1、考向38二项式定理全归纳经典题型一：求二项展开式中的参数经典题型二：求二项展开式中的常数项经典题型三：求二项展开式中的有理项经典题型四：求二项展开式中的特定项系数经典题型五：求三项展开式中的指定项经典题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数经典题型七：求二项式系数最值经典题型八：求项的系数最值经典题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和经典题型十：求奇数项或偶数项系数和经典题型十一：整数和余数问题经典题型十二：近似计算问题经典题型十三：证明组合恒等式经典题型十四：二项式定理与数列求和经典题型十五：杨辉三角知识点1、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题（1）二项式定理一
2、般地，对于任意正整数，都有：，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，其中的系数（r=0，1，2，n）叫做二项式系数，（2）二项式的展开式的特点：项数：共有项，比二项式的次数大1；二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；次数：各项的次数都等于二项式的幂指数字母降幂排列，次数由到；字母升幂排列，次数从到，每一项中，次数和均为；项的系数：二项式系数依次是，项的系数是与的系数（包括二项式系数）（3）两个常用的二项展开式：（）（4）二项展开式的通项公式二项展开式的通项：公式特点：它表示二项展开式的第项，
3、该项的二项式系数是；字母的次数和组合数的上标相同；与的次数之和为注意：二项式的二项展开式的第r+1项和的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换位置的通项是针对在这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项是（只需把看成代入二项式定理）2、二项式展开式中的最值问题（1）二项式系数的性质每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即二项式系数和令，则二项式系数的和为，变形式奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令，则，从而得到：最大值：如果二项式的幂指数是偶数，则中间一
4、项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大（2）系数的最大项求展开式中最大的项，一般采用待定系数法设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来知识点3、二项式展开式中系数和有关问题常用赋值举例：（1）设，二项式定理是一个恒等式，即对，的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取，的值令，可得：令，可得：，即：（假设为偶数），再结合可得：（2）若，则常数项：令，得各项系数和：令，得奇数项的系数和与偶数项的系数和（i）当为偶数时，奇数项的系数和为；偶数项的系数和为（可简记为：为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）（ii）当为
5、奇数时，奇数项的系数和为；偶数项的系数和为（可简记为：为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）若，同理可得注意：常见的赋值为令，或，然后通过加减运算即可得到相应的结果1、求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求k,再将k的值代回通项求解,注意k的取值范围（）.（1）第项：此时k+1=m,直接代入通项.（2）常数项：即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程.（3）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.2、解题技巧：（1）形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可（
6、2）对形如(axby)n(a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可（3）若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2a4，偶数项系数之和为a1a3a5.经典题型一：求二项展开式中的参数1（2022湖南模拟预测）已知的展开式中的常数项为，则实数（）A2B-2C8D-82（2022全国高三专题练习）展开式中的常数项为160，则a（）A1B1C1D23（2022全国高三专题练习）已知二项式的展开式中，项的系数为40，则（）A2B-2C2或-2D4经典题型二：求二项展开式中的常数项4（2022广东广州高三阶段练习）若的展开式中
