1、考点测试29正弦定理和余弦定理高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题和解答题，分值为5分、12分，中、低等难度考纲研读掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题一、基础小题1在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA，a8，b5，则B()A.BC.D答案B解析ABC中，cosA，所以A，所以sinA.又a8，b5，由正弦定理得，解得sinB，又B，所以B.故选B.2在ABC中，若AB8，A120，其面积为4，则BC()A2B4C2D4答案C解析因为SABCABACsinA4，故AC2；由余弦定理得，BC2AB2AC22ABACcosA84，故
2、BC2.故选C.3若ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin2AasinB，且c2b，则等于()A.BC.D答案D解析由bsin2AasinB，得2sinBsinAcosAsinAsinB，得cosA.又c2b，由余弦定理得a2b2c22bccosAb24b24b23b2，得.故选D.4ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acsinB10sinC，ab7，且cos，则c()A4B5C.2D7答案B解析acsinB10sinC.由正弦定理可得abc10c，即ab10.cos，cosC221，则c5.故选B.5在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AB
3、C的面积为S，且2S(ab)2c2，则tanC()A.BC.D答案C解析ABC中，SabsinC，由余弦定理得c2a2b22abcosC，且2S(ab)2c2，absinC(ab)2(a2b22abcosC)，整理得sinC2cosC2，(sinC2cosC)24.4，化简可得3tan2C4tanC0.C(0,180)，tanC，故选C.6(多选)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(k为非零实数)，则下列结论正确的是()A当k5时，ABC是直角三角形B当k3时，ABC是锐角三角形C当k2时，ABC是钝角三角形D当k1时，ABC是钝角三角形答案ABC解析当k5时，根据正弦定理不妨
4、设a5m，b3m，c4m，显然ABC是直角三角形，A正确；当k3时，根据正弦定理不妨设a3m，b3m，c4m，显然ABC是等腰三角形，C为最大角，又a2b2c29m29m216m22m20，说明C为锐角，故ABC是锐角三角形，B正确；当k2时，根据正弦定理不妨设a2m，b3m，c4m，显然C为最大角，又a2b2c24m29m216m23m20，说明C为钝角，故ABC是钝角三角形，C正确；当k1时，根据正弦定理不妨设am，b3m，c4m，此时abc，不能构成三角形，D错误故选ABC.7(多选)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(ab)(ac)(bc)91011，则下列结论正确的
5、是()AsinAsinBsinC456BABC是钝角三角形CABC的最大内角是最小内角的2倍D若c6，则ABC外接圆的半径为答案ACD解析(ab)(ac)(bc)91011，可设ab9t，ac10t，bc11t，解得a4t，b5t，c6t，t0，由正弦定理可得sinAsinBsinCabc456，故A正确；由c为最大边，可得cosC0，即C为锐角，故B错误；cosA，cos2A2cos2A121cosC，由2A，C(0，)，可得2AC，故C正确；若c6，可得2R，ABC外接圆的半径为，故D正确故选ACD.8在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2B2sinAsinC1，则B
6、的最大值为_；若b2，则ABC的面积的最大值为_答案解析由cos2B2sinAsinC1，可得12sin2B2sinAsinC1，即sin2BsinAsinC，由正弦定理，可得b2ac，由余弦定理，可得cosB，当且仅当ac时，等号成立，所以0B，于是B的最大值为，ABC的面积SacsinB4.二、高考小题9(2020全国卷)在ABC中，cosC，AC4，BC3，则cosB()A.BC.D答案A解析在ABC中，cosC，AC4，BC3，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosC42322439，AB3，cosB.故选A.10(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
