抛物线问题时，要注意其焦点的位置针对练 8 若椭圆 x2k8y291 的离心率为12，则 k 的值为_解析：当焦点在 x 轴上时，a28k，b29，e2c2a2a2b2a2k1k814，k4.当焦点在 y 轴上时，a29，b28k，e21k9 14，k54.答案：4 或549直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的
55、系数是否为零，判别式 0 的限制尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式 0”；在求交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题都应在“0”下进行针对练 9 已知双曲线 x2y221，过点 A(1，1)能否作直线 l，使 l 与双曲线交于 P、Q 两点，并且 A 为线段 PQ 的中点？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由解：法一：设被 A(1，1)所平分的弦所在直线方程为 yk(x1)1.代入双曲线方程 x2y221，整理得，(2k2)x22k(k1)x32kk20，由 4k2(k1)24(2k2)(2k3k2)0，解得 k32，故不存在被点 A(1，1)平分的弦法二：设
56、符合题意的直线 l 存在，并设 P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则x21y2121，x22y2221，式得(x1x2)(x1x2)12(y1y2)(y1y2)，因为 A(1，1)为线段 PQ 的中点，所以x1x22，y1y22，将式、代入式，得 x1x212(y1y2)若 x1x2，则直线 l 的斜率 ky1y2x1x22.所以直线 l 的方程为 2xy10，再由y2x1，x2y221，得 2x24x30.根据 8b0)，如图，由题意知，2a4，a2，CBA4，BC 2，点 C 的坐标为(1，1)，点 C 在椭圆上，14 1b21，b243，c2a2b244383，c2 63，则椭圆的两个
57、焦点之间的距离为4 63.5已知双曲线 C 的渐近线方程为 y2x，且经过点(2，2)，则 C 的方程为()A.x23y2121 B.x212y231C.y23x2121 D.y212x231解析：选 A 由题意，设双曲线 C 的方程为y24x2(0)，因为双曲线 C 过点(2，2)，则224 22，解得 3，所以双曲线 C 的方程为y24x23，即x23y2121.6已知直线 l1：4x3y110 和直线 l2：x1，抛物线 y24x 上一动点 P 到直线l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是()A2 B3 C.115D.3716解析：选 B 因为 x1 恰为抛物线 y24x 的准线，所以
58、可画图观察如图：d2|PF|，d1d2d1|PF|413011|4232155 3.7与圆 C：x2y2x2y0 关于直线 xy0 对称的圆的方程为_解析：依题意，点(m，n)关于直线 xy0 对称点的坐标是(n，m)，因此圆 C 关于直线xy0 对称的圆的方程是 y2x2y2x0，即 x2y22xy0.答案：x2y22xy08已知圆 C：(x3)2(y4)24，直线 l 过定点 A(1，0)，且与圆相切，则直线 l 的方程为_解析：若直线 l 的斜率不存在，即直线 l 的方程是 x1，符合题意；若直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 yk(x1)，即 kxyk0.由题意知圆心(3，4)
59、到直线 l 的距离等于半径 2，即|3k4k|k21 2，解得 k34.因此所求直线 l 的方程是 3x4y30.综上可知，直线 l 的方程是 x1 或 3x4y30.答案：x1 或 3x4y309已知 ab0，设椭圆x2a2y2b21 与双曲线x2a2y2b21 的离心率分别为 e1，e2，且双曲线两渐近线的夹角为 60，则 e1e2_解析：由题意，得batan 30 33，e1e2 a2b2aa2b2a a4b4a21 ba42 23.答案：2 2310设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，过点 F1 的直线交椭圆E 于 A，B 两点，|AF1|3|F1
60、B|.(1)若|AB|4，ABF2 的周长为 16，求|AF2|；(2)若 cosAF2B35，求椭圆 E 的离心率解：(1)由|AF1|3|F1B|，|AB|4，得|AF1|3，|F1B|1.因为 ABF2 的周长为 16，所以由椭圆定义可得 4a16，|AF1|AF2|2a8.故|AF2|2a|AF1|835.(2)设|F1B|k，则 k0 且|AF1|3k，|AB|4k.由椭圆定义可得|AF2|2a3k，|BF2|2ak.在 ABF2 中，由余弦定理可得|AB|2|AF2|2|BF2|22|AF2|BF2|cosAF2B，即(4k)2(2a3k)2(2ak)265(2a3k)(2ak)，
