1、专题35复数知识梳理考纲要求考点预测常用结论方法技巧题型归类题型一：复数的概念题型二：复数的四则运算题型三：复数的几何意义培优训练训练一：训练二：训练三：训练四：训练五：训练六：强化测试单选题：共8题多选题：共4题填空题：共10题一、【知识梳理】【考纲要求】1.理解复数的基本概念.2.理解复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示法及其几何意义.4.能进行复数代数形式的四则运算.5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.【考点预测】1复数的有关概念(1)复数的定义：形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中a是实部，b是虚部，i为虚数单位(2)复数的分类：复数zabi(a，bR)(3)复数相等
2、：abicdiac且bd(a，b，c，dR)(4)共轭复数：abi与cdi互为共轭复数ac，bd(a，b，c，dR)(5)复数的模：向量的模叫做复数zabi的模或绝对值，记作|abi|或|z|，即|z|abi|(a，bR)2复数的几何意义(1)复数zabi(a，bR)复平面内的点Z(a，b)(2)复数zabi(a，bR)平面向量.3复数的四则运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则：设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i
3、；除法：i(cdi0)(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即，.【常用结论】1.i的乘方具有周期性i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，i4ni4n1i4n2i4n30，nN*.2.(1i)22i，i；i.3.复数的模与共轭复数的关系z|z|2|2.【方法技巧】1.解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可(2)解题时一定要先看复数是否为abi(a，bR
4、)的形式，以确定实部和虚部2.复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算3.复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数4.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观二、【题型归类】【题型一】复数的概念【典例1】如果复数(bR)的实部与虚部相等，那么b()A.2 B.1 C.2 D.4【解析】b2i，所以实部为b，虚部为2，故b的值为2.故选A.【典例2】(多选)若复数z，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是()A.z的虚部为1B.|z|C.z2为纯虚数D.z的共轭复数为1i【解析】z1i，对于A
5、，z的虚部为1，正确；对于B，模长|z|，正确；对于C，因为z2(1i)22i，故z2为纯虚数，正确；对于D，z的共轭复数为1i，错误.故选ABC.【典例3】(多选)设z1，z2是复数，则下列命题中的真命题是()A.若|z1z2|0，则12B.若z12，则1z2C.若|z1|z2|，则z11z22D.若|z1|z2|，则zz【解析】对于A，若|z1z2|0，则z1z20，z1z2，所以12为真；对于B，若z12，则z1和z2互为共轭复数，所以1z2为真；对于C，设z1a1b1i，z2a2b2i，a1，b1，a2，b2R，若|z1|z2|，则，即abab，所以z11ababz22，所以z11z2
6、2为真；对于D，若z11，z2i，则|z1|z2|，而z1，z1，所以zz为假.故选ABC.【题型二】复数的四则运算【典例1】(多选)设z1，z2，z3为复数，z10.下列命题中正确的是()A若|z2|z3|，则z2z3B若z1z2z1z3，则z2z3C若2z3，则|z1z2|z1z3|D若z1z2|z1|2，则z1z2【解析】由|i|1|，知A错误；z1z2z1z3，则z1(z2z3)0，又z10，所以z2z3，故B正确；|z1z2|z1|z2|，|z1z3|z1|z3|，又2z3，所以|z2|2|z3|，故C正确，令z1i，z2i，满足z1z2|z1|2，不满足z1z2，故D错误故选BC.
