1、11.2瞬时变化率导数(一)1.了解导数概念的实际背景2.理解曲线的割线与切线的关系，会用无限逼近的思想确定切线及其斜率3理解瞬时变化率与导数间的关系，掌握函数在某点处导数的定义1逼近法求曲线上一点处的切线斜率如图，设曲线C上一点P(x，f(x)，过点P的一条割线交曲线C于另一点Q(xx，f(xx)，则割线PQ的斜率为kPQ当点Q沿曲线C向点P运动，并无限靠近点P时，割线PQ逼近点P的切线l，从而割线的斜率逼近切线l的斜率，即当x无限趋近于0时，无限趋近于点P(x，f(x)处的切线的斜率2瞬时变化率与瞬时速度、瞬时加速度(1)如果当t无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于一
2、个常数，那么这个常数称为物体在tt0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率(2)如果当t无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在tt0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)曲线上给定一点P，过点P可以作该曲线的无数条割线()(2)过曲线上任一点一定可作出一条切线()(3)有的曲线过它上面的某一点可作两条切线()(4)平均速度刻画运动物体在某一时间段内变化的快慢程度，瞬时速度刻画物体在某一时刻变化的快慢程度()答案：(1)(2)(3)(4)2已知曲线yf(x)2x2上一点A(2，8)，则点A
3、处的切线斜率为_解析：因为yf(2x)f(2)2(2x)22228x2(x)2，所以82x.所以当x0时，8.答案：83如果某物体的运动方程是s2(1t)2，则在t1.2秒时的瞬时速度是_答案：0.84一质点做加速直线运动，其速度与时间的关系是vt2t2(v单位：m/s；时间单位：s)，则质点在t2 s时的瞬时加速度为_解析：因为vv(2t)v(2)(2t)2(2t)2(2222)5t(t)2，所以5t.当t0时，5.因此质点在t2 s时的瞬时加速度为5 m/s2.答案：5 m/s2曲线上某一点处的切线已知曲线yx3上一点P，求：(1)点P处的切线斜率；(2)点P处的切线方程【解】(1)由yx
4、3，3x23xx(x)2，当x无限趋近于0时，无限趋近于x2，所以点P处的切线的斜率等于4.(2)在点P处的切线方程是y4(x2)即12x3y160.(1)解决此类问题的关键是理解割线逼近切线的思想即求曲线上一点处切线的斜率时，先表示出曲线在该点处的割线的斜率，则当x无限趋近于0时，可得到割线逼近的切线的斜率然后利用直线方程的点斜式可求出相应的切线方程(2)注意函数yf(x)在xx0处的切线，就是函数图象(曲线)上以点(x0，f(x0)为切点的曲线的切线，过点(x0，y0)也能作曲线yf(x)的切线，但点(x0，y0)不一定是切点 1.利用割线逼近切线的方法分别求曲线y2x2在x0，x1，x2
5、处的切线斜率解：设P(x0，f(x0)、Q(x0x，f(x0x)，则割线PQ的斜率kPQ4x02x.当x无限趋近于0时，kPQ无限趋近于4x0，从而曲线yf(x)在x0，x1，x2处的切线斜率分别为0，4，8.求瞬时速度和瞬时加速度一质点按s2t22t(位移单位：m，时间单位：s)做直线运动求：(1)该质点在前3 s内的平均速度；(2)质点在2 s到3 s内的平均速度；(3)质点在3 s时的瞬时速度【解】(1)8(m/s)，所以该质点在前3 s内的平均速度为8 m/s.(2)232232222212(m/s)所以质点在2 s到3 s内的平均速度为12 m/s.(3)因为2t14.当t趋于0时，
6、2t14无限趋近于14.所以质点在3 s时的瞬时速度为14 m/s.(1)平均速度可反映物体在某一段时间内的平均变化状态，而瞬时速度反映物体在某一时刻的运动变化状态，瞬时速度是平均速度当t趋于0时的极限值(2)已知运动物体在ss(t)解析式的前提下才可求某一时刻的瞬时速度 2.有一做直线运动的物体，其速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)的关系是v3tt2，求此物体在t2 s时的瞬时加速度解：因为v(2t)v(2)3(2t)(2t)2(3222)3(t)4(t)(t)2t(t)2，所以1t，所以当t趋于0时，1t无限趋近于1.所以该物体在t2 s时的瞬时加速度为1 m/s2.对瞬时速度的理
7、解(1)瞬时速度即位移函数相对于时间的瞬时变化率(2)当t在变化中趋近于0时，比值趋近于一个确定的常数，这时此常数称为t0时刻的瞬时速度(3)平均变化率刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0处变化的快慢若一物体运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s)s求：(1)物体在t3，5内的平均速度；(2)物体的初速度v0；(3)物体在t1时的瞬时速度【解】(1)因为物体在t3，5内的时间变化量为t532，物体在t3，5内的位移变化量为s3522(3322)3(5232)48，所以物体在t3，5上的平均速度为24(m/s)(2)因为物体在t0附近的平均变化率为3t18，因为
