1、2024年中考数学圆训练专题-综合题型（八）1【答案】（1）证明： BAC=CEB ， CEB=DCA ， BAC=DCA ，AB/CD ；（2）证明：连接 EO 并延长交 O 于 G ，连接 CG ，如图1所示： 则 EG 为 O 的直径，ECG=90 ，OC=OG ，OCG=EGC ，EAC=EGC ， EAC=DCE ，DCE=EGC=OCG ，OCG+OCE=ECG=90 ，DCE+OCE=90 ，即 DCO=90 ，OC 是 O 的半径，CD 是 O 的切线；（3）解：在 RtADC 中，由勾股定理得： AC=AD2+CD2=82+62=10 ， cosACD=CDAC=610=35
2、 ，CD 是 O 的切线， AB/CD ，ABC=ACD=CAB ，BC=AC=10 ， AB=2BCcosABC=21035=12 ，过点B作 BGAC 于C，如图2所示：设 GC=x ，则 AG=10x ，由勾股定理得： AB2AG2=BG2=BC2GC2 ，即： 122(10x)2=102x2 ，解得： x=145 ，GC=145 ，BG=BC2GC2=102(145)2=485 ，tanACB=BGGC=485145=2472【答案】（1）证明：ODBC， CD=BD ，CADFCD，又ADCCDF，ACDCFD；（2）证明：连接OC，如图1所示： AB是O的直径，ACB90，ABC+
3、CAB90，OBOC，OBCOCB，CDAOBC，CDAGCA，OCBGCA，OCGGCA+OCAOCB+OCA90，CGOC，OC是O的半径，CG是O的切线；（3）解：连接BD，如图2所示： CADCBD，ODBC，sinCADsinCBD DEBD=13 ，BECE，设DEx，ODOBr，则OErx，BD3x在RtBDE中，BE BD2DE2=9x2x2=22x ，BC2BE 42x ，在RtOBE中，OE2+BE2OB2，即(rx)2+( 22x )2r2，解得：r 92x ，AB2r9x，在RtABC中，AC2+BC2AB2，AC2+( 42x )2(9x)2，AC7x或AC7x（舍去
4、），tanCDAtanCBA ACBC=7x42x 728 .4【答案】（1）证明：如图，连接 OE、OD，DA 是 O 的切线， OAD=90在 AOD 和 EOD 中， OA=OE，DA=DE，OD=OD，AODEOD(SSS)OAD=OED=90，OECD，CD 是 O 的切线.（2）解：连接 OC，AM、BN、DC 是 O 的切线， OAD=OBC=DEO=OEC=90AM/BN，ADE+BCE=180又 AM、BN、DC 是 O 的切线，CE=CB ，OD 平分 ADE，OC 平分 BCE，.ODE+OCE=12(ADE+BCE)=12180=90又 ODE+DOE=90OCE=DO
5、E，又 DEO=OEC=90 ，DEOOEC，OECE=DEOEOE2=DECE.又 OA=OE，OA2=DECE.5【答案】（1）解：连接OE 直线EG与O相切于E，OEEGEGBC，OEBC，BE=CE ，BAE=CAEAE平分BAC；（2）解：如图， AE平分BAC，1=4，1=5，4=5，BF平分ABC，2=3，6=3+4=2+5，即6=EBF，EB=EF，DE=3，DF=2，BE=EF=DE+DF=5，5=4，BED=AEB，EBDEAB，BEEA=DEBE ，即 5EA=35 ，AE= 253 ，AF=AE-EF= 253 -5= 103 6【答案】（1）解： 如图所示，连接OP，
6、 PD / AC，DPA =PAC（两直线平行，内错角相等），又PA=PC，故 PAC为等腰三角形，PAC=PCA，PAC是 PC 所对圆周角，PCA是 PA 所对圆周角，PC = PA ，且PBA是 PA 所对圆周角，故PAC=PCA=PBA，AB是O的直径，直径所对圆周角为直角，APB=90，故APO+OPB=90，又OP=OB，故 OPB为等腰三角形，OPB=OBP，APO+DPA=90，即DPO=90，PD为O的切线；（2）解： 如下图所示，作PE AC， PA=PC，故 PAC为等腰三角形，等腰三角形三线合一，PE既为高线，也为AC边的中垂线，已知AC=12，AE=6，且tanPAC
7、= 23 = PEAE ，故PE=4，由勾股定理可得： AP=AE2+PE2=62+42=213 ，由（1）已证得PAC=PCA=PBA，故tanPBA= 23 ，PAPB=23 ，故 BP=313 ，由勾股定理可得： AB=PA2+PB2=(213)2+(313)2=13 7【答案】（1）证明：连接 OC ， OC=OB ，OBC=OCB ，AB 是 O 的直径，ACB=90 ，则 BCD=90 ，CE 是 RtBCD 斜边 BD 上的中线，CE=BE ，EBC=ECB ，BD 与 O 相切，ABD=90 ，即 OBC+EBC=90 ，OCB+ECB=90 ，即 OCE=90 ，OCCE ，