7、第2项与第6项的二项式系数相等，则该展开式中的常数项为（）AB160CD11205（2022福建省漳州第一中学模拟预测）已知（为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，则该展开式中的常数项为（）A90B10C10D906（2022山东青岛高三开学考试）在的展开式中，常数项为（）A80BC160D7（2022全国高三专题练习）已知二项式展开式的二项式系数和为64，则展开式中常数项为（）ABC15D20经典题型三：求二项展开式中的有理项8（2022江苏南通高三阶段练习）的二项展开式中有理项有（）A3项B4项C5项D6项9（2022全国高三专题练习（理）若的展开式中有且仅有三个有理项，则
8、正整数的取值为（）AB或C或D10（2022重庆市第十一中学校高三阶段练习）已知二项式的展开式中，二项式系数之和为64，则展开式中有理项的系数之和为（）A119B168C365D52011（2022全国高三专题练习）在的展开式中，有理项共有（）A3项B4项C5项D6项12（2022全国高三专题练习（理）若展开式中只有第四项的系数最大，则展开式中有理项的项数为（）A1B2C3D4经典题型四：求二项展开式中的特定项系数13（2022湖北高三开学考试）已知二项式的展开式中，所有项的系数之和为32，则该展开式中的系数为（）AB405CD8114（2022黑龙江哈尔滨高三开学考试）在的展开式中的系数为（
9、）ABCD715（2022全国高三专题练习）在的展开式中，若二项式系数的和为，则的系数为（）ABCD16（2022全国高三专题练习（理）的展开式中的系数是（）A45B84C120D21017（2022全国高三专题练习）若的展开式中，某一项的系数为7，则展开式中第三项的系数是（）A7B21C35D21或35经典题型五：求三项展开式中的指定项18（2022全国高三专题练习）展开式中，项的系数为（）A5B-5C15D-1519（2022江西南昌高三阶段练习）的展开式中含的项的系数为（）AB180CD1152020（2022全国高三专题练习）的展开式中，所有不含z的项的系数之和为（）A16B32C27
10、D8121（2022全国高三专题练习）的展开式中的系数为（）A4B6C8D1222（2022全国高三专题练习）在的展开式中含和含的项的系数之和为（）ABCD148523（2022全国高三专题练习）的展开式中，的系数为（）A BCD经典题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数24（2022浙江邵外高三阶段练习）的展开式中的系数是_（用数字作答）25（2022全国高三专题练习）的展开式中的常数项为_26（2022全国清华附中朝阳学校模拟预测），则_.27（2022全国高三专题练习）已知的展开式中的各项系数和为，则该展开式中的常数项为_.28（2022河北邢台高三开学考试）展开式中的
11、项的系数是_.29（2022浙江杭十四中高三阶段练习）的展开式中的系数为_.（用数字作答）30（2022四川树德中学高三阶段练习（理） 展开式中的系数为_.31（2022全国高三专题练习）已知，则的值为_.32（2022浙江省淳安中学高三开学考试）已知的展开式中常数项为20，则_.经典题型七：求二项式系数最值33（2022全国高三专题练习）在（）的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则n的值不可能是（）A7B8C9D1034（2022全国高三专题练习）展开式中二项式系数最大的项是（）ABC和D和35（2022湖南高三阶段练习）设为正整数，的展开式中二项式系数的最大值为，的展开式中的二项式系
12、数的最大值为.若，则的值为（）A5B6C7D836（2022全国高三专题练习）的展开式中x的系数等于其二项式系数的最大值，则a的值为（）A2B3C4D经典题型八：求项的系数最值37（2022全国高三专题练习）已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中系数最大的项为_38（2022重庆巴蜀中学高三阶段练习）的展开式中系数最小项为第_项39（2022全国高三专题练习）若n展开式中前三项的系数和为163，则展开式中系数最大的项为_经典题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和40（2022全国高三专题练习）若，则_.（用数字作答）41（2022全国高三专题练习）设，若则非零实数a的值为（）