7、已知asinAbsinB4csinC，cosA，则()A6B5C.4D3答案A解析asinAbsinB4csinC，由正弦定理得a2b24c2，即a24c2b2.由余弦定理得cosA，6.故选A.11(2021全国乙卷)记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B60，a2c23ac，则b_.答案2解析由SABCacsinB，得acsin60，即ac，解得ac4.所以a2c23ac12.由余弦定理，得b2a2c22accosB12248.所以b2.12(2021浙江高考)在ABC中，B60，AB2，M是BC的中点，AM2，则AC_；cosMAC_.答案2解析解法一：由B60，AB
8、2，AM2，在ABM中，由余弦定理可得BM4，因为M为BC的中点，所以BC8.在ABC中，由余弦定理可得AC2AB2BC22BCABcosB46428252，所以AC2，所以在AMC中，由余弦定理，得cosMAC.解法二：由B60，AB2，AM2，在ABM中，由余弦定理可得BM4，因为M为BC的中点，所以BC8.过点C作CDBA交BA的延长线于点D，则BD4，AD2，CD4.所以在RtADC中，AC2CD2AD248452，得AC2.在AMC中，由余弦定理，得cosMAC.13(2020全国卷) 如图，在三棱锥PABC的平面展开图中，AC1，ABAD，ABAC，ABAD，CAE30，则cosF
9、CB_.答案解析ABAC，AB，AC1，由勾股定理得BC2，同理得BD，BFBD.在ACE中，AC1，AEAD，CAE30，由余弦定理得CE2AC2AE22ACAEcos3013211，CFCE1.在BCF中，BC2，BF，CF1，由余弦定理得cosFCB.14(2019浙江高考)在ABC中，ABC90，AB4，BC3，点D在线段AC上若BDC45，则BD_，cosABD_.答案解析如图，易知sinC，sinA，cosA.在BDC中，由正弦定理可得，BD.cosABDcos(45A).三、模拟小题15(2021北京市昌平区实验学校高三期中)在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，如果
10、a10，A30，C105，那么b()A.B5C10D20答案C解析因为A30，C105，所以B180AC1803010545，由正弦定理可知，b10.故选C.16(2021金华市江南中学期中)钝角三角形ABC的面积是，AB1，BC，则AC()A5BC.2D1答案B解析由面积公式得：sinB，解得sinB，所以B45或B135，当B45时，由余弦定理得：AC2122cos451，所以AC1，又因为AB1，BC，所以此时ABC为等腰直角三角形，不合题意，舍去；所以B135，由余弦定理得AC2122cos1355，所以AC.故选B.17(2021四川省南充高级中学高三期中)在ABC中，角A，B，C的
11、对边分别是a，b，c，A，且b2a2ac，则B()A.BC.D或答案B解析由余弦定理可得a2b2c22bccosA，又A，a2b2c2bc，b2a2ac，bcacc2，即bac，由正弦定理可得sinBsinAsinC，sinBsinsin，sin，B或，B或(舍去)故选B.18(2021秦皇岛市抚宁区第一中学月考)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinAacosB2bc，则A()A.BC.D答案C解析由已知和正弦定理得sinBsinAsinAcosB2sinBsinC，即sinBsinAsinAcosB2sinBsin(AB)，即sinBsinAsinAcosB2si
12、nB(sinAcosBcosAsinB)所以sinBsinA2sinBcosAsinB，因为sinB0，所以sinAcosA2，即sin1，所以A2k，kZ，即A2k，kZ，又A(0，)，所以A.故选C.19(2022山东省枣庄八中开学考试)在ABC中，A，b2，其面积为2，则等于()A.BC.D答案A解析因为在ABC中，A，b2，其面积为2，所以2bcsinA，因此c4，所以a2b2c22bccosA41622412，所以a2，由正弦定理，可得.20(多选)(2021山东青岛高三期中)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若asinA4bsinB，ac(a2b2c2)，则下列结
13、论正确的是()Aa2bBcosACsinBDABC为钝角三角形答案ACD解析由，得asinBbsinA.又4bsinBasinA，两式作比得，所以a2b，故A正确；由ac(a2b2c2)，得b2c2a2ac，由余弦定理，得cosA，故B错误；由于cosA0，可得A为钝角，故D正确；由于，可得sinBsinA，故C正确故选ACD.21(多选)(2021湖北荆州中学上学期月考)在ABC中，D在线段AB上，且AD5，BD3，若CB2CD，cosCDB，则()AsinCDBBABC的面积为2CABC的周长为122DABC为钝角三角形答案BCD解析由cosCDB，可得sinCDB，故A错误；设CDx，C