61、化简可得(ak)(a3k)0.而 ak0，故 a3k.于是有|AF2|3k|AF1|，|BF2|5k.因此|BF2|2|F2A|2|AB|2，可得 F1AF2A，故 AF1F2 为等腰直角三角形从而 c 22 a，所以椭圆 E 的离心率 eca 22.概率与统计基础知识要记牢1概率的计算公式(1)古典概型的概率计算公式P(A)事件A包含的基本事件数m基本事件总数n；(2)互斥事件的概率计算公式P(AB)P(A)P(B)；(3)对立事件的概率计算公式P()1P(A)；(4)几何概型的概率计算公式P(A)构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.2抽样方法简单
62、随机抽样、分层抽样、系统抽样(1)从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本，则每个个体被抽到的概率都为nN；(2)分层抽样实际上就是按比例抽样，即按各层个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量3统计中的四个数据特征(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据(2)中位数：样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数(3)平均数：样本数据的算术平均数，即1n(x1x2xn)(4)方差与标准差方差：s21n(x1)2(x2)2(xn)2标准差：.4直方图的三个结论(1)小长方形的面积组距频率组距频率(2)各小长方形的面积之和等于 1
63、.(3)小长方形的高频率组距，所有小长方形高的和为 1组距.5线性回归方程线性回归方程ybxa一定过样本点的中心6独立性检验利用随机变量 K2n（adbc）2（ab）（cd）（ac）（bd）来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验如果 K2 的观测值 k 越大，说明“两个分类变量有关系”的这种判断犯错误的可能性越小易错易混要辨明1正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件针对练 1 从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球，那么互斥而不对立的两个事件是()A至少有 1 个白球，都
64、是白球B至少有 1 个白球，至少有 1 个红球C恰有 1 个白球，恰有 2 个白球D至少有 1 个白球，都是红球解析：C2应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和针对练 2 某天上午小李要参加一个志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己假设甲闹钟准时响的概率为 0.8，乙闹钟准时响的概率为 0.9，则甲、乙两个闹钟至少有一个准时响的概率是_解析：甲、乙两个闹钟至少有一个准时响有三种情况：甲准时响而乙没有准时响，其概率为 0.8(10.9)0.08；乙准时响而甲没有准时响，其概率为(10.8)0.90.18；甲、乙都准时响
65、，其概率为 0.80.90.72，故甲、乙两个闹钟至少有一个准时响的概率为 0.080.180.720.98.答案：0.983混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错针对练 3 对某市“四城同创”活动中 800 名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为25，30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：(1)25，30)年龄组对应小矩形的高度为_；(2)据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在25，35)的人数为_解析：(1)设25，30)年龄组对应小矩形的高度为 h，则 5(0.01h0.070.060.02)
