1、 微专题 例析反证法的应用与综合（2）【学生版】学习笔记了解与理解新高考；明确与体验新教材知道与掌握新知识；知识梳理结合现行【沪教版2020】高中教材的布局，要判断命题“若，则”是假命题，只要存在一个满足条件但不满足结论的对象就行了；又称“举反例法”；但是要判断命题“若，则”是真命题，就需要证明所有满足条件的对象都满足结论有时直接验证这一点并不是一件容易的事；所以，现行教材因为不想要求学生记忆太多的逻辑术语，特地将课程标准要求中的全称量词命题的否定、 存在量词命题的否定等内容都融入到反证法的学习中；在整个高中数学学习的续章节的学习中， 反证法是以运用得相当广泛的论证方法；反证法是数学中常用的证
2、明方法之一，是一种间接证法；教材中提及：“它首先假设结论不成立（为假），然后经过正确的逻辑推理得出矛盾，从而说明 “为假”是不可能发生的，即结论是正确的这样的证明方法叫反证法；”所谓反证法：又称归谬法、背理法，是一种间接证法；它是先提出一个与命题的结论相反的假设（即在原命题的条件下，结论不成立），然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。它的依据是原命题和逆否命题是等价命题；反证法的运用模式可以简要概括为“否定推理否定”，即从否定结论开始，经过正确无误地推理导致逻辑矛盾，达到新的否定；应用反证法证明主要有三步：否定结论推导出矛盾结论成立.
3、实施的具体步骤是：第一步，反设，即做出与求证结论相反的假设；第二步，归谬，即将反设作为条件，通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论，即说明反设不成立，从而肯定原命题成立；反证法证明数学问题的理解反证法可以证明的命题的范围相当广泛，一般常见的如：惟一性问题，无限性问题，肯定性问题，否定性问题，存在性问题，不等式问题，等式问题，函数问题，整除问题，几何问题等。【注意】1、数学中的一些基础命题都是数学中我们经常运用的明显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明，正难则反这是应用反证法的原则，即一个命题的结论如果难于直接证明时，可考虑用反证法；学习笔记（2）另外，宜用反证法证明的题型还有：一些基本
4、命题、基本定理；易导出与已知矛盾的命题；“否定性”命题；唯一性”命题；“必然性”命题；至多”“至少”类的命题；涉及“无限”结论的命题等等。典题例析六、函数与反证法交汇例11、某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数在上有意义，且，如果对于不同的、，都有，求证：.那么他的反设应该是 【提示】；【答案】；【解析】；【说明】本题考查了函数的三要素、不等式的性质与反证法的交汇；例12、设函数f(x)在(，)上是增函数，a、bR.（1）若ab0，是否有f(a)f(b)f(a)f(b)?（2）若f(a)f(b)f(a)f(b)，是否有ab0?以上两结论若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由【提示】；【解
5、析】学习笔记【说明】本题以函数知识为背景，揭示了反证法的适用情况与注意点：1、当结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾；2、反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；七、不等式与反证法的综合例13、已知a，b，c均为正实数，则，的值()A都大于1B都小于1C至多有一个不小于1D至少有一个不小于1【说明】本题考查了不等式性质与反证法的交汇；例14、已知.求证：，中至少有一
6、个不小于6.学习笔记【说明】本题主要考查反证法，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法.如果命题中含有“至少”或“唯一”或其它否定词时，一般用反证法；八、集合与反证法的交汇例15、在解决问题：“证明数集没有最小数”时可用反证法证明：假设是中的最小数，则存在，可得：，与假设中“a是A中的最小数”矛盾，所以数集没有最小数.那么对于问题：“证明数集，
