1、2016-2017学年广东省清远市清城区梓琛中学高三（上）第一次模拟数学试卷 （文科）一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1若集合A=0，1，2，3，B=1，2，4，则集合AB=（）A0，1，2，3，4B1，2，3，4C1，2D02在复平面内，复数z=i（1+i）对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3如果函数f（x）=sin（x+）（0）的最小正周期为，则的值为（）AB1C2D44已知向量=（1，2），=（x，1），且，则x等于（）A2BC2D5等比数列an中，a2=1，a8=64，则a5=（）A8B12C8
2、或8D12或126设条件p：a0；条件q：a2+a0，那么p是q的（） 条件A充分非必要B必要非充分C充分且必要D非充分非必要7已知直线l1：ax+2y+1=0与直线l2：（3a）xy+a=0，若l1l2，则a的值为（）A1B2C6D1或28已知函数f（x）=lg（1x）+lg（1+x），g（x）=lg（1x）lg（1+x），则（）Af（x）与g（x）均为偶函数Bf（x）为奇函数，g（x）为偶函数Cf（x）与g（x）均为奇函数Df（x）为偶函数，g（x）为奇函数9执行如图所示的程序框图，若输入n的值为7，则输出的s的值为（）A22B16C15D1110下列命题正确的是（）A若两条直线和同一个平
3、面所成的角相等，则这两条直线平行B若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行11函数sinx在区间0，2上的零点个数为（）A1个B2个C3个D4个12已知双曲线（a0，b0）的离心率为2，一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（）Ay=By=Cy=Dy=二填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13函数f（x）=+ln（x1）的定义域为14从数字1、2、3中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为15已知实数x、y满足，则
4、2xy的最大值是16已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知数列an为等差数列，Sn为其前n项和，若a3=20，2S3=S4+8（1）求数列an的通项公式（2）设bn=（nN*），Tn=b1+b2+bn，求Tn18某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为40，50，50，60，80，90，90，100（1）求频率分布图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分
5、在40，60的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在40，50的概率19如图，在三棱锥PABC中，PAB和CAB都是以AB为斜边的等腰直角三角形，D、E、F分别是PC、AC、BC的中点（1）证明：平面DEF平面PAB； （2）证明：ABPC；（3）若AB=2PC=，求三棱锥PABC的体积20椭圆C： =1，（ab0）的离心率，点（2，）在C上（1）求椭圆C的方程；（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值21设函数f（x）=lnxax2bx（1）当a=b=时，求函数f（x）的单调区间；（2）当a=0，b=1时
6、，方程f（x）=mx在区间1，e2内有唯一实数解，求实数m的取值范围选修4-1：几何证明选讲22如图，ABC是O的内接三角形，PA是O的切线，切点为A，PB交AC于点E，交O于点D，PA=PE，ABC=45，PD=1，DB=8（1）求ABP的面积；（2）求弦AC的长选修4-4：坐标系与参数方程选讲23在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为=2sin，0，2）（）求曲线C的直角坐标方程；（）在曲线C上求一点D，使它到直线l：（t为参数，tR）的距离最短，并求出点D的直角坐标2016-2017学年广东省清远市清城区梓琛中学高三（上）第一次模
7、拟数学试卷 （文科）参考答案与试题解析一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1若集合A=0，1，2，3，B=1，2，4，则集合AB=（）A0，1，2，3，4B1，2，3，4C1，2D0【考点】并集及其运算【分析】按照并集的定义直接写出AB即可【解答】解：A=0，1，2，3，B=1，2，4，AB=0，1，2，3，4故答案为：A2在复平面内，复数z=i（1+i）对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数的基本概念【分析】直接利用复数的乘法运算化简，得到复数z在复平面内对应的点，则答案可求【解答】解：由z=i（
