1、2015年山东省济南市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1已知集合M=x|x22x30，N=x|xa若MN，则实数a的取值范围是（） A （，1 B （，1） C 3，+） D （3，+）2若z=（i为虚数单位），则z的共轭复数是（） A 2i B 2i C 2+i D 2+i3类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：（）垂直于同一个平面的两条直线互相平行；垂直于同一条直线的两条直线互相平行；垂直于同一个平面的两个平面互相平行；垂直于同一条直线的两个平面互相
2、平行 A B C D 4“cos=”是“=”的（） A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件5执行如图所示的程序框图，输出的k值为（） A 7 B 9 C 11 D 136某餐厅的原料费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为=8.5x+7.5，则表中的m的值为（） x24568y2535m5575 A 50 B 55 C 60 D 657已知F1，F2是双曲线的两个焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线一个交点是P，且F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（） A B
3、C 2 D 58在椭圆=1内，通过点M（1，1）且被这点平分的弦所在的直线方程为（） A 9x16y+7=0 B 16x+9y25=0 C 9x+16y25=0 D 16x9y7=09将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有（） A 48种 B 72种 C 96种 D 108种10若存在至少一个x（x0）使得关于x的不等式x24|2xm|成立，则实数m的取值范围为（） A 4，5 B 5，5 C 4，5 D 5，4二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方
4、图如图所示，则测试成绩落在60，80）中的学生人数是12函数f（x）=的定义域是13某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为的扇形，则该几何体的体积为14设、都是单位向量，且=0，则（+）（+）的最大值为15设函数f（x）的定义域为R，若存在常数0使|f（x）|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“条件约束函数”现给出下列函数：f（x）=4x；f（x）=x2+2；f（x）=；f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且对一切x1，x2均有f（x1）f（x2）4|x1x2|其中是“条件约束函数”的序号是（写出符合条件的全部序号）三、解答题（本大题共6小题，共75分）16在ABC中
5、，边a，b，c的对角分别为A，B，C；且b=4，A=，面积S=2（）求a的值；（）设f（x）=2（cosCsinxcosAcosx），将f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到g（x）的图象，求g（x）的单调增区间17某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用表示乙队的总得分（）求的分布列和数学期望；（）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队
6、获胜的概率18直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=10，AC=8，BC=6，AA1=8，点D在线段AB上（）若AC1平面B1CD，确定D点的位置并证明；（）当时，求二面角BCDB1的余弦值19已知数列an满足a1=1，a2=3，an+1=3an2an1（nN*，n2）（）证明：数列an+1an是等比数列，并求出an的通项公式（）设数列bn满足bn=2log4（an+1）2，证明：对一切正整数n，有+20已知抛物C的标准方程为y2=2px（p0），M为抛物线C上一动点，A（a，0）（a0）为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，MON的
7、面积为（）求抛物线C的标准方程；（）记t=，若t值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由21已知关于x函数g（x）=alnx（aR），f（x）=x2+g（x）（）试求函数g（x）的单调区间；（）若f（x）在区间（0，1）内有极值，试求a的取值范围；（）a0时，若f（x）有唯一的零点x0，试求x0（注：x为取整函数，表示不超过x的最大整数，如0.3=0，2.6=21.4=2；以下数据供参考：ln2=0.6931，ln3=1.099，ln5=1.609，ln7=1.946）2015年山东省济南市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大
8、题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1已知集合M=x|x22x30，N=x|xa若MN，则实数a的取值范围是（） A （，1 B （，1） C 3，+） D （3，+）考点： 集合的包含关系判断及应用专题： 集合分析： 先求出集合M=x|1x3，根据子集的定义即可得到a1解答： 解：M=x|1x3；MN；a1；实数a的取值范围是（，1故选：A点评： 考查解一元二次不等式，描述法表示集合，以及子集的概念2若z=（i为虚数单位），则z的共轭复数是（） A 2i B 2i C 2+i D 2+i考点： 复数代数形式的乘除运算专题： 数系的扩充和