7、【典例2】在数学中，记表达式adbc为由所确定的二阶行列式若在复数域内，z11i，z2，z32，则当i时，z4的虚部为_【解析】依题意知，z1z4z2z3，因为z32，且z2，所以z2z3|z2|2，因此有(1i)z4i，即(1i)z43i，故z412i.所以z4的虚部是2.【典例3】若z，则|z|_；z_.【解析】z，|z|，zii1.【题型三】复数的几何意义【典例1】已知i为虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【解析】，其共轭复数为i，在复平面内对应的点位于第二象限.故选B【典例2】设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称
8、，z12i(i为虚数单位)，则z1z2()A5 B5 C4i D4i【解析】因为复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z12i，所以z22i，所以z1z2(2i)(2i)5.故选A.【典例3】已知复数z112i，z21i，z334i，它们在复平面内对应的点分别为A，B，C，若(，R)，则的值是_【解析】由条件得(3，4)，(1，2)，(1，1)，根据得(3，4)(1，2)(1，1)(，2)，所以解得所以1.三、【培优训练】【训练一】在复数列an中，已知a1i，anai(n2，nN*)，则_【解析】因为a1i，所以a2ai(i)2ii1；a3(i1)2ii；a4(i)2ii1；a5(i1
9、)2ii；a2 019i；a2 020i1.则.【训练二】在数学中，记表达式adbc是由所确定的二阶行列式若在复数域内，z11i，z2，z32，则当i时，z4的虚部为_【解析】根据题意有z1z4z2z3，因为z32，z2，所以z2z3z22，因此有(1i)z4i，即(1i)z43i，整理得z412i.所以z4的虚部是2.【训练三】(2022青岛模拟)已知复数z满足|z1i|1，则|z|的最小值为()A1 B.1 C. D.1【解析】令zxyi(x，yR)，则由题意有(x1)2(y1)21，|z|的最小值即为圆(x1)2(y1)21上的动点到原点的最小距离，|z|的最小值为1.【训练四】已知复数
10、zxyi(x，yR)，且满足|z2|1，则的取值范围是_.【解析】复数zxyi，且|z2|1，所以(x2)2y21，它表示圆心为(2，0)，半径为1的圆，则表示圆上的点与原点连线的斜率，由题意设过点O且与圆相切的直线方程为ykx，则消去y，整理得(k21)x24x30，由1612(k21)0，解得k或k，由题意得的取值范围是.【训练五】已知复数z满足z234i，且z在复平面内对应的点位于第三象限(1)求复数z；(2)设aR，且2，求实数a的值【解析】(1)设zcdi(c0，d0)，则z2(cdi)2c2d22cdi34i，解得或(舍去)z2i.(2)2i，i，2 021i2 021i2 020
11、1i50541i，|ai|2，a.【训练六】若虚数z同时满足下列两个条件：z是实数；z3的实部与虚部互为相反数这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由【解析】这样的虚数存在，z12i或z2i.设zabi(a，bR且b0)，zabiabii.因为z是实数，所以b0.又因为b0，所以a2b25.又z3(a3)bi的实部与虚部互为相反数，所以a3b0.由得解得或故存在虚数z，z12i或z2i.四、【强化测试】【单选题】1. 设z32i，则在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限【解析】由题意，得32i，其在复平面内对应的点为(3，2)，位于第三象限.故选
12、C2. 若复数z1为纯虚数，则实数a()A2 B1C1 D2【解析】因为复数z111i为纯虚数，所以10且0，解得a2.故选A3. 已知复数z(12i)(1ai)(aR)，若zR，则实数a()A.BC2 D2【解析】z(12i)(1ai)(12a)(2a)i，因为zR，所以2a0，即a2.故选D.4. 如图，已知复数z在复平面内对应的向量为，O为坐标原点，则|z|为()A1 BC. D2【解析】因为向量(1，1)，所以复数z对应的点为(1，1)，所以|z|。故选B.5. 在复平面内，复数z对应的点与1i对应的点关于实轴对称，则z等于()A1i B1iC1i D1i【解析】1i在复平面内对应点为
13、(1,1)，关于实轴对称的点为(1，1)，z1i.故选D.6. 若复数z满足z(1i)|1i|i，则z的实部为()A. B.1C1 D.【解析】由z(1i)|1i|i，得zi，故z的实部为.故选A.7. 已知i是虚数单位，则“ai”是“a21”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】i是虚数单位，则i21，“ai”是“a21”的充分条件；由a21，得ai，故“ai”是“a21”的不必要条件；故“ai”是“a21”的充分不必要条件故选A.8. 在复数范围内，已知p，q为实数，1i是关于x的方程x2pxq0的一个根，则pq等于()A2 B1 C0 D1【解析】
14、因为1i是关于x的方程x2pxq0的一个根，则1i是方程x2pxq0的另一根，由根与系数的关系可得解得p2，q2，所以pq0.故选C.【多选题】9. 已知i为虚数单位，复数z，则以下说法正确的是()A.z在复平面内对应的点在第一象限B.z的虚部是C.|z|3D.若复数z1满足|z1z|1，则|z1|的最大值为1【解析】zi，z在复平面内对应的点为，在第一象限，故A正确；z的虚部是，故B不正确；|z|，故C不正确；设z1xyi，x，yR，由|z1z|1得1，则点(x，y)在以为圆心，以1为半径的圆上，则(x，y)到(0，0)的距离的最大值为11，即|z1|的最大值为1，故D正确.故选AD.10.