8、t无限趋近于0时，3t18无限趋近于18，所以物体的初速度v0为18 m/s.(3)因为物体在t1附近的平均变化率为3t12.当t无限趋近于0时，3t12无限趋近于12，所以物体在t1时的瞬时速度为12 m/s.本题易错点是不理解初速度v0含义， 求物体的初速度v0即求物体在t0时的瞬时速度，求物体在t1时的瞬时速度即为函数在t1处的瞬时变化率防范措施是对数学问题一定要准确理解概念再做题1一木块沿一斜面下滑，下滑的水平距离与时间t之间的函数关系式为st2，当t3时，此木块在水平方向上的瞬时速度为()A1B1.5C2 D3解析：选Bvt，当t0时，v1.5，所以所求瞬时速度为1.5.2已知抛物线
9、yax2bx7过点(1，1)，且在此点处的切线方程为4xy30，则a_，b_.解析：因为ax2axb，所以当x0时，2axb，即点(1，1)处的切线的斜率为2ab.由已知可得，解得a4，b12.答案：4123曲线yx32x24x2在点(1，3)处的切线方程是_解析：因为yx32x24x2，所以(x)2x5，所以当x0时，5，所以点(1，3)处切线斜率为5，所以切线方程为y35(x1)，即5xy20.答案：5xy20A基础达标1做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s3tt2，则物体的初速度是()A1B2C3 D4解析：选C因为ss(0t)s(0)3t(t)2(3002)3t(t)2，所以3
10、t，当t0时，303，即v3.2一物体的运动方程为s7t213t8，且在tt0时的瞬时速度为1，则t0()A1 B2C3 D4解析：选A因为s7(t0t)213(t0t)87t13t0814t0t13t7(t)2，所以 (14t0137t)14t0131，所以t01.3某物体做直线运动，其运动规律是st2(t的单位是秒，s的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为()A米/秒 B米/秒C8米/秒 D米/秒解析：选B因为t8.所以 8.4已知物体运动的速度与时间之间的关系是：v(t)t22t2，则在时间间隔1，1t内的平均加速度是_，在t1时的瞬时加速度是_解析：在1，1t内的平均加速度为t4，当t
11、无限趋近于0时，无限趋近于4.答案：t445已知曲线yx22上一点P，则过点P的切线的倾斜角为_解析：xx，当x无限趋近于0时，无限趋近于x，所以曲线在点P处切线斜率为1，倾斜角为45.答案：456已知f(x)ax33x22，若f(x)在x1处切线斜率为4，则a的值是_解析：因为yf(xx)f(x)a(xx)33(xx)22(ax33x22)3ax2x3ax(x)2a(x)36xx3(x)2，所以3ax23axxa(x)26x3x，所以x0时，3ax26x，所以3a64，解得a.答案：7若直线yx是曲线yx33x2ax的切线，则a_.解析：因为yx33x2ax，设切点(x0，y0)，所以(x)
12、2(3x03)x3x6x0a.所以当x0时，常数3x6x0a.所以 所以或答案：1或8求曲线f(x)3x22x在点(1，1)处切线的方程解：因为3x4.因为当x无限趋近于0时，3x4无限趋近于4，所以曲线f(x)3x22x在点(1，1)处切线的斜率为4.所以切线方程为y14(x1)，即4xy30.9如果一个质点从固定点A开始运动，时间t的位移(单位：m)函数为yf(t)t33，求当t4 s时的瞬时速度解：因为质点在t4 s到(4t)s的位移改变量y(t4)33(433)(t)312(t)248t，所以该时间段内的平均速度(t)212t48.所以当t0时，48，所以质点在t4 s时的瞬时速度为4
13、8 m/s.B能力提升1在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(m)与起跳后的时间t(s)存在函数关系h(t)4.9t26.5t10，则瞬时速度为0 m/s的时刻是()A s B sC s D s解析：选A设tt0时刻的瞬时速度为0 m/s，则hh(t0t)h(t0)9.8t0t6.5t4.9(t)2，所以9.8t06.54.9t，则h(t0) 9.8t06.5，所以9.8t06.50，解得t0 s.2已知物体运动的速度与时间t之间的函数关系为v(t)t22t2，则t1秒时的瞬时加速度为_解析：4t，则当t无限趋近于0时，可得瞬时加速度为4.答案：43以初速度v0(v00)垂直上抛的物体，
14、t秒时的高度为s(t)v0tgt2，求物体在时刻t0处的瞬时速度解：因为sv0(t0t)g(t0t)2(v0gt0)tg(t)2，所以v0gt0gt，当t无限趋近于0时，无限趋近于v0gt0.故物体在时刻t0处的瞬时速度为v0gt0.4(选做题)曲线yx2上哪一点处的切线，(1)平行于直线y4x5；(2)垂直于直线2x6y50；(3)与x轴成135的倾斜角解：设P(x0，y0)是满足条件的点，y(x0x)2x2x0xx2，2x0x，所以当x0时，2x0.(1)因为切线与直线y4x5平行，所以2x04，x02，y04，即P(2，4)是满足条件的点(2)因为切线与直线2x6y50垂直，所以2x01，得x0，y0，即P是满足条件的点(3)因为切线与x轴成135的倾斜角，所以其斜率为1，即2x01，得x0，y0，即P是满足条件的点
