1、20222023学年第一学期高三年级期末考试数学试卷（考试时间：上午8:0010:00）说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合，则（ ）A B C D2设复数z满足（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3已知，则向量与的夹角为（ ）A B C D4中国古代数学的瑰宝九章算术中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）现有一个如图所示的曲池，垂直于底面，底面扇
2、环所对的圆心角为，弧的长度是弧长度的2倍，则该曲池的体积为（ ）A B C D5某学校音乐社团为庆祝学校百年华诞将举办歌曲展演，要从4首独唱歌曲和2首合唱歌曲中选出4首歌曲安排演出，若最后一首歌曲必须是合唱歌曲，则不同的安排方法种数为（ ）A96 B120 C240 D3606已知，则（ ）A B C D7如表所示的数阵称为“森德拉姆素数筛”，表中每行每列的数都成等差数列，设表示该数阵中第m行、第n列的数，则下列说法正确的是（ ）2345673579111247101316195913172125611121263171319253137A B C D8已知函数及其导函数的定义域均为，记，若均
3、为偶函数，当时，且，则（ ）A20 B30 C35 D40二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9已知正数x，y满足，则下列结论正确的是（ ）A的最大值是1 B的最小值是4C的最大值是 D的最小值是110已知函数的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ）A的图象关于直线对称 B的图象关于点对称C将函数的图象向左平移个单位长度可以得到函数的图象D方程在上有7个不相等的实数根11已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交C于A，B两个不同点，则下列结论正确的是（ ）A若点，则的最小值是3B的最小值是2
4、C若，则直线的斜率为D过点A，B分别作抛物线C的切线，设两切线的交点为Q，则点Q的横坐标为12已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱，P为上底面上的动点，M为棱的中点，下列结论正确的是（ ）A三棱锥的体积为定值1B当直线与平面所成角为时，点P的轨迹长度为C若直线平面，则线段长度的最小值为D直线被正四棱柱外接球所截得线段长度的取值范围是三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13已知函数的图象在处的切线经过坐标原点，则实数_14的展开式中常数项为_（用数字作答）15在临床上，经常用某种试验来诊断试验者是否患有某种癌症，设“试验结果为阳性”，“试验者患有此癌症”，据临床统计显示已知某地人群中患有
5、此种癌症的概率为0.001，现从该人群中随机抽在了1人，其试验结果是阳性，则此人患有此种癌症的概率为_16已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，切点为T，延长交双曲线E的左支于点P若，则双曲线E离心率的取值范围是_四、解答题（本题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题10分）已知数列的前n项和为（1）从条件、条件这两个条件中选择一个条件作为已知，求的通项公式；（2）设，记的前n项和为，若对任意正整数的n，不等式恒成立，求的最小值条件，且；条件为等比数列，且满足；（注：若条件和条件分别解答，按第一个解答计分）18（本小题12分）在中，内角A，B，C所对的边分
6、别为a，b，c，且满足（1）求证：；（2）求的取值范围19（本小题12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，整理测量结果得到如下频率分布直方图：（1）求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本方差（）利用该正态分布，求；（）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数利用（）的结果，求附：；若，则20（本小题12分）如图，在三棱锥中，平面平面，O为的中点（1）证明：；（2）若是边长
7、为1的等边三角形，点E在棱上，且二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值21（本小题12分）已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆C经过点，且直，与圆相切（1）求椭圆C的方程；（2）直线与椭圆C交于P，Q两点，点M在x轴上，且满足，求点M横坐标的取值范围22（本小题12分）已知函数（1）若在处取得极大值，求的单调区间；（2）若恰有三个零点，求实数a的取值范围2022-2023学年太原市第一学期期末高三数学试题参考答案及评分建议一、选择题：B D C A B C D B二、选择题：9AC 10AB 11ACD 12ACD三、填空题：13 14 15 16四、解答题：17解：（1）选择条件，且，由题意可
8、得，为公比的等比数列，；选择条件为等比数列，且满足，由题意可得，；（2）由（1）得,，的最小值为18解：（1）由余弦定理得，由正弦定理得，；（2）由（1）得，的取值范围为19解：（1）由题意得，；（2）由题意得，（），；（）由（）得从该企业购买了1件这种产品，其质量指标值位于区间的概率为，20解：（1）O为的中点，平面平面，平面，；（2）由（1）得平面，以点O为原点，所在的直线分别为x轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，由题意可得，设是平面的一个法向量，则，令，则，由题意可知是平面的一个法向量，直线与平面所成角的正弦值为21解：（1）椭圆C经过点，由题意得直线的方程为，即，直线与圆相切，椭圆C的方程为；（2）设，点是的中点，由得，直线的方程为，点M的横坐标为，“点M的横坐标的取值范围为22解：（1）由题意得，令，则或，当时，即时，令，则：令，则，或，在上递减，在上递增，在处取得极小值，此时不符合题意；当时，即时，则，在R上递增，在处不取极值，比时不符合题意当时，即时，令，则；令，则，或，在和上递增，在上递减，在处取得极大值，此时符合题意；综上，的单调减区间为，单调增区间为和；（2）由题意得，显然是的零点，则方程，即恰有两个不为2的实数根，令，则，令，则；令，则，在上递增，在上递减，当时，的值域为；当时，的值域为，且，且，综上，实数a的取值范围为
