1、考点测试46等比数列高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题和解答题，分值为5分、12分，中、低等难度考纲研读1.理解等比数列的概念2掌握等比数列的通项公式与前n项和公式3能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题4了解等比数列与指数函数的关系一、基础小题1已知an为等比数列且满足a6a230，a3a13，则数列an的前5项和S5()A15 B31 C.40 D121答案B解析设等比数列an的公比为q，因为a6a230，a3a13，所以可得S531，所以数列an的前5项和S531.2公比不为1的等比数列an满足a5a6a4a718，若a1am9，则m的
2、值为()A8 B9 C.10 D11答案C解析在等比数列中，若pqmn，p，q，m，n都为正整数，则apaqaman，因为a5a6a4a718，所以a5a6a4a79，因为a1am9，所以m10.故选C.3已知等比数列an中有a3a114a7，数列bn是等差数列，其前n项和为Sn，且b7a7，则S13()A26 B52 C.78 D104答案B解析等比数列an中，由a3a114a7可得a4a7，又a70，得a74，因为数列bn是等差数列，b7a74，则S1313(b1b13)13b713452.故选B.4设等比数列an的前n项和为Sn，已知S38，S67，则a7a8a9等于()A B C. D
3、答案A解析因为a7a8a9S9S6，且S3，S6S3，S9S6也成等比数列，即8，1，S9S6成等比数列，所以8(S9S6)1，即S9S6，所以a7a8a9.5已知an是首项为32的等比数列，Sn是其前n项和，且，则数列|log2an|的前10项和为()A58 B56 C.50 D45答案A解析设数列an的公比为q，根据题意知q3，所以q，从而有an32272n，所以log2an72n，所以|log2an|2n7|，所以数列|log2an|的前10项和等于53113579111358.故选A.6(多选)在增减算法统宗中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过
4、其关”则下列说法正确的是()A此人第六天只走了5里路B此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里C此人第二天走的路程比全程的还多1.5里D此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍答案BCD解析根据题意知此人每天行走的路程成等比数列，设此人第n天走an里路，则an是首项为a1，公比为q的等比数列所以S6378，解得a1192.对于A，a6a1q51926，故A错误；对于B，由a1192，则S6a1378192186，又1921866，故B正确；对于C，a2a1q19296，而S694.5，9694.51.5，故C正确；对于D，a1a2a3a1(1qq2)192336，则后3天走的路程为3783
5、3642，而且336428，故D正确故选BCD.7(多选)设an(nN*)是各项为正数的等比数列，q是其公比，Kn是其前n项的积，且K5K6，K6K7K8，则下列结论正确的是()A0q1Ba71CK9K5DK6与K7均为Kn的最大值答案ABD解析an是各项为正数的等比数列，q是其公比，Kn是其前n项的积，且K6K7K8，q0，且q1，a71，故B正确；由K5K6可得a61，q(0，1)，故A正确；由an是各项为正数的等比数列且q(0，1)可得数列为递减数列，K9K5，故C错误；结合K5K6，K6K7K8，可得D正确故选ABD.8已知数列an的前n项和公式为Snn2，若bn2an，则an_；数列
6、bn的前n项和Tn_答案2n1(4n1)解析当n1时，a1S11；当n2时，anSnSn12n1，满足a11，故an2n1.若bn2an，则b12，bn22n124n1，故数列bn是首项为2，公比为4的等比数列，其前n项和Tn(4n1).二、高考小题9(2021全国甲卷)记Sn为等比数列an的前n项和若S24，S46，则S6()A7 B8 C.9 D10答案A解析解法一：因为S24，S46，且易知公比q1，所以由等比数列的前n项和公式，得两式相除，得q2，所以或所以S67.故选A.解法二：易知S2，S4S2，S6S4构成等比数列，由等比中项得S2(S6S4)(S4S2)2，即4(S66)22，