66、1，解得 h0.04.则志愿者年龄在25，35)年龄组的频率为 5(0.040.07)0.55，故志愿者年龄在25，35)年龄组的人数约为 0.55800440.答案：(1)0.04(2)4404在求解几何概型的概率时，要注意分清几何概型的类别(体积型、面积型、长度型、角度型等)针对练 4 一种小型电子游戏的主界面是半径为 r 的圆，点击圆周上的点 A 后，该点在圆周上随机转动，最后落在点 B 处，当线段 AB 的长不小于 3r 时自动播放音乐，则一次转动能播放音乐的概率为_解析：如图，当|AB|3r，即点 B 落在劣弧 CC上时才能播放音乐又劣弧 CC所对应的圆心角为23，所以一次转动能播放
67、音乐的概率为23213.答案：13查缺补漏不可少1某单位有 840 名职工，现采用系统抽样方法，抽取 42 人做问卷调查，将 840 人按 1，2，840 随机编号，则抽取的 42 人中，编号落入区间481，720的人数为()A11 B12 C13 D14解析：选 B 将 840 人按 1，2，840 随机编号，每 20 个人分成一组，即第 1 组，1到 20 号；第 2 组，21 到 40 号；第 25 组，481 到 500 号；第 36 组，701 到 720 号；第 42 组 821 到 840 号每组抽取 1 人，则抽取的 42 人中，编号落入区间481，720的人数为 12.2某工
68、厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是96，106，则该样本数据的众数、中位数和平均数分别为()A101，101，101 B101.3，101.3，101.3C101，101.3，101.3 D101，101.3，101(参考数据：0.2990.31010.251030.1510591.6)解析：选 C 众数：1001022101.中位数：设中位数为 x，有 0.0520.12(x100)0.150.5.解之，得 x10043101.3.平均数：0.0529791.6101.3.3从 0，1，2，3 这四个数字中一次
69、随机取两个数字，若用这两个数字组成无重复数字的两位数，则所得两位数为偶数的概率是()A.13B.14C.49D.59解析：选 D 所有没有重复数字的两位数有 10，12，13，20，21，23，30，31，32，共 9 个，其中所得两位数为偶数的有 10，12，20，30，32，共 5 个，所以所求概率为59.4一袋中装有大小相同，编号分别为 1，2，3，4，5，6，7，8 的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取 2 次，则取得两个球的编号和不小于 15 的概率为()A.132B.164C.332D.364解析：选 D 两个球的编号和不小于 15，则两球号码可以为 7，8；8，7；8，8 三
70、种可能，其概率为 P 388 364，故选 D.5设 p 在0，5上随机地取值，则关于 x 的方程 x2px10 有实数根的概率为()A.15B.25C.35D.45解析：选 C 方程 x2px10 有实根，则 p240，解得 p2 或 p2(舍去)由几何概型的概率计算公式可知所求的概率为525035.6有 20 张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数 k，k1，其中 k0，1，2，19.从这 20 张卡片中任取一张，记“该卡片上两个数的各位数字之和(例如：若取到标有 9，10 的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为 91010)不小于 14”为事件 A，则 P(A)_解析：设每张卡片上标
71、有的两个连续自然数为(k，k1)，则所有基本事件有(0，1)，(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)，(6，7)，(7，8)，(8，9)，(9，10)，(10，11)，(11，12)，(12，13)，(13，14)，(14，15)，(15，16)，(16，17)，(17，18)，(18，19)，(19，20)，共 20个，该卡片上两个数的各位数字之和大于 14 的基本事件有(7，8)，(8，9)，(16，17)，(17，18)，(18，19)，共 5 个，因此 P(A)52014.答案：147将一个质点随机投放在关于 x，y 的不等式组3x4y19，x1，y1所构成的三角形
72、区域内，则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于 1 的概率是_解析：设关于 x，y 的不等式组3x4y19，x1，y1所构成的三角形区域的三个顶点分别为 A(1，1)，B(5，1)，C(1，4)，则 ABC 的面积为12(51)(41)6.则质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于 1 的部分如图中阴影部分所示，因为三角形内角和为 180，所以阴影部分所占面积为 6121262，所求概率为 P626 1 12.答案：1 128某超市为了了解热茶的销售量 y(单位：杯)与气温 x(单位：)之间的关系，随机统计了某 4 天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：气温1813101杯数2434