9、复数分析： 直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后求得z的共轭复数解答： 解：z=，故选：D点评： 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：（）垂直于同一个平面的两条直线互相平行；垂直于同一条直线的两条直线互相平行；垂直于同一个平面的两个平面互相平行；垂直于同一条直线的两个平面互相平行 A B C D 考点： 类比推理专题： 空间位置关系与距离分析： 根据课本中的定理即可判断正确，根据正方体中的直线，平面即可盘不正确解答： 解：垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故正确垂直于同一条直线的
10、两条直线互相平行，不一定平行，也可能相交直线，异面直线，故不正确垂直于同一个平面的两个平面互相平行；不一定平行，也可能相交平面，如墙角，故不正确垂直于同一条直线的两个平面互相平行故正确故选：D点评： 本题考查了空间直线平面的位置关系，只要掌握好定理，空间常见的位置关系，做本题难度不大，属于容易题4“cos=”是“=”的（） A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断专题： 计算题分析： “cos=”“=+2k，kZ，或=”，“=”“cos=”解答： 解：“cos=”“=+2k，kZ，或=”，“=”“cos=”
11、故选B点评： 本题考查必要条件、充分条件和充要条件的判断，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理应用5执行如图所示的程序框图，输出的k值为（） A 7 B 9 C 11 D 13考点： 程序框图专题： 图表型；算法和程序框图分析： 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=lg11时，满足条件S1，退出循环，输出k的值为11解答： 解：模拟执行程序框图，可得S=0，k=1不满足条件S1，S=lg3，k=3不满足条件S1，S=lg5，k=5不满足条件S1，S=lg7，k=7不满足条件S1，S=lg9，k=9不满足条件S1，S=lg11，k=11满足条件S1，退出循环，输出k的值
12、为11故选：C点评： 本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的S，k的值是解题的关键，属于基本知识的考查6某餐厅的原料费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为=8.5x+7.5，则表中的m的值为（） x 2 4 5 6 8y 25 35 m 55 75 A 50 B 55 C 60 D 65考点： 线性回归方程专题： 应用题；概率与统计分析： 计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，列出方程，求解即可得到结论解答： 解：由题意，=5，=38+，y关于x的线性回归方程为=8.5x+7.5，根据线性回归方程必
13、过样本的中心，38+=8.55+7.5，m=60故选：C点评： 本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，这是线性回归方程中最常考的知识点属于基础题7已知F1，F2是双曲线的两个焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线一个交点是P，且F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（） A B C 2 D 5考点： 双曲线的简单性质专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 通过|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，分别设为md，m，m+d，则由双曲线定义和勾股定理求出m=4d=8a，c=，由此求得离心率的值解答： 解：因为F1PF2的三条边长成等差
14、数列，不妨设|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，分别设为md，m，m+d，则由双曲线定义和勾股定理可知：m（md）=2a，m+d=2c，（md）2+m2=（m+d）2，解得m=4d=8a，c=，故离心率e=5，故选：D点评： 本题主要考查等差数列的定义和性质，以及双曲线的简单性质的应用，属于中档题8在椭圆=1内，通过点M（1，1）且被这点平分的弦所在的直线方程为（） A 9x16y+7=0 B 16x+9y25=0 C 9x+16y25=0 D 16x9y7=0考点： 椭圆的简单性质专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 设出以点M（1，1）为中点的弦两端点为P1（x1，y1），
15、P2（x2，y2），利用点差法可求得以M（1，1）为中点的弦所在直线的斜率再由点斜式可求得直线方程解答： 解：设以点M（1，1）为中点的弦两端点为P1（x1，y1），P2（x2，y2），则x1+x2=2，y1+y2=2又， 得：=0又据对称性知x1x2，则=，以点M（1，1）为中点的弦所在直线的斜率k=，中点弦所在直线方程为y1=（x1），即9x+16y25=0故选：C点评： 本题主要考查了直线与椭圆相交关系的应用，要掌握这种设而不求以及点差法在求解直线方程中的应用9将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有（） A 48种