13、A2B0C1D-142（2022全国高三专题练习）已知，则（）ABCD43（多选题）（2022全国高三专题练习）若，则（）ABCD经典题型十：求奇数项或偶数项系数和44（2022浙江模拟预测）已知多项式，则_，_45（2022全国模拟预测）若的展开式中，所有x的偶数次幂项的系数和为64，则正实数a的值为_46（2022内蒙古海拉尔第二中学模拟预测（理）已知，若，则_.47（2022全国高三专题练习）若，且，则实数的值可以为（）A1或BC或3D经典题型十一：整数和余数问题48（2022全国高三专题练习（理）设，则除以9所得的余数为_49（2022河北石家庄二中模拟预测）除以7的余数为_50（20
14、22福建漳州三模）711除以6的余数是_51（2022全国高三专题练习）被除的余数是_52（2022天津市第七中学模拟预测）已知为满足能被整除的正整数的最小值，则的展开式中含的项的系数为_53（2022全国高三专题练习）若，则被8整除的余数为_.54（2022浙江高三专题练习）设aZ，且0a16，若42021+a能被17整除，则a的值为 _.经典题型十二：近似计算问题55（2022河南南阳高三期末（理）_（小数点后保留三位小数）56（2022山西应县一中高三开学考试（理）的计算结果精确到0.01的近似值是_57（2022山东高三阶段练习）某同学在一个物理问题计算过程中遇到了对数据的处理，经过思
15、考，他决定采用精确到0.01的近似值，则这个近似值是_.经典题型十三：证明组合恒等式58（2022全国高三专题练习）（1）设、，求证：；（2）请利用二项式定理证明：.59（2022江苏省天一中学高三阶段练习）已知.（1）若，求中含项的系数；（2）求：.60（2022江苏泰州中学高三阶段练习）（1）设展开式中的系数是40，求的值；（2）求证：经典题型十四：二项式定理与数列求和61（2022全国高三专题练习（理）令为的展开式中含项的系数，则数列的前n项和为（）ABCD62（2022全国高三专题练习）已知等差数列的第项是展开式中的常数项，则（）ABCD63（2022河北保定二模）若n为等差数列中的第
16、7项，则二项式展开式的中间项系数为（）A1120BC1792D64（2022江西新余二模（理）已知等差数列的第5项是展开式中的常数项，则该数列的前9项的和为（）A160BC1440D经典题型十五：杨辉三角65（2022全国高三专题练习）如图所示的杨辉三角中，从第行开始，每一行除两端的数字是以外，其他每一个数字都是它肩上两个数字之和在此数阵中，若对于正整数，第行中最大的数为，第行中最大的数为，且，则的值为_66（2022全国高三专题练习）“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，
17、则第10条斜线上，各数之和为_.67（2022全国高三专题练习（文）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和若在“杨辉三角”中从第二行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，则在该数列中，第35项是_68（2022全国高三专题练习）如图，在杨辉三角形中，斜线的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：，记此数列的前项之和为，则的值为_.1（2022北京高考真题）若，则（）A40B41CD2（2020
18、山东高考真题）在的二项展开式中，第项的二项式系数是（）ABCD3（2020北京高考真题）在的展开式中，的系数为（）AB5CD104（2020全国高考真题（理）的展开式中x3y3的系数为（）A5B10C15D205（2022天津高考真题）的展开式中的常数项为_.6（2021天津高考真题）在的展开式中，的系数是_7（2020天津高考真题）在的展开式中，的系数是_8（2020全国高考真题（理）的展开式中常数项是_（用数字作答）9（2021浙江高考真题）已知多项式，则_，_.10（2020浙江高考真题）设，则_；_经典题型一：求二项展开式中的参数参考答案1【答案】B【解析】展开式的通项为：，取得到常数
19、项为，解得.故选：B2【答案】B【解析】的展开式通项为，令，解得，的展开式的常数项为，故选：B.3【答案】C【解析】由，令，解得，所以项的系数为，解得故选：C经典题型二：求二项展开式中的常数项4【答案】A【解析】因为展开式中的第项和第项的二项式系数相等，解得：，展开式通项公式为：，令，解得：，该展开式中的常数项为,故选：A5【答案】A【解析】因为（为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，所以，得，所以，则其展开式的通项公式为，令，得，所以该展开式中的常数项为，故选：A6【答案】D【解析】由于互为倒数，故常数项为第4项，即常数项为，故选：D7【答案】B【解析】根据题意可得，解得，
20、则展开式的通项为，令，得，所以常数项为：.故选：B.经典题型三：求二项展开式中的有理项8【答案】B【解析】二项展开式的通项公式为，因为，所以当时，为有理项，共4项，故选：B9【答案】B【解析】的通项公式是 设其有理项为第项，则的乘方指数为，依题意为整数，注意到，对照选择项知、，逐一检验：时，不满足条件；时，、，成立；时，、5、8，成立故选：B.10【答案】C【解析】由题意知：，即；则，的展开式的通项公式为：，1，2，3，4，5，6，展开式中有理项是，2，4，6时对应的项，故展开式中有理项的系数之和为：故选：11【答案】C【解析】由题意可得二项展开式的通项根据题意可得，为整数时，展开式的项为有理