73、3864由表中数据算得线性回归方程ybxa中的b2，预测当气温为5 时，热茶销售量为_杯(已知回归系数)解析：根据表格中的数据可得，14(1813101)10，14(24343864)40.则ab40(2)1060，故y2x60.当 x5 时，y2(5)6070.答案：709样本中共有 5 个个体，其值分别为 a，0，1，2，3.若该样本的平均值为 1，则样本方差为_解析：因为样本的平均值为 1，所以a012351，解得 a1.所以样本的方差为15(11)2(01)2(11)2(21)2(31)22.答案：210为了调查某大学学生在周日上网的时间，随机对 100 名男生和 100 名女生进行了
74、不记名的问卷调查，得到了如下的统计结果：表 1：男生上网时间与频数分布表上网时间(分钟)30，40)40，50)50，60)60，70)70，80人数525302515表 2：女生上网时间与频数分布表上网时间(分钟)30，40)40，50)50，60)60，70)70，80人数1020402010(1)若该大学共有女生 3 000 人，试估计其中上网时间不少于 60 分钟的女生人数；(2)完成表 3 的 22 列联表，并回答能否有 90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”；(3)从表 3 的男生中“上网时间少于 60 分钟”和“上网时间不少于 60 分钟”的人数中用分层抽样的方法抽取一个
75、容量为 5 的样本，再从中任取 2 人，求至少有一人上网时间超过 60 分钟的概率表 3上网时间少于 60 分钟上网时间不少于 60 分钟合计男生女生合计解：(1)设估计上网时间不少于 60 分钟的女生人数为 x，依题意有x3 000 30100，解得 x900，所以估计其中上网时间不少于 60 分钟的女生人数是 900.(2)根据题目所给数据得到如下列联表：上网时间少于 60 分钟上网时间不少于 60 分钟合计男生6040100女生7030100合计13070200其中 K2200（60304070）21001001307020091 2.1982.706.因此，没有 90%的把握认为“学生
76、周日上网时间与性别有关”(3)因为男生中上网时间少于 60 分钟与上网时间不少于 60 分钟的人数之比为 32，所以 5 人中上网时间少于 60 分钟的有 3 人，记为 A，B，C，上网时间不少于 60 分钟的有 2人，记为 D，E，从中任取 2 人的所有基本事件为：(AB)，(AC)，(AD)，(AE)，(BC)，(BD)，(BE)，(CD)，(CE)，(DE)，共 10 个，其中“至少有一人上网时间超过 60 分钟”包含了 7 个基本事件，所以 P 710.算法、复数、推理与证明基础知识要记牢1复数的四则运算法则(abi)(cdi)(ac)(bd)i；(abi)(cdi)(acbd)(bc
77、ad)i；(abi)(cdi)acbdc2d2 bcadc2d2 i(a，b，c，dR，cdi0)2复数的几个常见结论(1)(1i)22i；(2)1i1ii，1i1ii；(3)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，i4ni4n1i4n2i4n30(nZ)；(4)12 32 i，且 01，2，31，120.3算法的三种基本逻辑结构(1)顺序结构：如图(1)所示(2)条件结构：如图(2)和图(3)所示(3)循环结构：如图(4)和图(5)所示4证明方法(1)直接证明综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫综合法
78、综合法又叫顺推法或由因导果法分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等)，这种证明方法叫分析法分析法又叫逆推法或执果索因法(2)间接证明反证法一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法易错易混要辨明1复数 z 为纯虚数的充要条件是 a0 且 b0(zabi(a，bR)还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧针对练 1 若复数 za21(a1)i 是纯虚数，则 1z1_解析：由题意得a210a10，所以，a1，即 z2i，则