7、并且没有最大数”，也可以用反证法证明：我们可以假设是中的最大数，则存在，且，其中的一个值可以是 （用、表示），由此可知，与假设是中的最大数矛盾.所以数集没有最大数.学习笔记例16、集合（1）求证：，；（2）用反证法证明：10不是集合的元素【说明】本题考查了集合的元素与集合关系，反证法，意在考查学生的逻辑推理能力；九、利用反证法进行立体几何的逻辑推理例17、用反证法证明命题“若直线是异面直线，则直线也是异面直线”的过程可归纳为以下三个步骤：则四点共面，所以共面，这与是异面直线矛盾；所以假设错误，即直线也是异面直线；假设直线是共面直线则正确的推理步骤的序号依次为 例18、求证：若两条平行直线a，b
8、中的一条与平面相交，则另一条也与平面相交；学习笔记【说明】直接证明直线与平面相交比较困难，故可考虑用反证法，注意该命题的否定形式不止一种，需一一驳倒，才能推出命题结论正确；十、三角与反证法的交汇例19、用反证法证明命题“若sin cos ，则sin 0且cos 0”时，应假设 例20、证明: 函数 的最小正周期是 .十一、解析几何与反证法的交汇例21、设 为椭圆 的两个焦点, 为椭圆上任一点，延长 至 , 使 为 的垂直平分段，求证: 与椭圆只有唯一的公共点；学习笔记例22、已知函数.（1）用反证法证明方程没有负根.（2）证明：过点有且仅有两条直线与曲线相切；.学习笔记十二、解析几何与反证法的
9、交汇例23、关于复数的方程（）（1）若此方程有实数解，求的值；（2）用反证法证明对任意的实数，原方程不可能有纯虚数根；例24、已知关于的方程（1）若方程有实数根，求锐角和实数根；（2）用反证法证明：对任意，方程无纯虚数根；方法归纳学习笔记反证法主要用来解决如下类型的数学问题.（1）否定性命题：用直接法往往难以下手，而用反证法常常出奇制胜，（2）唯一性命题：结论以“唯一”的形式出现，可考虑用反证法证明.（3）“至多”“至少”类命题：结论以“至多”或“至少”形式出现，可考虑用反证法证明.（4）某些不等式或等式证明：运用反证法书写相对简洁；（5）命题结论涉及无限集或数目不确定的对象；（6）命题结论的
10、反面较结论本身具体、简单，直接证明难以下手，而反证法容易上手；1反证法的理论依据反证法的证明过程可概括为“否定结论，推出矛盾”，即在原命题的条件下，结论不成立，利用已知及假设经过推理，导致矛盾矛盾的出现，说明假设不成立，从而原命题成立例如要用反证法证明“若p，则q”第一步，否定结论，即“若p，则q”因为两个命题真假性相反，只要推断“若p，则q”为假，则可肯定“若p，则q”为真2反证法的一般步骤(1)分清命题的条件和结论，做出与命题结论相矛盾的假设；(2)利用假设，已知条件等进行推理，直至推出矛盾；(3)判断出现矛盾的原因是因为假设不成立，从而原命题成立3宜用反证法证明的题型(1)命题的条件与结
11、论之间联系不明显，直接证明较困难(2)如果直接证明，需要分多种情形讨论，而从反面入手则仅有一种情形或很少几种情形(3)直接判断显然成立的命题，否定性命题，含“至多”、“至少”等词语的存在性命题巩固练习1、已知,若在上的最大值为2,最小值为，求证：且。2、已知abc0，abbcca0，abc0，求证：a0，b0，c0. 学习笔记3、已知集合，且用反证法证明；4、给定不共面的4点，作过其中3个点的平面，所有4个这样的平面围成的几何体称为四面体（如图所示），预先给定的4个点称为四面体的顶点，2个顶点的连线称为四面体的棱，3个顶点所确定的三角形称为四面体的面；求证：四面体中任何一对不共顶点的棱所在的直
12、线一定是异面直线（1）请你用异面直线判定定理证明该结论；（2）请你用反证法证明该结论；学习笔记5、已知平面平面，且，用反证法证明：b，c是异面直线.学习笔记6、求证:方程 有唯一解；7、已知x是有理数，y是无理数，求证：是无理数8、（1）已知，证明：若，则a，b，c中至少有一个小于；（2）已知，判断“”是“a，b，c中至少有一个小于”的什么条件？并说明理由.学习笔记9、若，且，求证：一元二次方程和中至少有一个方程有实根.10、在中，角，的对边长分别为，且任意两个内角互不相等，成等差数列（1）用分析法证明：；（2）用反证法证明：； 微专题 例析反证法的应用与综合（2）【教师版】学习笔记了解与理解