15、 若复数z满足(1i)z53i(其中i是虚数单位)，则()Az的虚部为iBz的模为Cz的共轭复数为4iDz在复平面内对应的点位于第四象限【解析】由(1i)z53i得z4i，所以z的虚部为1，A错误；z的模为，B正确；z的共轭复数为4i，C错误；z在复平面内对应的点为(4，1)，位于第四象限，D正确故选BD.11. 下面是关于复数z的四个命题，其中真命题的是( )A|z|2 Bz22iCz的共轭复数为1i Dz的虚部为1【解析】z1i，|z|，z22i，z的共轭复数为1i，z的虚部为1.故选BD.12. 在复平面内，下列命题是真命题的是()A若复数z满足R，则zRB若复数z满足z2R，则zRC若
16、复数z1，z2满足z1z2R，则z12D若复数zR，则R【解析】对于A，设复数zabi(a，bR)，则i，若R，则b0，所以zaR，故A为真命题；对于B，若复数zi，则z21R，但zR，故B为假命题；对于C，若复数z1i，z22i满足z1z22R，但z12，故C为假命题；对于D，若复数zabiR，则b0，zR，故D为真命题【填空题】13. 设复数z满足|1i|i(i为虚数单位)，则复数z_【解析】复数z满足|1i|ii，则复数zi.14. 已知复数z(i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x2ym0上，则m_【解析】z12i，复数z在复平面内对应的点的坐标为(1，2)，将其代入x2ym0，得m
17、5.15. 当复数z(m3)(m1)i(mR)的模最小时，_【解析】|z|，所以当m1时，|z|min2，所以1i.16. 已知复数z11i，z246i(i为虚数单位)，则_；若复数z1bi(bR)满足zz1为实数，则|z|_【解析】因为z11i，z246i，所以15i.因为z1bi(bR)，所以zz12(b1)i，又因为zz1为实数，所以b10，得b1.所以z1i，则|z|.17. 设复数满足z|1i|i(i为虚数单位)，则复数z_【解析】复数z满足|1i|ii，则复数zi.18. 已知复数z(i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x2ym0上，则m_【解析】z12i，复数z在复平面内对应的
18、点的坐标为(1，2)，将其代入x2ym0，得m5.19. 已知aR，则复数z(a22a4)(a22a2)i所对应的点在第_象限，复数z对应点的轨迹是_【解析】令zxyi(x，yR)，xa22a4(a1)233，y(a22a2)(a1)211，消去a22a得yx2(x3)，故复数z所对应的点在第四象限，z对应点的轨迹为一条射线，其方程为yx2(x3)20. 如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是z1，z2，则|z1z2|_【解析】由图象可知z1i，z22i，故|z1z2|22i|2.21. 设复数z1，z2满足|z1|z2|2，z1z2i，则|z1z2|
19、_【解析】方法一：设z1x1y1i(x1，y1R)，z2x2y2i(x2，y2R)，则由|z1|z2|2，得xyxy4.因为z1z2x1x2(y1y2)ii，所以|z1z2|2(x1x2)2(y1y2)2xyxy2x1x22y1y282x1x22y1y2()2124，所以2x1x22y1y24，所以|z1z2|x1x2(y1y2)i|2.方法二：设z1abi(a，bR)，则z2a(1b)i，则即所以|z1z2|2(2a)2(2b1)24(a2b2)4(ab)44442412，所以|z1z2|2.方法三：题设可等价转化为向量a，b满足|a|b|2，ab(，1)，求|ab|.因为(ab)2(ab)22|a|22|b|2，所以4(ab)216，所以|ab|2，即|z1z2|2.方法四：设z1z2zi，则z在复平面上对应的点为P(，1)，所以|z1z2|z|2，由平行四边形法则知OAPB是边长为2，一条对角线也为2的菱形，则另一条对角线的长为|z1z2|222.22. 若复数zii2 022，则的模等于_.【解析】zii2 022i1，1i66i，其模为6.