79、 1z1112i12i51525i.答案：1525i2在循环体结构中，易错误判定循环体结束的条件，导致错求输出的结果针对练 2 执行下边的流程图，若 p0.8，则输出的 n_解析：顺着框图的走向列举出有关的输出数据，有S：01212，12 12234，34 1230.875，n：2，3，4.“0.8750.8”判断为“否”，输出 n4.答案：4查缺补漏不可少1若复数 z 满足12izi(i 为虚数单位)，则 z 的虚部为()A2 B2 C1 D1解析：选 D 由12izi，可得 z12iii2i2i22i1 2i，所以 z 的虚部为1.2设复数 z 的共轭复数为 z，若(2i)z3i，则 zz
80、 的值为()A1 B2 C.2D4解析：选 B 由题意可设 zabi，代入(2i)z3i，得(2ab)(2ba)i3i，2ab3，2ba1，得a1，b1，那么 zz(1i)(1i)2.3如图所示的程序框图运行后，输出的 S 的值是()A6 B15 C31 D63解析：选 C 程序框图依次执行的是 S3，A9；S7，A8；S15，A7；S31，A6，此时 A7 不成立，结束循环，故输出 31.4在数列an中，a11，anan1n，n2.为计算这个数列前 10 项的和，现给出该问题算法的程序框图，如图所示，则图中判断框(1)处合适的语句是()Ai9?Bi9?Di8？解析：选 C 输出的相关数据 i
81、，a，s 如下：i12345678910a13610152128364555s141020355684120165220于是只需在判断框中填上 i9？(或 i10？)即可5一个蜂巢里有 1 只蜜蜂，第一天，它飞出去带回了 5 个伙伴；第二天，6 只蜜蜂飞出去各自带回了 5 个伙伴；，如果这个过程继续下去，那么第 6 天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中共有蜜蜂()A.6（661）61只B66 只C63 只D62 只解析：选 B 根据题意可知，第一天共有蜜蜂 156 只；第二天共有蜜蜂 66562 只；第三天共有蜜蜂 6262563 只；故第 6 天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中共有蜜蜂6565566 只6电脑系统
82、中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷游戏规则如下：一个方块下面有雷或没有雷，如果没有雷，掀开方块就会出现数字(如果数字是 0，则省略)，此数字表明它周围的方块下面雷的个数(至多 8 个)如图甲中的“3”表示它周围的八个方块下面有且仅有 3 个雷图乙是张三玩的“扫雷”游戏的局部图，根据图乙中的信息可知，第一行七个方块中下面一定没有雷的有()ADGEFBBDEFCBDGEDAFGE解析：选 B 由第三行最左边的“1”知它的上方必定有雷，由第三行最右边的“1”及其下方的“1”知它的右边有雷，所以 D，E，F 下面均没有雷结合 B 下方的“3”知“3”所在的方块周围有且仅有 3 个雷，结合 C，
83、D 下方的“1”知 C 下面一定有雷，B 下面一定没有雷，A 下面一定有雷，综上所述下面一定没有雷的方块有 BDEF.7若复数a2i1i 在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数 a_解析：由复数a2i1i（a2i）（1i）（1i）（1i）（a2）（a2）i2在复平面内所对应的点在虚轴上可知 a20，a2.答案：28执行如图所示的程序框图，若输入的 x 值为 2，则输出的 x 值为_解析：若输入的 x2，则 x2213，而 3126，故 x2317，而 7126，所以输出的 x 值为 127.答案：1279对于直角坐标系内任意两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，定义运算：P1P2(x1，
84、y1)(x2，y2)(x1x2y1y2，x1y2x2y1)若点 M 的坐标为(2，2)，且 M(1，1)N，则MON_解析：(2，2)(1，1)(2)12(1)，(2)(1)12)(0，4)，有(2，2)，(0，4)，cosMON 082 24 22.又MON0，则MON4.答案：410在等腰直角三角形 ABC 中，设腰长为 a，则斜边上的高为 22 a，类比上述结论，那么在三棱锥 A-BCD 中，AB，AC，AD 两两垂直且相等，设长度均为 a，则斜面 BCD 上的高AE 的长度为_解析：(1)如图(1)所示，由 S ABC12ABAC12BCAD 得 ADABACBC aa2a 22 a.由此类比到空间中，作 AE平面 BCD 交平面 BCD 于点 E，即 AE 为四棱锥 A-BCD 的高如图(2)所示，可知 BCD 为等边三角形，边长为 2a，则由等体(2)积法可得 VA-BCDVD-ABC，即13S BCDAE1312ABACAD，所以 AE16a313 34（2a）233 a.答案：33 a