13、新高考；明确与体验新教材知道与掌握新知识；知识梳理结合现行【沪教版2020】高中教材的布局，要判断命题“若，则”是假命题，只要存在一个满足条件但不满足结论的对象就行了；又称“举反例法”；但是要判断命题“若，则”是真命题，就需要证明所有满足条件的对象都满足结论有时直接验证这一点并不是一件容易的事；所以，现行教材因为不想要求学生记忆太多的逻辑术语，特地将课程标准要求中的全称量词命题的否定、 存在量词命题的否定等内容都融入到反证法的学习中；在整个高中数学学习的续章节的学习中， 反证法是以运用得相当广泛的论证方法；反证法是数学中常用的证明方法之一，是一种间接证法；教材中提及：“它首先假设结论不成立（为
14、假），然后经过正确的逻辑推理得出矛盾，从而说明 “为假”是不可能发生的，即结论是正确的这样的证明方法叫反证法；”所谓反证法：又称归谬法、背理法，是一种间接证法；它是先提出一个与命题的结论相反的假设（即在原命题的条件下，结论不成立），然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。它的依据是原命题和逆否命题是等价命题；反证法的运用模式可以简要概括为“否定推理否定”，即从否定结论开始，经过正确无误地推理导致逻辑矛盾，达到新的否定；应用反证法证明主要有三步：否定结论推导出矛盾结论成立.实施的具体步骤是：第一步，反设，即做出与求证结论相反的假设；第二步
15、，归谬，即将反设作为条件，通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论，即说明反设不成立，从而肯定原命题成立；反证法证明数学问题的理解反证法可以证明的命题的范围相当广泛，一般常见的如：惟一性问题，无限性问题，肯定性问题，否定性问题，存在性问题，不等式问题，等式问题，函数问题，整除问题，几何问题等。【注意】1、数学中的一些基础命题都是数学中我们经常运用的明显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明，正难则反这是应用反证法的原则，即一个命题的结论如果难于直接证明时，可考虑用反证法；学习笔记（2）另外，宜用反证法证明的题型还有：一些基本命题、基本定理；易导出与已知矛盾的命题；“否定性”命题；唯一性”命
16、题；“必然性”命题；至多”“至少”类的命题；涉及“无限”结论的命题等等。典题例析六、函数与反证法交汇例11、某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数在上有意义，且，如果对于不同的、，都有，求证：.那么他的反设应该是 【提示】注意明确函数的定义域与题设；【答案】“存在、，使得，则”；【解析】根据反证法的原理可知，该同学所做的反设应该是：“存在、，使得，则”.故答案为：“存在、，使得，则；【说明】本题考查了函数的三要素、不等式的性质与反证法的交汇；例12、设函数f(x)在(，)上是增函数，a、bR.（1）若ab0，是否有f(a)f(b)f(a)f(b)?（2）若f(a)f(b)f(a)f(b)，是
17、否有ab0?以上两结论若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由【提示】注意理解函数的单调性与不等式的联系；解法关注“正难则反”；【解析】（1）若ab0，则f(a)f(b)f(a)f(b)成立证明：因为ab0，所以ab，ba.又f(x)在(，)上是增函数，所以f(a)f(b)，f(b)f(a)两式相加，得f(a)f(b)f(a)f(b)（2）若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0成立证明：（反证法）假设ab0，则ab，ba，学习笔记而f(x)在(，)上是增函数，所以f(a)f(b)，f(b)f(a)以上两式相加，得f(a)f(b)f(a)f(b)与已知f(a)f(b)f(a)f(b)矛盾，