8、1+i）=1+i得复数z=i（1+i）对应的点为（1，1）在复平面内，复数z=i（1+i）对应的点位于第二象限故选：B3如果函数f（x）=sin（x+）（0）的最小正周期为，则的值为（）AB1C2D4【考点】三角函数的周期性及其求法【分析】利用周期公式列出关系式，将已知最小正周期代入求出的值即可【解答】解：函数f（x）=sin（x+）（0）的最小正周期为，=，则=2故选：C4已知向量=（1，2），=（x，1），且，则x等于（）A2BC2D【考点】平面向量数量积的运算【分析】利用=0，即可解得【解答】解：向量=（1，2），=（x，1），且，=x+2=0，解得x=2故选：A5等比数列an中，a2=
9、1，a8=64，则a5=（）A8B12C8或8D12或12【考点】等比数列的性质【分析】由已知条件导出，由此能求出a5【解答】解：等比数列an中，a2=1，a8=64，q6=64，q=2，当q=2时，a1=， =8；当q=2时，a1=， =8故选：C6设条件p：a0；条件q：a2+a0，那么p是q的（） 条件A充分非必要B必要非充分C充分且必要D非充分非必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据不等式的解法求出条件q的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：由a2+a0得a0或a1，即q：a0或a1，p：a0，p是q的充分不必要条件，故选：A7已知直线l1：a
10、x+2y+1=0与直线l2：（3a）xy+a=0，若l1l2，则a的值为（）A1B2C6D1或2【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【分析】求出两条直线的斜率，利用两条直线的平行关系，求出a的值【解答】解：直线l1：ax+2y+1=0与直线l2：（3a）xy+a=斜率都存在，l1l2，k1=k2，即，解得：a=6故选：C8已知函数f（x）=lg（1x）+lg（1+x），g（x）=lg（1x）lg（1+x），则（）Af（x）与g（x）均为偶函数Bf（x）为奇函数，g（x）为偶函数Cf（x）与g（x）均为奇函数Df（x）为偶函数，g（x）为奇函数【考点】函数奇偶性的判断【分析】由题意可得函数f
11、（x）和函数g（x）的定义域为（1，1），且f（x）=f（x），g（x）=g（x），由此可得函数f（x）是奇函数，函数g（x）是偶函数【解答】解：由题意可得函数f（x）和函数g（x）的定义域为（1，1），且f（x）=lg（1x2），g（x）=lg，故有f（x）=f（x），g（x）=lg=lg=g（x），故函数f（x）是偶函数，函数g（x）是奇函数，故选D9执行如图所示的程序框图，若输入n的值为7，则输出的s的值为（）A22B16C15D11【考点】程序框图【分析】根据程序运行条件，分别进行判断，即可得到结论【解答】解：第一次运行，i=1，满足条件i7，s=1+0=1i=2，第二次运行，i=2，
12、满足条件i7，s=1+1=2i=3，第三次运行，i=3，满足条件i7，s=2+2=4i=4，第四次运行，i=4，满足条件i7，s=4+3=7i=5，第五次运行，i=5，满足条件i7，s=7+4=11i=6，第六次运行，i=6，满足条件i7，s=11+5=16i=7，此时i=7，不满足条件i7，程序终止，输出s=16，故选：B10下列命题正确的是（）A若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【考点】空间中直线与平
13、面之间的位置关系；命题的真假判断与应用【分析】利用直线与平面所成的角的定义，可排除A；利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关系可排除B；利用线面平行的判定定理和性质定理可判断C正确；利用面面垂直的性质可排除D【解答】解：A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故A错误；B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；C、设平面=a，l，l，由线面平行的性质定理，在平面内存在直线bl，在平面内存在直线cl，所以由平行公理知bc，从而由线面平行的判定定理可证明b，进而由线面平行的性质定理证明得ba，从而la，故C正确；D，若两个平面
14、都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，排除D故选C11函数sinx在区间0，2上的零点个数为（）A1个B2个C3个D4个【考点】函数零点的判定定理【分析】解：令f（x）=0，则x=sinx，原问题在区间0，2上的零点个数就转化为两个函数y=x和y=sinx的交点问题，分别画出它们的图象，由图知交点个数【解答】解：令f（x）=0，则x=sinx，上的零点个数就转化为两个函数y=x和y=sinx的交点问题，分别画出它们的图象：由图知交点个数是2故选B12已知双曲线（a0，b0）的离心率为2，一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（）Ay=By=Cy=Dy=【考点】双曲