7、所以S67.故选A.10(2020全国卷)设an是等比数列，且a1a2a31，a2a3a42，则a6a7a8()A12 B24 C.30 D32答案D解析设等比数列an的公比为q，则a1a2a3a1(1qq2)1，a2a3a4a1qa1q2a1q3a1q(1qq2)q2，因此，a6a7a8a1q5a1q6a1q7a1q5(1qq2)q532.故选D.11(2020全国卷)数列an中，a12，amnaman，若ak1ak2ak1021525，则k()A2 B3 C.4 D5答案C解析在等式amnaman中，令m1，可得an1ana12an，2，数列an是以2为首项，2为公比的等比数列，an22n
8、12n.ak1ak2ak102k1(2101)25(2101)，2k125，则k15，解得k4.故选C.12(2019全国卷)已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15，且a53a34a1，则a3()A16 B8 C.4 D2答案C解析由题意知解得a3a1q24.故选C.13(2018浙江高考)已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1a2a3a4ln (a1a2a3).若a11，则()Aa1a3，a2a3，a2a4Ca1a4 Da1a3，a2a4答案B解析设f(x)ln xx(x0)，则f(x)1，令f(x)0，得0x1，令f(x)1，f(x)在(0，1)上为增函数，在(1，)上为减函
9、数，f(x)f(1)1，即有ln xx1.从而a1a2a3a4ln (a1a2a3)a1a2a31，a41，公比q0，矛盾若q1，则a1a2a3a4a1(1qq2q3)a1(1q)(1q2)0，ln (a1a2a3)ln a10，也矛盾1q0.从而q20，a1a3.同理，q21，a2a2.故选B.14(2020江苏高考)设an是公差为d的等差数列，bn是公比为q的等比数列已知数列anbn的前n项和Snn2n2n1(nN*)，则dq的值是_答案4解析等差数列an的前n项和公式为Pnna1dn2n，等比数列bn的前n项和公式为Qnqn，依题意有SnPnQn，即n2n2n1n2nqn，通过对比系数可
10、知得故dq4.15(2019全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和，若a11，S3，则S4_答案解析设等比数列an的公比为q，又a11，则ana1qn1qn1.S3，a1a2a31qq2，即4q24q10，q，S4.三、模拟小题16(2021河北五个一名校联考)已知等比数列an的各项均为负数，若a2a82a3a9a16，则a5a7()A2 B4 C.8 D16答案B解析a2a82a3a9aa2a5a7a(a5a7)216，因为等比数列an的各项均为负数，所以a5a74，故选B.17(2021山东青岛一中模拟)在正项等比数列an中，a5a115，a4a26，则a3()A2 B4 C. D8答案B
11、解析设正项等比数列an的公比为q，由，解得或(舍去).故a3a1q24.故选B.18(2022湖南湘潭入学考试)已知正项等比数列an满足a9a82a7，若存在两项am，an，使得aman2a，则的最小值为()A2 B C.3 D3答案C解析设正项等比数列an的公比为q(q0)，a9a82a7，a7q2a7q2a7，q2q20，q2或q1(舍去)，存在两项am，an，使得aman2a，aqm1n12a，2mn22，mn21，mn3，(mn)93，当且仅当m1，n2时等号成立故选C.19(多选)(2021辽宁渤海大学附属高级中学第二次月考)已知正项等比数列an满足a12，a42a2a3，其公比为q
12、，前n项和为Sn，则()Aq2 Ban2nCS102047 Danan13an，D正确20(多选)(2021辽宁沈阳郊联体第三次模拟)已知等比数列an的前n项和Sn4n1t，则()A首项a1不确定 B公比q4Ca23 Dt答案BCD解析当n1时，a1S11t，当n2时，anSnSn1(4n1t)(4n2t)34n2.由数列an为等比数列，可得a1必定符合an34n2(n2)，有1t，可得t，数列an的通项公式为an34n2，a23，数列an的公比q4.综上可知A错误，B，C，D正确21(多选)(2021三湘名校教育联盟高三联考)数列an为等比数列，公比q1，其前n项和为Sn，若a5a115，a
13、2a416，则下列说法正确的是()ASn12Sn1Ban2nC数列log3(Sn1)是等比数列D对任意的正整数k(k为常数)，数列log2(SnkSn)是公差为1的等差数列答案AD解析因为公比为q1，由得即，所以4q415q240，解得q24，所以所以an2n1，Sn2n1，所以Sn12n112Sn1，Sn12n，所以log3(Sn1)nlog32，所以log3(Sn1)是等差数列，对任意的正整数n，k，SnkSn2nk2n(2k1)2n，所以log2(SnkSn)nlog2(2k1)，所以数列log2(SnkSn)是公差为1的等差数列故选AD.22(2021上海模拟)若数列an满足0，则称a