14、B2x.在CBD中，由余弦定理得，整理，得2x2x60，解得x2，即CD2，BC4，所以SABCSBCDSADC32522，故B正确；由余弦定理得cosB，即，解得AC2，故ABC的周长为ABACBC824122，故C正确；在ABC中，由余弦定理可得，cosACB0，故ACB为钝角，故D正确故选BCD.22(2021宁波中学高三模拟)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3acosC4csinA，已知ABC的面积等于10，b4，则tanC_，a的值为_答案解析因为3acosC4csinA，由正弦定理得3sinAcosC4sinCsinA，在ABC中，sinA0，所以3cosC4s
15、inC即tanC，又根据sin2Ccos2C1，所以sinC，又ABC的面积等于10，b4，所以SABCabsinCa410，所以a.一、高考大题1(2021天津高考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinAsinBsinC21，b.(1)求a的值；(2)求cosC的值；(3)求sin的值解(1)sinAsinBsinC21，由正弦定理可得abc21，又b，a2，c2.(2)由余弦定理可得cosC.(3)cosC，C(0，)，sinC，sin2C2sinCcosC2，cos2C2cos2C121，sinsin2Ccoscos2Csin.2(2021新高考卷)记ABC的内角
16、A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2ac，点D在边AC上，BDsinABCasinC.(1)证明：BDb；(2)若AD2DC，求cosABC.解(1)证明：BDsinABCasinC，由正弦定理，得BDbac.又b2ac，所以BDbb2，即BDb.(2)因为AD2DC，所以ADb，DCb.在ABD中，由余弦定理，得cosADB；在BCD中，由余弦定理，得cosBDC.因为ADBBDC，所以0，即b22a2c2.又b2ac，所以ac2a2c2，即6a211ac3c20，即(3ac)(2a3c)0，所以3ac或2a3c.当3ac时，由b22a2c2，得a2b2，c29a23b2，在ABC中，
17、由余弦定理，得cosABC1，不成立当2a3c时，由b22a2c2，得a2b2，c2b2，在ABC中，由余弦定理，得cosABC.综上，cosABC.3(2021北京高考)已知在ABC中，c2bcosB，C.(1)求B的大小；(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度cb；周长为42；面积为SABC.解(1)c2bcosB，则由正弦定理可得sinC2sinBcosB，sin2Bsin，C，B，2B，2B，解得B.(2)若选择：由正弦定理结合(1)可得，与cb矛盾，故这样的ABC不存在若选择：由(1)可得A，设ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可
18、得ab2RsinR，c2RsinR，则周长abc2RR42，解得R2，则a2，c2，由余弦定理可得BC边上的中线的长度为.若选择：由(1)可得A，即ab，则SABCabsinCa2，解得a，则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为 .二、模拟大题4(2021重庆巴蜀中学高考适应性第三次月考)已知在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，选择下列两个条件之一：cos2C2sin21，1作为已知条件，解答以下问题注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分(1)求角C的大小；(2)若ABC的面积为2，sinAsinB，求c的值解(1)若选择条件：在ABC中，因为ABC，所以cos(AB)c
19、osC，因为cos2C2sin21，所以cos2C1cos(AB)1，即2cos2CcosC10，所以(2cosC1)(cosC1)0，解得cosC或cosC1(舍去)，因为0C，所以C.若选择条件：由1，可得a2b2abc2，即有a2b2c2ab，所以cosC，因为ABC中，0CDE，所以EAD60，所以EAD30，则AED90，所以AD2.(2)因为是钝角，所以点E在以AD为直径的圆内且在矩形ABCD外，所以多边形ABCDE是凸五边形则S多边形ABCDESADES矩形ABCD，SADEsin，S矩形ABCDADAB2AD2，在ADE中，由余弦定理，AD2936cos126cos，S矩形ABCD2AD22412cos，所以S多边形ABCDEsin12cos24(sin8cos)2424sin()24，当且仅当，即时，S多边形ABCDE取得最大值，此时sincos，cossin，所以tan.
