1、第57讲 二项式定理思维导图知识梳理1二项式定理(1)二项式定理：(ab)nCanCan1b CankbkCbn(nN*)；(2)通项公式：Tk1Cankbk，它表示第k1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，C.2二项式系数的性质题型归纳题型1 二项展开式中特定项及系数问题【例1-1】二项式10的展开式中，项的系数是()A.BC15 D15【解析】选B10的二项展开式的通项为Tr1C10rr(1)r22r10Cx，令5，得r3，所以项的系数是(1)324C.故选B.【例1-2】(2019天津高考)8的展开式中的常数项为_【解析】8的通项为Tr1C8rrC28rrx84r.令8
2、4r0，得r2， 常数项为T3C26228.【答案】28【跟踪训练1-1】(2019浙江高考)在二项式(x)9的展开式中，常数项是_，系数为有理数的项的个数是_【解析】由二项展开式的通项公式可知Tr1C()9rxr，rN,0r9，当项为常数项时，r0，T1C()9x0()916.当项的系数为有理数时，9r为偶数，可得r1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数是5.【答案】165【跟踪训练1-2】6的展开式的常数项为160，则实数a_.【解析】法一：6的展开式的通项Tr1C(ax)6rrCa6rx62r，令62r0，得r3，所以Ca63160，解得a2.法二：6，要得到常数项，则需ax与的个
3、数相同，各为3个，所以从6个因式中选择3个ax的系数，即Ca3160，解得a2.【答案】2【名师指导】求二项展开式中的项的方法求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项Tk1Cankbk的特点，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k0,1,2，n).题型2 二项式系数的性质及各项系数和【例2-1】(1)(2020合肥模拟)已知(axb)6的展开式中x4项的系数与x5项的系数分别为135与18，则(axb)6的展开式中所有项系数之和为()A1 B1C32 D64(2)若(1x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则|a0|a1|a2|a3|a4|a5|()A0
4、 B1C32 D1(3)在(1x)n(xN*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n_.【解析】(1)由二项展开式的通项公式可知x4项的系数为Ca4b2，x5项的系数为Ca5b，则由题意可得解得ab2，故(axb)6的展开式中所有项的系数之和为(ab)664.(2)由(1x)5的展开式的通项Tr1C(x)rC(1)rxr，可知a1，a3，a5都小于0.则|a0|a1|a2|a3|a4|a5|a0a1a2a3a4a5.在原二项展开式中令x1，可得a0a1a2a3a4a50.(3)二项式中仅x5的系数最大，其最大值必为Cn，即得5，解得n10.【答案】(1)D(2)A(3)10【跟踪训练2-1
5、】若n的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是()A6 B.C4x D. 或4x【解析】选A令x1，可得n的展开式中各项系数之和为2n，即82n32，解得n4，故第3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是C()226.【跟踪训练2-2】(2020包头模拟)已知(2x1)5a5x5a4x4a3x3a2x2a1xa0，则|a0|a1|a5|()A1 B243C121 D122【解析】选B令x1，得a5a4a3a2a1a01，令x1，得a5a4a3a2a1a0243，得2(a4a2a0)242，即a4a2a0121.，得2(a5a3a1)244，即a5a3a1122.所以
6、|a0|a1|a5|122121243.【跟踪训练2-3】若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，且(a0a2a8)2(a1a3a9)239，则实数m的值为_【解析】令x0，则(2m)9a0a1a2a9，令x2，则m9a0a1a2a3a9，又(a0a2a8)2(a1a3a9)2(a0a1a2a9)(a0a1a2a3a8a9)39，(2m)9m939，m(2m)3，m3或m1.【答案】3或1【跟踪训练2-4】已知(13x)n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为_【解析】由已知得CCC121，则n(n1)n1121，即n2n2400，解得
7、n15(舍去负值)，所以展开式中二项式系数最大的项为T8C(3x)7和T9C(3x)8.【答案】C(3x)7和C(3x)8【名师指导】1赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x，y的一切值都成立因此，可将x，y设定为一些特殊的值在使用赋值法时，令x，y等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，1或0”，有时也取其他值如：(1)形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，bR)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x1即可(2)形如(axby)n(a，bR)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可2二项式系数最大项的确定方法(1)如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大；(2)如果
8、n是奇数，则中间两项的二项式系数相等并最大题型3 多项式展开式中特定项系数问题【例3-1】在1(1x)(1x)2(1x)3(1x)4(1x)5的展开式中，含x2项的系数是()A10 B15C20 D25【解析】含x2项的系数为CCCC20.【答案】C【例3-2】(1)(2019全国卷)(12x2)(1x)4的展开式中x3的系数为()A12 B16C20 D24(2)已知(x1)(ax1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a_.【解析】(1)(1x)4的二项展开式的通项为Tk1Cxk(k0,1,2,3,4)，故(12x2)(1x)4的展开式中x3的系数为C2C12.故选A.(2)(ax1)
9、6的展开式中x2的系数为Ca2，x的系数为Ca，因为(x1)(ax1)6的展开式中含x2项的系数为0，所以Ca2Ca0，解得a0或a.因为a为正实数，所以a.【答案】(1)A(2)【例3-3】5的展开式中x2的系数是_【解析】在5的展开式中，含x2的项为2C4,23C2，所以在这几项的展开式中x2的系数和为2CC23CC4080120.【答案】120【跟踪训练3-1】在6的展开式中，含x5项的系数为()A6 B6C24 D24【解析】选B由6C6C5C4CC，可知只有C5的展开式中含有x5，所以6的展开式中含x5项的系数为CC6，故选B.【跟踪训练3-2】5的展开式中常数项为()A30 B30C25 D25【解析】选C5x253x55，5的展开式的通项Tr1C(1)rr，易知当r4或r2时原式有常数项，令r4，T5C(1)44，令r2，T3C(1)22，故所求常数项为C3C53025，故选C.【名师指导】1. 对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可2.对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏3.(abc)n展开式中特定项的求解方法