21、项，则r0，6，12，18，24，共有5项，故选：C.12【答案】D【解析】展开式中只有第四项的系数最大，所以，则展开式通项为，因为，所以当时为有理项，所以有理项共有4项，故选：D.经典题型四：求二项展开式中的特定项系数13【答案】A【解析】令，可得所有项的系数之和为，则，由题意，即，所以展开式中含项的系数为故选：A14【答案】D【解析】二项式展开式的通项为，令，解得，所以，故展开式中的系数为.故选：D15【答案】A【解析】二项式系数的和为，所以，展开式的通项为，令，则，所以的系数为故选：A16【答案】C【解析】的展开式中，含项的系数为，故选：C17【答案】B【解析】由题意，展开式的通项为，所
22、以某一项的系数为7，即，解得n7，r1或n7，r6，所以展开式中第三项的系数是故选：B经典题型五：求三项展开式中的指定项18【答案】B【解析】，表示5个相乘，展开式中出现有两种情况，第一种是中选出3个和2个1，第二种是中选出4个和1个，所以展开式中含有项有和，所以项的系数为,故答案为：B19【答案】B【解析】根据题意，要得到含的项，则中有3项与2项4相乘，或者有4项与1项相乘.故的展开式中含的项为.即的展开式中含的项的系数为180.故选：B20【答案】D【解析】展开式的通项公式为，若展开式中的项不含z，则，此时符合条件的项为展开式中的所有项，令，可得所有不含z的项的系数之和为，故选：D.21【
23、答案】B【解析】的通项公式，令，则，所以的系数为，故选：B22【答案】A【解析】，则的系数为1，的系数为，所以在的展开式中含和含的项的系数之和为故选：A23【答案】D【解析】可看作5个因式相乘，所以其展开式中含的项为4个因式取，2个因式取，所以展开式中含的系数为故选：D经典题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数24【答案】【解析】根据题意,的项在的展开式中有两项，分别为：和，即和，则的系数为：.故答案为：.25【答案】【解析】展开式通项公式为，所以所求常数项为，故答案为：26【答案】20【解析】由，要得，则，所以，故答案为：27【答案】120【解析】的展开式中，各项系数的和为
24、，令，其中的展开式中的项为，即，的展开式中的项为，即，展开式中的常数项为.故答案为：.28【答案】30【解析】二项式的展开式的通项公式为，令解得；令，解得.所以展开式中的项的系数是.故答案为：29【答案】【解析】，其中的展开式通项为，故时，得含的项为；的展开式通项为，故时，得含的项为.因此，式子的展开式中，含的项为，即系数为.故答案为：.30【答案】26【解析】展开式第项，时， ，时，展开式中系数26.故答案为：26.31【答案】【解析】令，由的展开式的通项为，令，得，令，得，所以，所以.故答案为：32【答案】【解析】由题意可得的展开式的通项公式为 ，故当时，即时，当时，即时，故的常数项为，解
25、得，故答案为：经典题型七：求二项式系数最值33【答案】D【解析】当时，的展开式有8项，的展开式中二项式系数最大，即第四项和第五项的二项式系数最大；当时，的展开式有9项，的展开式中二项式系数最大，即第五项的二项式系数最大；当时，的展开式有10项，的展开式中二项式系数最大，即第五项和第六项的二项式系数最大.当时，的展开式有11项，的展开式中二项式系数最大，即第六项的二项式系数最大.故选：D34【答案】C【解析】展开式的通项公式为，因为展开式共有8项，所以第4项和第5项的二项式系数最大，所以展开式中二项式系数最大的项为和，即为和，故选：C35【答案】C【解析】的展开式中二项式系数的最大值为，故，的展
26、开式中的二项式系数的最大值为或，两者相等，不妨令，则有，解得：.故选：C36【答案】A【解析】因为的展开式的通项公式为，令，即时，x的系数为，而二项式系数最大值为，所以，即故选：A经典题型八：求项的系数最值37【答案】【解析】令，则的展开式各项系数之和为，则；由的展开式通项公式知二项展开式的系数最大项在奇数项，设二项展开式中第项的系数最大，则，化简可得：经验证可得，则该展开式中系数最大的项为.故答案为: .38【答案】6【解析】的展开式的通项公式为，其中系数与二项式系数只有符号差异，又第5项与第6项的二项式系数最大，第6项系数为负，则第6项系数最小.故答案为：.39【答案】5376【解析】展开
27、式的通项公式为，由题意可得，解得，设展开式中项的系数最大，则解得，又，故展开式中系数最大的项为.故答案为：5376.经典题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和40【答案】127【解析】因为，所以奇次方系数为负，偶次方系数为正，所以，对于，令，得，令，得，两式相减，得，即.故答案为：12741【答案】A【解析】，对其两边求导数，令，得，又，解得，故选：A42【答案】B【解析】依题意，当时，于是得.故选：B43【答案】ABD【解析】当时，故A对；，B对；令，则，故C错；对等式两边求导，即令，则，故D对，故选：ABD经典题型十：求奇数项或偶数项系数和44【答案】 【解析】因为，令可得；令可