16、 B 72种 C 96种 D 108种考点： 计数原理的应用专题： 应用题；排列组合分析： 首先给顶点P选色，有4种结果，再给A选色有3种结果，再给B选色有2种结果，最后分两种情况即C与B同色与C与B不同色来讨论，根据分步计数原理和分类计数原理得到结果解答： 解：设四棱锥为PABCD下面分两种情况即C与B同色与C与B不同色来讨论，（1）P的着色方法种数为C41，A的着色方法种数为C31，B的着色方法种数为C21，C与B同色时C的着色方法种数为1，D的着色方法种数为C21（2）P的着色方法种数为C41，A的着色方法种数为C31，B的着色方法种数为C21，C与B不同色时C的着色方法种数为C11，D
17、的着色方法种数为C11综上两类共有C41C312C21+C41C312=48+24=72种结果故选：B点评： 本题主要排列与组合及两个基本原理，总体需分类，每类再分步，综合利用两个原理解决，属中档题10若存在至少一个x（x0）使得关于x的不等式x24|2xm|成立，则实数m的取值范围为（） A 4，5 B 5，5 C 4，5 D 5，4考点： 函数的最值及其几何意义专题： 计算题；作图题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；简易逻辑分析： 不等式可化为|2xm|x2+4；先求对任意x0，都有|2xm|x2+4；作函数图象，由数形结合求实数m的取值范围解答： 解：不等式x24|2xm|可化为|
18、2xm|x2+4；若对任意x0，都有|2xm|x2+4，作函数y=|2xm|与y=x2+4的图象如下，结合图象可知，当m5或m4时，对任意x0，都有|2xm|x2+4；故实数m的取值范围为4，5；故选A点评： 本题考查了函数的图象的作法及函数与不等式的关系应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则测试成绩落在60，80）中的学生人数是50考点： 频率分布直方图专题： 概率与统计分析： 根据频率和为1，求出a的值，再根据频率=，求出测试成绩在60，80）中的学生数解答：
19、 解：根据频率和为1，得；（2a+3a+7a+6a+2a）10=1，解得a=；测试成绩落在60，80）中的学生频率是（3a+7a）10=，对应的学生人数是100=50故答案为：50点评： 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，是基础题目12函数f（x）=的定义域是（10，100）考点： 函数的定义域及其求法专题： 函数的性质及应用分析： 根据函数成立的条件即可求函数的定义域解答： 解：要使函数有意义，则（lgx）2+3lgx20，即（lgx）23lgx+20，解得1lgx2，即10x100，故函数的定义域为（10，100），故答案为：（10，100）点评：
20、 本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件13某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为的扇形，则该几何体的体积为2考点： 由三视图求面积、体积专题： 空间位置关系与距离分析： 由三视图知几何体为圆柱的一部分，且圆柱的高为3，底面圆的半径为2，根据正视图与俯视图可判断底面扇形的中心角为，求出圆柱的体积乘以可得答案解答： 解：由三视图知几何体为圆柱的一部分，且圆柱的高为3，底面圆的半径为2，由正视图与俯视图判断底面扇形的中心角为60，几何体的体积V=223=2，故答案为：2点评： 本题考查了由三视图求几何体的体积，解答的关键是判断几何体的形状及数据所对应的
21、几何量14设、都是单位向量，且=0，则（+）（+）的最大值为1+考点： 平面向量数量积的运算专题： 平面向量及应用分析： 根据题意设=（1，0），=（0，1），=（cos，sin），计算（+）（+）=sin（+）+1+1，从而得出结论解答： 解：、都是单位向量，且=0，可设=（1，0），=（0，1），=（cos，sin）则（+）（+）=（1，1）（cos，1+sin）=cos+1+sin=sin（+）+1+1，故（+）（+）的最大值为 ，故答案为 点评： 本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，两角和差的正弦公式的应用，其中，求出（+）（+）的表达式，是解答本题的关键，属于基础题15设函数f（
22、x）的定义域为R，若存在常数0使|f（x）|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“条件约束函数”现给出下列函数：f（x）=4x；f（x）=x2+2；f（x）=；f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且对一切x1，x2均有f（x1）f（x2）4|x1x2|其中是“条件约束函数”的序号是（写出符合条件的全部序号）考点： 命题的真假判断与应用专题： 函数的性质及应用分析： 用F函数的定义加以验证，对于均可以找到常数0，使|f（x）|x|对一切实数x均成立，说明它们是“条件约束函数”而对于，当x0时，|，所以不存在常数0，使|f（x）|x|对一切实数x均成立，故它们不符合题意解答： 解：对于，f（x）
23、=4x，易知存在=40，使|f（x）|x|对一切实数x均成立，符合题意；是“条件约束函数”对于用F函数的定义不难发现：因为x0时，|，所以不存在常数0，使|f（x）|x|对一切实数x均成立，不符合题意，不是“条件约束函数”对于，因为|f（x）|=|x|，所以存在常数=20，使|f（x）|x|对一切实数x均成立，是“条件约束函数”对于，f（x）是定义在实数集R上的奇函数，故|f（x）|是偶函数，因而由|f（x1）f（x2）|4|x1x2|得到，|f（x）|4|x|成立，存在40，使|f（x）|x|对一切实数x均成立，符合题意是“条件约束函数”故答案为：点评： 本题考查了函数的定义域和值域的问题，