8、CE 是 O 的切线；（2）解：连接OE， D=D，BCD=ABD ，BCDABD ，BDAD=CDBD ，即 (35)2=5AD ，AD=9 ，OE 是 ABD 的中位线，OE=12AD=92 8【答案】（1）解：直线AC是O的切线， 理由如下：如图，连接OA，BD为O的直径，BAD=90=OAB+OAD，OA=OB，OAB=ABC，又CAD=ABC，OAB=CAD=ABC，OAD+CAD=90=OAC，ACOA，又OA是半径，直线AC是O的切线；（2）解：过点A作AEBD于E， OC2=AC2+AO2，(OA+2)2=16+OA2，OA=3，OC=5，BC=8，SOAC= 12 OA AC
9、= 12 OC AE，AE= 345=125 ，OE= AO2AE2=32(125)2=95 ，BE=BO+OE= 245 ，AB= BE2+AE2=(245)2+(125)2= 1255 .9【答案】（1）连接OC， OA=OC，OAC=OCA，AC平分 DAB ，DAC=OAC，DAC=OCA，ADOC，ADC+OCD=180，ADCD，ADC=90，OCD=90，OCCD，DC为 O 的切线；（2）连接BC， 在RtACD中，ADC=90， AD=3,DC=3 ，tanDAC=CDAD=33 ，DAC=30，CAB=DAC=30，AC=2CD= 23 ，AB是 O 的直径，ACB=90，
10、AB= ACcosCAB=4 ，O 的半径为2.10【答案】（1）证明：如图：连接OA OA=OBOBA=OABAB=ACOBA=COAB=CCAD=COAB=CADBD是直径BAD=90OAC=BAD-OAB+CAD=90AC 是 O 的切线；（2）由(2)可知，BAD=OAC=90，C=OBA=OAB=CAD，C+OBA+OAB+OAC=180， 即3C+90=180，解得C=30，C=OBA=OAB=CAD=30， 在RtBAD中，设AD=CD=x，则2r=BD=2x， 由C=C，CAD=CBA=30，CADCBA，CDAC=ACBC，即x4=4x+2x， 解得x=433，O 的半径为4
11、33.10【答案】（1）连 OD ，据题意得 OB=OD ， ODB=OBD ，BD 平分 ABC ，CBD=OBD ，CBD=ODB ，OD/BC ，又DEBC ，DEOD ，DE 与 O 相切（2）AB 为 O 的直径可得： ADB=90 ， 据（1） CBD=OBD 且 DEB=90 ，在 DBE 和 ABD 中，EBD=ABD，DEB=ADB ，DBEABD ，BD2=ABBE ，又AB=5，BE=4 ，BD=20=25 （3）CE=ABBE 由 EBD=ABD 得 CD=AD ，ADB=90，CED=90 ，CD2=AD2=AB2BD2 ，DE2=BD2BE2 ，CE2=CD2DE2
12、=AB2+BE22BD2=(ABBE)2 ，由 RtDBE，RtABD 得 ABBDBE ，CE=ABBE 11【答案】（1）证明：连接OD， AC=CD=BD ，BOD 13 18060，CD=DB ，EADDAB 12 BOD30，OAOD，ADODAB30，DEAC，E90，EAD+EDA90，EDA60，EDOEDA+ADO90，ODDE，DE是O的切线；（2）解：连接BD， AB为O的直径，ADB90，DAB30，AB6，BD 12 AB3，AD 6232 3 3 12【答案】（1）证明：连接OE，OP， PEAB，点Q为弦EP的中点，AB垂直平分EP，PBBE，OEOP，OBOB，
13、BEOBPO（SSS），BEOBPO，BP为O的切线，BPO90，BEO90，OEBC，BC是O的切线（2）解：BEOACB90， ACOE，CAEOEA，OAOE，EAOAEO，CAEEAO，EF=ED （3）解：AD为的O直径，点Q为弦EP的中点， EPAB，CGAB，CGEP，ACBBEO90，ACOE，CAEAEO，OAOE，EAQAEO，CAEEAO，ACEAQE90，AEAE，ACEAQE（AAS），CEQE，AEC+CAEEAQ+AHG90，CEHAHG，AHGCHE，CHECEH，CHCE，CHEQ，四边形CHQE是平行四边形，CHCE，四边形CHQE是菱形，sinABCsin
14、ACG AGAC 35 ，AC15，AG9，CG AC2AG2 12，ACEAQE，AQAC15，QG6，HQ2HG2+QG2，HQ2（12HQ）2+62，解得：HQ 152 ，CHHQ 152 ，四边形CHQE的面积CHGQ 152 64513【答案】（1）证明：OA=OD， ODA=OAD，BC和AB相切，ABC=90，DG为圆O直径，DAG=90，C=180-CAB-ABC，AGD=180-DAG-ADO，C=AGD；（2）解：连接BD， AB为直径，ADB=CDB=90，BC=6 ， CD=4 ，BD= 6242=25 ，OA=OB=OD=OG，AOG=BOD，BODAOG（SAS），AG=BD= 25 ，FGAB，BCAB，FGBC，AEG=C，EAG=CDB=90，AG=BD，AEGDCB（AAS），EG=BC=6，AE=CD=4，AHFG，AB为直径，AH=AEAGEG= 453 ，FH=GH，FH=GH= (25)2(453)2 = 103 ，FG=2HG= 203 ，EF=FG-EG= 203 -6= 23