14、n为“梦想数列”已知数列为“梦想数列”，且b12，则bn的通项公式为bn_答案3n1解析由数列为“梦想数列”，得bn113(bn1)0，所以bn113(bn1)，又b12，所以bn1是以3为首项，3为公比的等比数列，所以bn133n13n，则bn3n1.23(2022山东学情调研)已知数列an的前n项和为Sn，且a11，an1an3n，则S2021_答案310112解析当n2时，anan13n1，3，又当n1时a2a13，a23，an的奇数项是以a11为首项，以q3为公比的等比数列，偶数项是以a23为首项，以q3为公比的等比数列，S2021a1a3a2021a2a4a2020310112.一、
15、高考大题1(2020全国卷)设an是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项(1)求an的公比；(2)若a11，求数列nan的前n项和解(1)设等比数列an的公比为q，a1为a2，a3的等差中项，2a1a2a3，即2a1a1qa1q2.a10，q2q20.q1，q2.(2)设数列nan的前n项和为Sn，a11，an(2)n1，Sn112(2)3(2)2n(2)n1，2Sn1(2)2(2)23(2)3(n1)(2)n1n(2)n，得3Sn1(2)(2)2(2)n1n(2)nn(2)n，Sn.2(2020新高考卷)已知公比大于1的等比数列an满足a2a420，a38.(1)求an的通项公式
16、；(2)记bm为an在区间(0，m(mN*)中的项的个数，求数列bm的前100项和S100.解(1)设等比数列an的首项为a1，公比为q，依题意有解得或(舍去)，所以an2n，所以数列an的通项公式为an2n.(2)由于212，224，238，2416，2532，2664，27128，b1对应的区间为(0，1，则b10；b2，b3对应的区间分别为(0，2，(0，3，则b2b31，即有2个1；b4，b5，b6，b7对应的区间分别为(0，4，(0，5，(0，6，(0，7，则b4b5b6b72，即有22个2；b8，b9，b15对应的区间分别为(0，8，(0，9，(0，15，则b8b9b153，即有2
17、3个3；b16，b17，b31对应的区间分别为(0，16，(0，17，(0，31，则b16b17b314，即有24个4；b32，b33，b63对应的区间分别为(0，32，(0，33，(0，63，则b32b33b635，即有25个5；b64，b65，b100对应的区间分别为(0，64，(0，65，(0，100，则b64b65b1006，即有37个6.所以S10012222323424525637480.3(2020浙江高考)已知数列an，bn，cn中，a1b1c11，cnan1an，cn1cn(nN*).(1)若数列bn为等比数列，公比q0，且b1b26b3，求q与an的通项公式；(2)若数列b
18、n为等差数列，且公差d0，证明：c1c2cn1.解(1)因为数列bn是公比为q的等比数列，b1b26b3，所以b1b1q6b1q2，即1q6q2，因为q0，所以q，所以bn.所以bn2，故cn1cncn4cn，所以数列cn是首项为1，公比为4的等比数列，所以cn4n1.所以anan1cn14n2(n2，nN*).所以ana1144n21(n2，nN*).a11适合上式，所以an.(2)证明：依题意设bn1(n1)ddn1d，因为cn1cn，所以，所以(n2，nN*)，故cnc1c1.所以c1c2cn.因为d0，b11，所以bn11，所以00)，由题意知q1，所以T45T25，整理得1q25，因
19、为q0，所以q2，所以bn2n.当选取的条件为时，有所以解得所以an8n20，Sn4n216n.所以S112，S312，Sm4m216m，若4S1，S3，Sm成等比数列，则S4S1Sm，所以4m216m30，解得m2，因为m为正整数，所以不符合题意，此时m不存在当选取的条件为时，有所以解得所以an2n8，Snn27n.所以S16，S312，Smm27m，若4S1，S3，Sm成等比数列，则S4S1Sm，所以m27m60，解得m6或m1(舍去).此时存在正整数m6满足题意当选取的条件为时，有所以解得所以ann7，Sn.所以S16，S315，Sm，若4S1，S3，Sm成等比数列，则S4S1Sm，即22524Sm，所以4m252m750，解得m，因为m为正整数，所以不符合题意，此时m不存在