15、线的简单性质【分析】由抛物线的标准方程，得焦点坐标为F（4，0），也是双曲线的右焦点，得c=4根据双曲线的离心率为2，得a=c=1，从而得到b=，结合双曲线的渐近线方程公式，可得本题的答案【解答】解：抛物线y2=16x的焦点坐标为F（4，0），双曲线一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同，双曲线右焦点为F（4，0），得c=2双曲线的离心率为2，=2，得c=2a=2，a=1，由此可得b=，双曲线的渐近线方程为y=x已知双曲线的渐近线方程为y=x故选D二填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13函数f（x）=+ln（x1）的定义域为（1，2【考点】函数的定义域及其求法【分析】由题意可得，解得1x2
16、，即可得定义域【解答】解：由题意可得，解得1x2，故函数的定义域为：（1，2，故答案为：（1，214从数字1、2、3中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】列举出所有的两位数，找到其中大于30的，由概率公式可得【解答】解：从数字1、2、3中任取两个不同的数字构成一个两位数的结果有：12，21，13，31，23，32共6个，其中满足这个两位数大于30的有31和32共2个数，所求概率P=故答案为：15已知实数x、y满足，则2xy的最大值是1【考点】简单线性规划【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线可得结论【解答】解：作出所对应可行
17、域（如图ABC），变形目标函数z=2xy可得y=2xz，平移直线y=2x可得当直线经过点A（1，1）时，直线的截距最小，z取最大值，代值计算可得最大值为1故答案为：116已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是4【考点】由三视图求面积、体积【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其底面面积S=（2+4）2=6，高h=2，故体积V=Sh=4，故答案为：4三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知数列an为等差数列，Sn为
18、其前n项和，若a3=20，2S3=S4+8（1）求数列an的通项公式（2）设bn=（nN*），Tn=b1+b2+bn，求Tn【考点】数列的求和；等差数列的通项公式【分析】（1）运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程组，可得首项和公差，即可得到所求通项；（2）求得bn=（），再由数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理，即可得到所求和【解答】解：（1）设数列an的公差为d，由2S3=S4+8得：2（3a1+d）=4a1+d+8，解得a1=4；由a3=a1+2d=20，所以d=8，故数列an的通项公式为：an=a1+（n1）d=8n4；（2）由（1）可得，则18某企业为了解下属某部门对本企业职工的
19、服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为40，50，50，60，80，90，90，100（1）求频率分布图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在40，60的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在40，50的概率【考点】频率分布直方图【分析】（1）利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为1，得到a；（2）对该部门评分不低于80的即为90和100，的求出频率，估计概率；（3）求出评分在40，60的受访职工和评分都在40，50的人数，随机抽取2人，列举法求出所有可能，利用古典概
20、型公式解答【解答】解：（1）因为（0.004+a+0.018+0.0222+0.028）10=1，解得a=0.006；（2）由已知的频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于80的频率为（0.022+0.018）10=0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4；（3）受访职工中评分在50，60）的有：500.00610=3（人），记为A1，A2，A3；受访职工评分在40，50）的有：500.00410=2（人），记为B1，B2从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，分别是A1，A2，A1，A3，A1，B1，A1，B2，A2，A3，A2，B1，A2，B
21、2，A3，B1，A3，B2，B1，B2，又因为所抽取2人的评分都在40，50）的结果有1种，即B1，B2，故所求的概率为P=19如图，在三棱锥PABC中，PAB和CAB都是以AB为斜边的等腰直角三角形，D、E、F分别是PC、AC、BC的中点（1）证明：平面DEF平面PAB； （2）证明：ABPC；（3）若AB=2PC=，求三棱锥PABC的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面平行的判定【分析】（1）根据三角形的中位线定理可得EFAB，DFPB，利用面面平行的判定定理可证平面DEF平面PAB；（2）先证AB平面PGC，再由线面垂直的性质得ABPC（3）先求得三角形PGC的面积，根据VPA