18、所以假设错误，因此ab0.【说明】本题以函数知识为背景，揭示了反证法的适用情况与注意点：1、当结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾；2、反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；七、不等式与反证法的综合例13、已知a，b，c均为正实数，则，的值()A都大于1B都小于1C至多有一个不小于1D至少有一个不小于1【提示】注意用好不等式性质；【答案】D；【解析】假设，都小于1
19、，则01,01,01，1与1矛盾，至少有一个不小于1，故选D；【说明】本题考查了不等式性质与反证法的交汇；例14、已知.求证：，中至少有一个不小于6.【提示】注意题设中“至少”，一般利用反证法分析解答；学习笔记【解析】假设，都小于6， 即，.这与假设相矛盾,故假设不成立，从而原结论成立；【说明】本题主要考查反证法，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称
20、为反证法.如果命题中含有“至少”或“唯一”或其它否定词时，一般用反证法；八、集合与反证法的交汇例15、在解决问题：“证明数集没有最小数”时可用反证法证明：假设是中的最小数，则存在，可得：，与假设中“a是A中的最小数”矛盾，所以数集没有最小数.那么对于问题：“证明数集，并且没有最大数”，也可以用反证法证明：我们可以假设是中的最大数，则存在，且，其中的一个值可以是 （用、表示），由此可知，与假设是中的最大数矛盾.所以数集没有最大数.【提示】方法1：利用不等式性质；方法2：反证法以及不等式性质的就可以得出答案；【答案】 （答案不唯一）；学习笔记【解析】方法1：由不等式的性质有：，且，所以，故答案为：
21、；方法2：假设是中的最大数，则可以找到，且这与假设矛盾，所以数集没有最大数；故答案为：；例16、集合（1）求证：，；（2）用反证法证明：10不是集合的元素【提示】（1）找出使，得到答案.（2）假设10是的元素，则，讨论方程成立的各种情况，均无解，得证.【解析】（1）易知：，故，（2）假设10是的元素，则存在、，使得，或 或 或四个方程组均无整数解假设不成立10不是的元素【说明】本题考查了集合的元素与集合关系，反证法，意在考查学生的逻辑推理能力；九、利用反证法进行立体几何的逻辑推理例17、用反证法证明命题“若直线是异面直线，则直线也是异面直线”的过程可归纳为以下三个步骤：则四点共面，所以共面，这
22、与是异面直线矛盾；所以假设错误，即直线也是异面直线；学习笔记假设直线是共面直线则正确的推理步骤的序号依次为 【提示】注意理解异面直线的定义与正难则反进行交汇；【答案】【解析】结合反证法的证明步骤可知：假设直线AC、BD是共面直线，则A、B、C、D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；其正确步骤为例18、求证：若两条平行直线a，b中的一条与平面相交，则另一条也与平面相交；【提示】注意理解空间线线、线面位置关系【证明】不妨设直线a与平面相交，b与a平行，从而要证b也与平面相交；假设b不与平面相交，则必有下面两种情况：（1）b在平面内
23、；由ab，a平面，得a平面，与题设矛盾（2）b平面；则平面内有直线b，使bb.而ab，故ab，因为a平面，所以a平面，这也与题设矛盾综上所述，b与平面只能相交；【说明】直接证明直线与平面相交比较困难，故可考虑用反证法，注意该命题的否定形式不止一种，需一一驳倒，才能推出命题结论正确；十、三角与反证法的交汇例19、用反证法证明命题“若sin cos ，则sin 0且cos 0”时，应假设 【答案】sin 0或cos 0【解析】且的反面应为，至少有一个不成立即或例20、证明: 函数 的最小正周期是 .【提示】 首先根据周期函数的定义,探究 是不是 的一个周期, 再假设 是函数 的最小正周期,推得与周
24、期函数定义相矛盾的结论,从而肯定了命题 的论断.学习笔记【证明】因为， ，所以， 是函数 的一个周期.下面我们通过反证法证明 是函数 的最小正周期.假设 不是函数 的最小正周期,则必存在一个正数 , 使 对任何实数都成立.；考察 时的情形:.因为，所以，则矛盾；故 是函数 的最小正周期；十一、解析几何与反证法的交汇例21、设 为椭圆 的两个焦点, 为椭圆上任一点，延长 至 , 使 为 的垂直平分段，求证: 与椭圆只有唯一的公共点；【提示】点显然是与椭圆的公共点,可证明与椭圆只有这个唯一的公共点，利用反证法；【解析】, 是 的垂直平分线，. 而 , 矛盾.故假设错误，即与椭圆只有唯一的公共点；学