28、得，两式相减，整理可得对两边求导可得，令，可得故答案为：；45【答案】【解析】设.令，得；令，得.得又因为，所以，解得故答案为：46【答案】8【解析】，所以，所以，所以，即，解得：故答案为：847【答案】A【解析】在中，令可得，即，令，可得，整理得，解得，或故选：A经典题型十一：整数和余数问题48【答案】8【解析】因为，所以，所以除以9所得的余数为8故答案为：849【答案】1【解析】其中所以除以7的余数为；故答案为：50【答案】1【解析】根据二项展开式不妨设：显然可被6整除且711除以6的余数是故答案为：151【答案】【解析】，所以被除的余数是故答案为：52【答案】【解析】能被整除，则能被整除
29、，因为，则正整数的最小值为，即，展开式的通项为，因为，在中，由可得，在中，由可得，在中，.所以，展开式中含的项的系数为.故答案为：.53【答案】5【解析】在已知等式中，取得，取得，两式相减得，即，因为因为能被8整除，所以被8整除的余数为5，即被8整除的余数为5，故答案为：5.54【答案】13【解析】aZ，且0a16，若42021+a4161010+a4（171）1010+a4（171010171009+171008171007+（17）+1）+a，故它除以17的余数为41+a，由于它能被能被17整除，则a13，故答案为：13.经典题型十二：近似计算问题55【答案】1.172【解析】，由二项展开
30、式的性质易知，远小于，依次类推，故.故答案为：1.172.56【答案】1.34【解析】故答案为：57【答案】【解析】根据二项式定理可得：,故答案为：经典题型十三：证明组合恒等式58【解析】证：（1）；（2）当，时，,所以结论成立.59【解析】（1）中项的系数为； （2） 设则函数中含项的系数为 由错位相减法得： ，中含项的系数，即是等式左边含项的系数，等式右边含项的系数为所以60【解析】（1）由题可知，对应项的表达式为：，故，解得（负值舍去）；（2）由，两边求导得：两边同乘-1可得：，再令可得：，所以经典题型十四：二项式定理与数列求和61【答案】D【解析】二项式的通项公式为：，令，所以，因此数
31、列的前n项和为：，故选：D62【答案】D【解析】由二项式定理，展开式中的常数项是，即，因为是等差数列，所以故选：D63【答案】A【解析】由题意可得等差数列的公差为，首项为，所以，所以，所以二项式展开式的中间项，所以中间项系数为.故选：A64【答案】D【解析】展开式中的常数项为所以，故选：D经典题型十五：杨辉三角65【答案】【解析】由题意知，故，解得故答案为：66【答案】【解析】因为从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，所以可以判断从第三个数开始，每个数是它前两个数的和，所以可得：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，因此第10条斜线上，各数之和为，故答案为：6
32、7【答案】171【解析】由杨辉三角可得，第2行的第三个数为1；第3行的第三个数为 ；第4行的第三个数为 ；第5行的第三个数为 ；因此第行的第三个数为 ；而该数列的第35项是第19行的第三个数，所以第35项是 故答案为：17168【答案】452【解析】设数列为，当为偶数时，易知；前23项里面有偶数项11项，奇数项12项，偶数项是首项为3，公差为1的等差数列，且，所以偶数项之和为：；当为奇数时，所以，则，所以前23项里面奇数项和为： =364，所以.故答案为：452.1【答案】B【解析】令，则，令，则，故，故选：B.2【答案】A【解析】第项的二项式系数为，故选：A.3【答案】C【解析】展开式的通项
33、公式为：，令可得：，则的系数为：.故选：C.4【答案】C【解析】展开式的通项公式为（且）所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：和在中，令，可得：，该项中的系数为，在中，令，可得：，该项中的系数为所以的系数为故选：C5【答案】【解析】由题意的展开式的通项为，令即，则，所以的展开式中的常数项为.故答案为：.6【答案】160【解析】的展开式的通项为，令，解得，所以的系数是.故答案为：160.7【答案】10【解析】因为的展开式的通项公式为，令，解得所以的系数为故答案为：8【答案】【解析】其二项式展开通项：当，解得的展开式中常数项是：.故答案为：.9【答案】 ; .【解析】， ，所以，所以.故答案为：.10【答案】 【解析】的通项为，令，则，故；.故答案为：；.【点晴】本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数问题，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
