1、专题36数列的概念与表示 知识梳理考纲要求考点预测常用结论方法技巧题型归类题型一：由an与Sn的关系求通项题型二：累加法题型三：累乘法题型四：数列的单调性题型五：数列的周期性培优训练训练一：训练二：训练三：训练四：训练五：训练六：强化测试单选题：共8题多选题：共4题填空题：共4题解答题：共6题一、【知识梳理】【考纲要求】1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.【考点预测】1数列的定义按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项2数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的
2、大小关系递增数列an1an其中nN*递减数列an1an常数列an1an摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的通项公式如果数列an的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式4数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式【常用结论】1.若数列an的前n项和为Sn，通项公式为an，则an2.在数列an中，若an最大，则若an最小，则【方法技巧】1.已知Sn求an的常用方法是利用an转化为关于an的关系式，再求通项公式.2.Sn与an关系问题的求解
3、思路方向1：利用anSnSn1(n2)转化为只含Sn，Sn1的关系式，再求解.方向2：利用SnSn1an(n2)转化为只含an，an1的关系式，再求解.3.形如an1anf(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项.4.形如an1anf(n)的递推关系式可化为f(n)的形式，可用累乘法，也可用ana1代入求出通项.5.形如an1panq的递推关系式可以化为(an1x)p(anx)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键.6.形如an1(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.7.解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干
4、项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和.8.求数列最大项与最小项的常用方法(1)函数法：利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性，直接确定最大(小)项，否则，利用作差法.(2)利用(n2)确定最大项，利用(n2)确定最小项.二、【题型归类】【题型一】由an与Sn的关系求通项【典例1】(多选)设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则下列结论正确的是()A.an B.anC.Sn D.数列是等差数列【解析】an1SnSn1Sn1Sn，两边同除以Sn1Sn，得1.是以1为首项，d1的等差数列，即1(n1)(1)n，Sn.当n2时，anSnSn1，又a
5、11不符合上式，an故选BCD.【典例2】已知数列an中，Sn是其前n项和，且Sn2an1，则数列的通项公式an_.【解析】当n1时，a1S12a11，a11.当n2时，Sn2an1，Sn12an11.，SnSn12an2an1，即an2an2an1，即an2an1(n2)，an是首项a11，q2的等比数列.ana1qn12n1.【典例3】设数列an的前n项和为Sn，数列Sn的前n项和为Tn，满足Tn2Snn2，nN.求a1的值；求数列an的通项公式.【解析】令n1时，T12S11，T1S1a1，a12a11，a11.n2时，Tn12Sn1(n1)2，则SnTnTn12Snn22Sn1(n1)
6、22(SnSn1)2n12an2n1.因为当n1时，a1S11也满足上式，所以Sn2an2n1(n1)，当n2时，Sn12an12(n1)1，两式相减得an2an2an12，所以an2an12(n2)，所以an22(an12)，因为a1230，所以数列an2是以3为首项，公比为2的等比数列.所以an232n1，an32n12，当n1时也成立，所以an32n12.【题型二】累加法【典例1】在数列an中，a12，an1anln，则an等于()A2ln n B2(n1)ln nC2nln n D1nln n【解析】因为an1anlnln(n1)ln n，所以a2a1ln 2ln 1，a3a2ln 3
7、ln 2，a4a3ln 4ln 3，anan1ln nln(n1)(n2)，把以上各式分别相加得ana1ln nln 1，则an2ln n(n2)，且a12也适合，因此an2ln n(nN*)故选A.【典例2】在数列an中，a13，an1an，则通项公式an_.【解析】an1an，当n2时，anan1，an1an2，a2a11，以上各式相加得，ana11，an4，a13适合上式，an4.【题型三】累乘法【典例1】已知数列an的前n项和为Sn，其首项a11，且满足3Sn(n2)an，则an_.【解析】3Sn(n2)an，3Sn1(n1)an1(n2)，由得，3an(n2)an(n1)an1，即，
8、ana11.当n1时，满足an，an.【典例2】已知a12，an12nan，则数列an的通项公式an_.【解析】2n，当n2时，2n1，2n2，22，2，ana12n12n222222123(n1)2，又a12满足上式，an.【题型四】数列的单调性【典例1】已知数列an的通项公式为an，若数列an为递减数列，则实数k的取值范围为()A(3，) B(2，)C(1，) D(0，)【解析】因为an1an，由数列an为递减数列知，对任意nN*，an1an0，所以k33n对任意nN*恒成立，所以k(0，)故选D【典例2】等差数列an的公差d0，且aa，则数列an的前n项和Sn取得最大值时的项数n的值为(