25、习笔记例22、已知函数.（1）用反证法证明方程没有负根.（2）证明：过点有且仅有两条直线与曲线相切；.【提示】（1）假设方程有负根，则可得，然后通过判断等式两边的正负可得结论；（2）设切点为，利用导数的几何意义可求出切线方程，把代入可得，有一个根为0，再令，利用导数判断其只有一个零点即可【解析】（1）证明：假设方程有负根，即.因为，所以.因为，所以.由，解得，与矛盾，所以假设不成立，故方程没有负根.（2）证明：设切点为，则.因为，所以，所以曲线在处的切线方程为.将代入上式并化简得.方程显然有一个根.令，因为在上为增函数，在，上单调递增，所以在，上单调递增.学习笔记当时，所以在上没有零点，因为，
26、所以在上有唯一零点，所以有且仅有两个不同的根，即过点有且仅有两条直线与曲线相切.十二、解析几何与反证法的交汇例23、关于复数的方程（）（1）若此方程有实数解，求的值；（2）用反证法证明对任意的实数，原方程不可能有纯虚数根；【提示】（1）设方程的实数解为，代入方程得虚部为零，即可求得，从而可求得的值；（2）假设原方程有纯虚数跟，令，整理可得，则，证明方程组无解即可得证.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）解：设方程的实数解为，则，所以，所以，所以因为，所以（2）证明：假设原方程有纯虚数根，令，且，则有，整理可得，所以所以对于，由于判别式，所以方程无解，故方程组无解，故假设不成立故原方
27、程不可能有纯虚数根例24、已知关于的方程（1）若方程有实数根，求锐角和实数根；学习笔记（2）用反证法证明：对任意，方程无纯虚数根；【提示】（1）设方程的实数根为，得到，根据复数相等的条件，列出方程组，即可求解；（2）假设方程有纯虚数根，设为，得到，化简得到方程，结合判别式和一元二次方程的性质，即可求解.【答案】（1），；（2）证明见解析.【解析】（1）设方程的实数根为，则，即，所以，解得，又因为为锐角，所以.（2）假设方程有纯虚数根，可设为，则，即，可得，即，可得方程，所以为虚数，这与矛盾，方法归纳故假设不成立，所以结论成立，即对任意，方程无纯虚数根反证法主要用来解决如下类型的数学问题.（1）
28、否定性命题：用直接法往往难以下手，而用反证法常常出奇制胜，（2）唯一性命题：结论以“唯一”的形式出现，可考虑用反证法证明.（3）“至多”“至少”类命题：结论以“至多”或“至少”形式出现，可考虑用反证法证明.（4）某些不等式或等式证明：运用反证法书写相对简洁；（5）命题结论涉及无限集或数目不确定的对象；（6）命题结论的反面较结论本身具体、简单，直接证明难以下手，而反证法容易上手；1反证法的理论依据反证法的证明过程可概括为“否定结论，推出矛盾”，即在原命题的条件下，结论不成立，利用已知及假设经过推理，导致矛盾矛盾的出现，说明假设不成立，从而原命题成立例如要用反证法证明“若p，则q”第一步，否定结论
29、，即“若p，则q”因为两个命题真假性相反，只要推断“若p，则q”为假，则可肯定“若p，则q”为真学习笔记2反证法的一般步骤(1)分清命题的条件和结论，做出与命题结论相矛盾的假设；(2)利用假设，已知条件等进行推理，直至推出矛盾；(3)判断出现矛盾的原因是因为假设不成立，从而原命题成立3宜用反证法证明的题型(1)命题的条件与结论之间联系不明显，直接证明较困难(2)如果直接证明，需要分多种情形讨论，而从反面入手则仅有一种情形或很少几种情形(3)直接判断显然成立的命题，否定性命题，含“至多”、“至少”等词语的存在性命题巩固练习1、已知,若在上的最大值为2,最小值为，求证：且。【提示】证明本题的难点:
30、一是正确写出结论的否定形式;二是当结论的反面不是一种情况时，该如何证明.破解第一个难点,必须熟知“且”的否定命题“或”,对本题而言，结论“且”（注意逻辑关系词:“且”“或”);破解第二个难点,分及进行讨论,并逐一推出矛盾之处；【证明】(反证法)假设或.当时,由,得,显然在上是单调函数，所以，的最大值为,最小值为.由已知条件得,这与相矛盾，所以，当时，由二调函数的对称轴为直线,知在上是单调函数，学习笔记故其最值在区间的端点处取得，所以，或又，则此时无解，所以.由得且；2、已知abc0，abbcca0，abc0，求证：a0，b0，c0.【证明】假设a0，由abc0得bc0，由abc0，得bca0，