24、属于中档题题中“条件约束函数”的实质是函数f（x）与x的比值对应的函数是有界的，抓住这一点不难解出三、解答题（本大题共6小题，共75分）16在ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C；且b=4，A=，面积S=2（）求a的值；（）设f（x）=2（cosCsinxcosAcosx），将f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到g（x）的图象，求g（x）的单调增区间考点： 三角函数中的恒等变换应用；正弦定理专题： 三角函数的求值；三角函数的图像与性质；解三角形分析： （）首先利用三角形的面积公式求出c边的长，进一步利用余弦定理求出a的长（）利用上步的结论，进一步求出B的大小和C的大
25、小，进一步把函数关系式变性成正弦型函数，再利用函数图象的变换求出g（x）=2sin（2x），最后利用整体思想求出函数的单调区间解答： 解：（）在ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C；且b=4，A=，面积S=2则：S=解得：c=2a2=b2+c22bccosA则：a=（）利用（）的结论，所以：，解得：sinB=1，由于0B则：，C=f（x）=2（cosCsinxcosAcosx）=2sin（x），将f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到g（x）=2sin（2x），令：（kZ）解得：则函数g（x）的单调递增区间为：（kZ）点评： 本题考查的知识要点：三角形面积公式的应用，
26、正弦定理的应用，余弦定理的应用，三角函数关系式的恒等变换，函数图象的伸缩变换，正弦型函数的单调区间的确定17某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用表示乙队的总得分（）求的分布列和数学期望；（）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率考点： 离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列专题： 概率与统计分析： （）
27、由题意知，的可能取值为0，10，20，30，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和E；（）由A表示“甲队得分等于30乙队得分等于0”，B表示“甲队得分等于20乙队得分等于10”，可知A、B互斥利用互斥事件的概率计算公式即可得出甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率解答： 解：由题意知，的可能取值为0，10，20，30，由于乙队中3人答对的概率分别为，P（=0）=（1）（1）（1）=，P（=10）=（1）（1）+（1）（1）+（1）（1）=，P（=20）=（1）+（1）+（1）=，P（=30）=，的分布列为： 0 10 20 30P E=0+10+20+30=（）由A表示“甲队得分等于
28、30乙队得分等于0”，B表示“甲队得分等于20乙队得分等于10”，可知A、B互斥又P（A）=，P（B）=，则甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率为P（A+B）=P（A）+P（B）=点评： 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用，确定随机变量，及其概率18直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=10，AC=8，BC=6，AA1=8，点D在线段AB上（）若AC1平面B1CD，确定D点的位置并证明；（）当时，求二面角BCDB1的余弦值考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定专题： 空间位置关系与距离；空间
29、向量及应用分析： （I）当点D为AB的中点时，AC1平面B1CD其原因如下：连接BC1交B1C于点E，连接DE利用平行四边形与三角形的中位线定理，利用线面平行的判定定理即可得出AC1平面B1CD（II）由AB=10，AC=8，BC=6，可得ACCB，以C为原点建立空间直角坐标系，由，可得，设平面CDB1的法向量为=（x，y，z），利用，可得，取平面BCD的法向量=（0，0，1），利用=即可得出解答： （I）解：当点D为AB的中点时，AC1平面B1CD下面给出证明：连接BC1交B1C于点E，连接DE四边形BCC1B1是平行四边形，E点是对角线BC1的中点，DE是ABC1的中位线，DEAC1，AC
30、1平面B1CD，DE平面B1CD，AC1平面B1CD（II）由AB=10，AC=8，BC=6，可得ACCB以C为原点建立空间直角坐标系，B（6，0，0），A（0，8，0），A1（0，8，8），B1（6，0，8），=（6，0，0）+（6，8，0）=（4，0），=（6，0，8），设平面CDB1的法向量为=（x，y，z），令y=2，解得x=，z=1，=取平面BCD的法向量=（0，0，1），=点评： 本题考查了平行四边形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理、勾股定理的逆定理，考查了通过建立空间直角坐标系得出平面的法向量、利用法向量的夹角求二面角的方法，考查了空间想象能力与计算能力，属于中档题
31、19已知数列an满足a1=1，a2=3，an+1=3an2an1（nN*，n2）（）证明：数列an+1an是等比数列，并求出an的通项公式（）设数列bn满足bn=2log4（an+1）2，证明：对一切正整数n，有+考点： 数列的求和；等比关系的确定专题： 等差数列与等比数列分析： （）由an+1=3an2an1得an+1an=2（anan1），变形后可得an+1an是以a2a1为首项，2为公比的等比数列，然后利用累加法求得数列an的通项公式；（）把an的通项公式代入bn=2log4（an+1）2 ，整理后利用裂项相消法求+的和，放缩后得答案解答： 证明：（）an+1=3an2an1，an+1a