22、BC=SPGCAB计算棱锥的体积【解答】解：（1）证明：E、F分别是AC、BC的中点，EFABAB平面PAB，EF平面PAB，EF平面PAB，同理DF平面PABEFDF=F且EF平面DEF，DF平面DEF，平面DEF平面PAB（2）证明：取AB的中点G，连结PG、CG，PAB和CAB都是以AB为斜边的等腰直角三角形，PGAB，CGAB，PGCG=G，且PG平面PCG，CG平面PCG，AB平面PCGPC平面PCG，ABPC；（3）解：在等腰直角三角形PAB中，G是斜边AB的中点，同理 ，PCG是等边三角形，AB平面PCG，20椭圆C： =1，（ab0）的离心率，点（2，）在C上（1）求椭圆C的方
23、程；（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】（1）利用椭圆的离心率，以及椭圆经过的点，求解椭圆的几何量，然后得到椭圆的方程（2）设直线l：y=kx+b，（k0，b0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理求解KOM，然后推出直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值【解答】解：（1）椭圆C： =1，（ab0）的离心率，点（2，）在C上，可得，解得a2=8，b2=4，所求椭圆C方程为：（2）设直线l：y=kx+
24、b，（k0，b0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），把直线y=kx+b代入可得（2k2+1）x2+4kbx+2b28=0，故xM=，yM=kxM+b=，于是在OM的斜率为：KOM=，即KOMk=直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值21设函数f（x）=lnxax2bx（1）当a=b=时，求函数f（x）的单调区间；（2）当a=0，b=1时，方程f（x）=mx在区间1，e2内有唯一实数解，求实数m的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理【分析】（1）将a，b的值代入，求出函数f（x）的表达式，导数，从而求出函数的单调区间；（2）将a，b的值代入函数的表达式
25、，问题转化为只需m=1+有唯一实数解，求出函数y=g（x）=1+的单调性，从而求出m的范围【解答】解：（1）依题意，知f（x）的定义域为（0，+），当a=b=时，f（x）=lnxx2x，f（x）=，令f（x）=0，解得：x=1或x=2（舍去），经检验，x=1是方程的根当0x1时，f（x）0，当x1时，f（x）0，所以f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+）（2）当a=0，b=1时，f（x）=lnx+x，由f（x）=mx得mx=lnx+x，又因为x0，所以m=1+，要使方程f（x）=mx在区间1，e2内有唯一实数解，只需m=1+有唯一实数解，令g（x）=1+（x0），g（x）
26、=（x0），由g（x）0，得：0xe，由g（x）0，得xe，所以g（x）在区间1，e上是增函数，在区间e，e2上是减函数，g（1）=1+=1，g（e2）=1+=1+，g（e）=1+=1+，所以m=1+或1m1+选修4-1：几何证明选讲22如图，ABC是O的内接三角形，PA是O的切线，切点为A，PB交AC于点E，交O于点D，PA=PE，ABC=45，PD=1，DB=8（1）求ABP的面积；（2）求弦AC的长【考点】与圆有关的比例线段【分析】（1）利用圆的切线的性质，结合切割线定理，求出PA，即可求ABP的面积；（2）由勾股定理得AE，由相交弦定理得EC，即可求弦AC的长【解答】解：（1）因为PA
27、是O的切线，切点为A，所以PAE=ABC=45，又PA=PE，所以PEA=45，APE=90因为PD=1，DB=8，所以由切割线定理有PA2=PDPB=9，所以EP=PA=3，所以ABP的面积为BPPA= （2）在RtAPE中，由勾股定理得AE=3又ED=EPPD=2，EB=DBDE=82=6，所以由相交弦定理得ECEA=EBED=12 所以EC=2，故AC=5选修4-4：坐标系与参数方程选讲23在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为=2sin，0，2）（）求曲线C的直角坐标方程；（）在曲线C上求一点D，使它到直线l：（t为参数，tR）的距离最短，并求出点D的直角坐标【考点】参数方程化成普通方程【分析】（I）极坐标方程两边同乘，得出曲线C的直角坐标方程；（II）求出直线l的普通方程和取出C的参数方程，代入点到直线的距离公式，根据三角函数的性质求出距离最小值，得出对应的D点坐标【解答】解：（I）=2sin，2=2sin，曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2y（II）直线l的普通方程为x+y5=0曲线C的参数方程为（为参数）设D（cos，1+sin）则D到直线l的距离d=2sin（）当=时，d取得最小值1此时D点坐标为（，）2016年12月25日