31、于是abbccaa(bc)bc0，这与已知矛盾又若a0，则abc0，与abc0矛盾，故a0，同理可证b0，c0.3、已知集合，且用反证法证明；【提示】求出集合A，假设，可得矛盾.【解析】由，解得或3，所以，假设，则必有，与矛盾，所以假设错误，所以4、给定不共面的4点，作过其中3个点的平面，所有4个这样的平面围成的几何体称为四面体（如图所示），预先给定的4个点称为四面体的顶点，2个顶点的连线称为四面体的棱，3个顶点所确定的三角形称为四面体的面；求证：四面体中任何一对不共顶点的棱所在的直线一定是异面直线（1）请你用异面直线判定定理证明该结论；学习笔记（2）请你用反证法证明该结论；【提示】（1）根据
32、异面直线的判定定理说明即可；（2）假设直线是共面于平面，则四点共面，说明其与已知矛盾即可，即可得证. 【解析】（1）证明：因为平面，平面，平面，直线，所以直线与是异面直线，同理与，与也是异面直线，所以四面体中任何一对不共顶点的棱所在的直线一定是异面直线；（2）证明：假设直线是共面于平面，即，则，四点共面与已知四点不共面矛盾，所以假设错误，即直线一定是异面直线，同理与，与也是异面直线，所以四面体中任何一对不共顶点的棱所在的直线一定是异面直线；5、已知平面平面，且，用反证法证明：b，c是异面直线.【提示】首先判断不相交，假设不是异面直线，则，由此推出矛盾，从而证明是异面直线.【解析】由于，所以，由
33、于，所以不相交.假设不是异面直线，则，由于则，这与矛盾.所以是异面直线.6、求证:方程 有唯一解；【提示】方程有唯一解，而给出的是混合型方程,直接证明显然困难，而唯一解的反面是至少有两解，推出矛盾 相对容易,也宜用反证法证明.学习笔记【解析】不妨假设至少有两解 , 则 得 另一方面,由 , 知 , 这与 (3)式矛盾, 假设不成立. 只有唯一解.7、已知x是有理数，y是无理数，求证：是无理数【提示】运用反证法进行证明即可.【解析】假设是无理数不成立，即是有理数，因为x是有理数，所以是互质的整数，因为是有理数，所以是互质的整数，因此，因为是整数，显然也是整数，故y是有理数，这与已知y是无理数矛盾
34、，故假设不成立，所以是无理数8、（1）已知，证明：若，则a，b，c中至少有一个小于；（2）已知，判断“”是“a，b，c中至少有一个小于”的什么条件？并说明理由.【提示】（1）利用反证法即可证明.（2）利用充分条件、必要条件的定义即可得出结果.【解析】（1）证明：假设， 则，这与矛盾，所以a，b，c中至少有一个小于.（2）由（1）可得a，b，c中至少有一个小于，学习笔记反之不一定成立，例如：，则，所以“”是“a，b，c中至少有一个小于” 的充分非必要条件. 【说明】本题考查了反证法证明不等式、充分条件、必要条件的定义，属于基础题.9、若，且，求证：一元二次方程和中至少有一个方程有实根.【提示】利
35、用反证法，假设上述两个方程中都没有实数根，推理得到与已知相矛盾，即可得出假设错误，结论正确；【解析】证明：假设上述两个方程中都没有实数根则两个方程的判别式即，不等式两边同时相加得，不等式等价为，这与矛盾，故假设不成立，即上述两个方程中至少有一个方程有实数根【说明】本题考查反证法在证明中的应用,其中利用“正难则反”的原则,将问题转化为证明其逆否命题真假的判断是解答的关键.10、在中，角，的对边长分别为，且任意两个内角互不相等，成等差数列（1）用分析法证明：；（2）用反证法证明：；【提示】（1）由分析法可知即证，也即证，由正弦定理结合均值不等式可得，从而问题可证;（2）假设，则,由余弦定理可得，由正弦定理结合均值不等式可得，从而可得，得出矛盾，从而问题得证.【解析】证明：（1）要证，只需证，只需证学习笔记成等差数列，当且仅当时等号成立又的内角互不相等，即，互不相等，成立，故正确（2）假设，则由余弦定理得，所以，因为成等差数列，即成等差数列，所以，当且仅当时等号成立又，互不相等，所以所以这与矛盾，故假设不成立，所以