32、n=2（anan1），a1=1，a2=3，（nN*，n2），an+1an是以a2a1为首项，2为公比的等比数列，则an+1an=2n，an=（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1=2n1+2n2+2+1=（）bn=2log4（an+1）2 =则+=点评： 本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，考查了放缩法证明数列不等式，是中档题20已知抛物C的标准方程为y2=2px（p0），M为抛物线C上一动点，A（a，0）（a0）为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，MON的面积为（）求抛物线C的标
33、准方程；（）记t=，若t值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由考点： 抛物线的简单性质专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （I）由当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，MON的面积为可得SMON=2p=，解得p即可（II）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为：x=my+a，与抛物线方程联立可得y26my6a=0，得到根与系数的关系由对称性，不妨设m0，（i）a0时，可知y1，y2同号又t=+，得到t2=，可得不论a取何值，t值与M点位置有关（ii）a0时，由于y1，y2异号又t=+，可得t2=，可得仅当1=0时，
34、即a=时，t与m无关，此时A即为一个“稳定点”解答： 解：（I）当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，MON的面积为SMON=2p=，解得p=3抛物线C的标准方程为y2=6x（II）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为：x=my+a，联立化为y26my6a=0，0，y1+y2=6m，y1y2=6a由对称性，不妨设m0（i）a0时，y1y2=6a0，y1，y2同号又t=+，t2=，不论a取何值，t值与M点位置有关，即此时的点A不为“稳定点”（ii）a0时，y1y2=6a0，y1，y2异号又t=+，t2=，仅当1=0时，即a=时，t与m无关，此时A即为抛物线的焦点，因此
35、抛物线对称轴上仅有焦点一个“稳定点”点评： 本题考查了抛物线的定义及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题21已知关于x函数g（x）=alnx（aR），f（x）=x2+g（x）（）试求函数g（x）的单调区间；（）若f（x）在区间（0，1）内有极值，试求a的取值范围；（）a0时，若f（x）有唯一的零点x0，试求x0（注：x为取整函数，表示不超过x的最大整数，如0.3=0，2.6=21.4=2；以下数据供参考：ln2=0.6931，ln3=1.099，ln5=1.609，ln7=1.946）考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数
36、的极值专题： 导数的综合应用分析： （I）g（x）=alnx（x0），g（x）=，对a分类讨论：当a0时，当a0时，即可得出单调性；（II）f（x）=x2+g（x），其定义域为（0，+）f（x）=2x+g（x）=，令h（x）=2x3ax2，x0，+），h（x）=6x2a，当a0时，可得：函数h（x）在（0，1）内至少存在一个变号零点x0，且x0也是f（x）的变号零点，此时f（x）在区间（0，1）内有极值当a0时，由于函数f（x）单调，因此函数f（x）无极值（III）a0时，由（II）可知：f（1）=3知x（0，1）时，f（x）0，因此x01又f（x）在区间（1，+）上只有一个极小值点记为x1，
37、由题意可知：x1即为x0得到，即，消去a可得：，a0，令t1（x）=2lnx（x1），分别研究单调性即可得出x0的取值范围解答： 解：（I）g（x）=alnx（x0），g（x）=，（i）当a0时，g（x）0，（0，+）为函数g（x）的单调递减区间；（ii）当a0时，由g（x）=0，解得x=当x时，g（x）0，此时函数g（x）单调递减；当x时，g（x）0，此时函数g（x）单调递增（II）f（x）=x2+g（x），其定义域为（0，+）f（x）=2x+g（x）=，令h（x）=2x3ax2，x0，+），h（x）=6x2a，当a0时，h（x）0恒成立，h（x）为（0，+）上的增函数，又h（0）=20，h
38、（1）=a0，函数h（x）在（0，1）内至少存在一个变号零点x0，且x0也是f（x）的变号零点，此时f（x）在区间（0，1）内有极值当a0时，h（x）=2（x31）ax0，即x（0，1）时，f（x）0恒成立，函数f（x）无极值综上可得：f（x）在区间（0，1）内有极值的a的取值范围是（，0）（III）a0时，由（II）可知：f（1）=3知x（0，1）时，f（x）0，x01又f（x）在区间（1，+）上只有一个极小值点记为x1，且x（1，x1）时，函数f（x）单调递减，x（x1，+）时，函数f（x）单调递增，由题意可知：x1即为x0，消去a可得：，a0，令t1（x）=2lnx（x1），则在区间（1，+）上t1（x）单调递增，t2（x）单调递减t1（2）=2ln220.7=t2（2），t1（3）=2ln32=t2（3）2x03，x0=2点评： 本题考查了利用当时研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论方法，考查了分析问题与解决问题的方法，考查了零点存在但是求不出准确值的情况下的解决方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题