9、)A5 B6C5或6 D6或7【解析】由aa，可得(a1a11)(a1a11)0，因为d0，所以a1a110，所以a1a110，又2a6a1a11，所以a60.因为d0，所以an是递减数列，所以a1a2a5a60a7a8，显然前5项和或前6项和最大.故选C【题型五】数列的周期性【典例1】若数列an满足a12，an1，则a2 022的值为()A2B3C D.【解析】因为a12，an1，所以a23，同理可得a3，a4，a52，a63，a7，a8，可得an4an，则a2 022a50542a23.故选B.【典例2】已知数列an中，a11，a22，且anan2an1(nN)，则a2 020的值为()A
10、2 B1C. D.【解析】因为anan2an1(nN)，由a11，a22，得a32，由a22，a32，得a41，由a32，a41，得a5，由a41，a5，得a6，由a5，a6，得a71，由a6，a71，得a82，由此推理可得数列an是周期为6的数列，所以a2 020a41.故选B.三、【培优训练】【训练一】已知各项均为正数的数列an满足an1an2n，a113，则取最小值时，n()A.3 B.4 C.5 D.6【解析】由an1an2n得，当n1时，a2a121，当n2时，a3a222，第n1项，anan12(n1)，累加可得ana1212(n1)n(n1)，ann2n13，n121，当且仅当n
11、时取等号，又nN*，当n3时，；当n4时，所以n4时，取得最小值.故选B.【训练二】(多选)若数列an满足a11，a23，anan2an1(n3)，记数列an的前n项积为Tn，则下列说法正确的有()ATn无最大值 Ban有最大值CT2 0231 Da2 0231【解析】因为a11，a23，anan2an1(n3)，所以a33，a41，a5，a6，a71，a83，因此数列an为周期数列，an6an，an有最大值3，a2 023a11，因为T11，T23，T39，T49，T53，T61，T71，T83，所以Tn为周期数列，Tn6Tn，Tn有最大值9，T2 023T11.故选BCD.【训练三】设数列
12、an的前n项和为Sn，满足Sn(1)nan，则S1S3S5等于()A0 B. C. D.【解析】数列an的前n项和为Sn，满足Sn(1)nan，当n为偶数时，SnSnSn1，即有Sn1，所以S1S3S5.故选D.【训练四】意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，即F(1)F(2)1，F(n)F(n1)F(n2)(n3，nN*)，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用若此数列被2整除后的余数构成一个新数列an，则数列an的前2 020项的和为()A672 B673C1 347 D2 020【解析】由数列1，1
13、，2，3，5，8，13，21，34，55，各项除以2的余数，可得an为1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，所以an是周期为3的周期数列，一个周期中的三项之和为1102，因为2 02067331，所以数列an的前2 020项的和为673211 347，故选C.【训练五】若数列an满足：对于任意正整数n，an1an为单调递减数列，则称数列an为“差递减数列”给出下列an(nN*)，其中是“差递减数列”的有()Aan3nBann21Can Danln【解析】对于A，苦an3n，则an1an3(n1)3n3，所以an1an不是单调递减数列，故A错误；对于B，若ann21，则an1an(n1)21n
14、212n1，所以an1an是单调递增数列，不是单调递减数列，故B错误；对于C，若an，则an1an，所以an1an为单调递减数列，故C正确；对于D，若anln，则an1anlnlnlnln，由函数yln在(0，)上单调递减，可知数列an1an为单调递减数列，故D正确故选CD.【训练六】设数列an的前n项和为Sn.已知a1a(a3)，an1Sn3n，nN*.(1)设bnSn3n，求数列bn的通项公式；(2)若an1an，nN*，求a的取值范围【解析】(1)依题意得Sn1Snan1Sn3n，即Sn12Sn3n，由此得Sn13n12(Sn3n)，即bn12bn，又b1S13a3，因此，所求通项公式为
15、bn(a3)2n1，nN*.(2)由(1)可知Sn3n(a3)2n1，nN*，于是，当n2时，anSnSn13n(a3)2n13n1(a3)2n223n1(a3)2n2，an1an43n1(a3)2n22n2，所以，当n2时，an1an12a30a9，又a2a13a1，a3.所以，所求的a的取值范围是9，3)(3，)四、【强化测试】【单选题】1. 数列3，6，12，21，x，48，中的x() A29B33C34 D28【解析】因为63313，126623，2112933，所以根据规律可得x2143，所以x211233.同时也满足48331553.故选B.2. 已知数列an满足：m，nN*，都有
16、anamanm，且a1，那么a5()A.B.C.D.【解析】因为数列an满足：m，nN*，都有anamanm，且a1，所以a2a1a1，a3a1a2.那么a5a3a2.故选A.3. 在数列an中，“|an1|an”是“数列an为递增数列”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】“|an1|an”an1an或an1an，充分性不成立，数列an为递增数列|an1|an1an成立，必要性成立，所以“|an1|an”是“数列an为递增数列”的必要不充分条件故选B.4. 已知递增数列an，an0，a10.对于任意的正整数n，不等式t2a3t3an0恒成立，则正数t的
17、最大值为()A1 B2C3 D6【解析】因为数列an是递增数列，又t2a3t3an(tan3)(tan)0，tan0，所以tan3恒成立，t(an3)mina133，所以tmax3.故选C.5. 数列an满足a11，对任意nN*，都有an11ann，则()A B2C D【解析】由an11ann，得an1ann1，则an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1n(n1)1，则，则22.故选C6. 已知数列an满足2，a120，则的最小值为()A4 B41C8 D9【解析】由an1an2n知a2a121，a3a222，anan12(n1)，n2，以上各式相加得ana1n2n，n2，所以ann
18、2n20，n2，当n1时，a120符合上式，所以n1，nN*，所以n4时单调递减，n5时单调递增，因为，所以的最小值为8.故选C7. 在各项均为正数的数列an中，对任意m，nN*，都有amnaman.若a664，则a9等于()A256 B510 C512 D1 024【解析】在各项均为正数的数列an中，对任意m，nN*，都有amnaman.所以a6a3a364，a38.所以a9a6a3648512.故选C.8. 已知数列an的前n项和为Sn，且满足4(n1)(Sn1)(n2)2an，则数列an的通项公式为()A(2n1)21 B(2n1)2C8n2 D(n1)3【解析】在4(n1)(Sn1)(
19、n2)2an中，令n1，得8(a11)9a1，所以a18，因为4(n1)(Sn1)(n2)2an，所以4n(Sn11)(n1)2an1(n2)，得，4ananan1，即anan1，anan1，所以ana18(n1)3(n2)，又a18也满足此式，所以数列an的通项公式为(n1)3.故选D.【多选题】9. 下列四个命题中，正确的有()A数列的第k项为1B已知数列an的通项公式为ann2n50，nN*，则8是该数列的第7项C数列3,5,9,17,33，的一个通项公式为an2n1D数列an的通项公式为an，nN*，则数列an是递增数列【解析】对于A，数列的第k项为1，A正确；对于B，令n2n508，
20、得n7或n6(舍去)，B正确；对于C，将3,5,9,17,33，的各项减去1，得2,4,8,16,32，设该数列为bn，则其通项公式为bn2n(nN*)，因此数列3,5,9,17,33，的一个通项公式为anbn12n1(nN*)，C错误；对于D，an1，则an1an0，因此数列an是递增数列，D正确故选ABD.10. 若数列an满足：对任意正整数n，an1an为递减数列，则称数列an为“差递减数列”给出下列数列an(aN*)，其中是“差递减数列”的有()Aan3n Bann21Can Danln【解析】对于A，若an3n，则an1an3(n1)3n3，所以an1an不为递减数列，故A错误；对于
21、B，若ann21，则an1an(n1)2n22n1，所以an1an为递增数列，故B错误；对于C，若an，则an1an，所以an1an为递减数列，故C正确；对于D，若anln，则an1anlnlnlnln，由函数yln在(0，)上单调递减，所以an1an为递减数列，故D正确故选CD.11. 已知数列an的通项公式为an(nN*)，则下列结论正确的是()A这个数列的第10项为B.是该数列中的项C数列中的各项都在区间内D数列an是单调递减数列【解析】an，令n10得a10，故A错误；令得n33N*，故是数列中的项，故B正确；因为an1，又nN*.所以数列an是单调递增数列，所以an1，故C正确，D不
22、正确12. 对于数列an，若存在数列bn满足bnan(nN*)，则称数列bn是an的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是()A若数列an是单增数列，则其“倒差数列”不一定是单增数列B若an3n1，则其“倒差数列”有最大值C若an3n1，则其“倒差数列”有最小值D若an1n，则其“倒差数列”有最大值【解析】若数列an是单增数列，则bnbn1anan1(anan1)，虽然有anan1，但当10时，bnbn1，因此bn不一定是单增数列，A正确；an3n1，则bn3n1，易知bn是递增数列，无最大值，B错误；C正确，最小值为b1.若an1n，则bn1n，函数yx在(0，)上单调递增，当n为偶
23、数时，an1n(0,1)，bnan1，显然an是单调递减的，因此bnan也是单调递减的，即b1b3b5，bn的奇数项中有最大值为b10，b1是数列bn(nN*)中的最大值，D正确故选ACD.【填空题】13. 已知数列an的首项a11，前n项和为Sn，且满足2an1Sn2(nN*)，则数列an的通项公式an_.【解析】因为2an1Sn2，当n2时，2anSn12，式减式得an1an，又当n1时，2a2S12，a2，所以数列an是以1为首项，公比为的等比数列，an.14. 已知数列an的通项公式an，若a1a2ana1a2ak对nN*恒成立，则正整数k的值为_.【解析】an，当n5时，an1；当n6时，ana1a2a3a4，a5a6a7an1(nN*)数列an中的最大项为a52，最小项为a40.(2)an11，已知对任意的nN*，都有ana6成立，结合函数f(x)1的单调性，可知56，即10aa1a2a3a4，a5a6a7an1(nN*).数列an中的最大项为a52，最小项为a40.(2)an11，已知对任意的nN*，都有ana6成立，结合函数f(x)1的单调性，可知56，即10a8.故a的取值范围是(10，8).
