1、高考资源网（） 您身边的高考专家1.1.2余弦定理学 习 目 标核 心 素 养1.掌握余弦定理及其推论(重点)2掌握正、余弦定理的综合应用(难点)3能应用余弦定理判断三角形的形状(易错点)1.借助余弦定理的推导，提升学生的逻辑推理的素养2通过余弦定理的应用的学习，培养学生的数学运算的素养.1余弦定理(1)三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a2b2c22bccos_A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C(2)应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题已知三边，求三角已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角思考：利用余弦定理只能
2、解决以上两类问题吗？提示是2余弦定理的变形(1)余弦定理的变形：cos A；cos B；cos C.(2)利用余弦定理的变形判定角：在ABC中，c2a2b2C为直角；c2a2b2C为钝角；c20)则有cos C.2在ABC中，若a3，c7，C60，则b为()A5 B8C5或8D5或8B由余弦定理得c2a2b22abcos C，即499b23b，所以(b8)(b5)0.因为b0，所以b8.3在ABC中，a1，b，c2，则B_.60cos B，B60.4在ABC中，若a2b2bcc2，则A_.120a2b2bcc2，b2c2a2bc，cos A，又0A180，A120.已知两边及一角解三角形【例1
3、】已知ABC，根据下列条件解三角形：a，b，B45.解由余弦定理知b2a2c22accos B23c22c即c2c10，解得c或c.当c时，由余弦定理，得cos A.0A180，A60，C75.当c时，由余弦定理，得cos A.0Aa，cb，C最大由余弦定理，得c2a2b22abcos C，即3791624cos C，cos C，0C180，C120.ABC的最大内角为120.1已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解2若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边解三角形2在ABC
4、中，已知(abc)(bca)3bc，则角A等于()A30B60C120D150B(bc)2a2b2c22bca23bc，b2c2a2bc，cos A，A60.正、余弦定理的综合应用探究问题1在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2b2c2，则sin2Asin2Bsin2C成立吗？反之，说法正确吗？为什么？提示设ABC的外接圆半径为R.由正弦定理的变形，将a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，代入a2b2c2可得sin2Asin2Bsin2C反之，将sin A，sin B，sin C代入sin2Asin2Bsin2C可得a2b2c2.因此，这两种说法均正确2在ABC中
5、，若c2a2b2，则C成立吗？反之，若C，则c2a2b2成立吗？为什么？提示因为c2a2b2，所以a2b2c20，由余弦定理的变形cos C0，即cos C0，所以C，反之，若C，则cos C0，即0，所以a2b2c20，即c2a2b2.【例3】在ABC中，若(accos B)sin B(bccos A)sin A，判断ABC的形状思路探究角边转化解法一：(accos B)sin B(bccos A)sin A，由正、余弦定理可得：ba，整理得：(a2b2c2)b2(a2b2c2)a2，即(a2b2)(a2b2c2)0，a2b2c20或a2b2.a2b2c2或ab故ABC为直角三角形、等腰三角
6、形或等腰直角三角形法二：根据正弦定理，原等式可化为：(sin Asin Ccos B)sin B(sin Bsin Ccos A)sin A，即sin Ccos Bsin Bsin Ccos Asin Asin C0，sin Bcos Bsin Acos A，sin 2Bsin 2A2B2A或2B2A，即AB或AB.故ABC是等腰三角形、直角三角形或等腰直角三角形1法一是用余弦定理将等式转化为边之间的关系式，法二是借助于正弦定理，将已知等式转化为角的三角函数关系式这两种方法是判断三角形形状的常用手段2一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦
7、或是边的一次式，则大多用正弦定理；若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用3在ABC中，若2BAC，b2ac，试判断ABC的形状为_等边三角形2BAC，又ABC180，B60.又b2ac，由余弦定理可得b2a2c22accos Ba2c22accos 60a2c2ac，a2c2acac，从而(ac)20，ac，可知ABC为等边三角形1本节课的重点是余弦定理及其推论，并能用它们解三角形，难点是在解三角形时，对两个定理的选择2本节课要掌握的解题方法：(1)已知三角形的两边与一角，解三角形(2)已知三边解三角形(3)利用余弦定理判断三角形的形状3本节课的易错点有两处：(1)正弦定理和余弦定理的
8、选择：已知两边及其中一边的对角解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来比较两种方法，采用余弦定理较简单(2)利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理的表达形式是边长的平方，通常转化为一元二次方程的形式求解根的问题1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)在三角形中，已知两边及一边的对角，可用正弦定理解三角形，但不能用余弦定理去解()(2)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三角形()(3)利用余弦定理，可解决已知三角形三边求角问题()(4)在三角形中，勾
9、股定理是余弦定理的一个特例()解析(1).由正、余弦定理的特征可知在三角形中，已知两边及一边的对角，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理求解(2).余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形(3).结合余弦定理公式及三角函数知识可知正确(4).余弦定理可以看作勾股定理的推广答案(1)(2)(3)(4)2在ABC中，若2cos Bsin Asin C，则ABC的形状一定是()A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等边三角形C2cos Bsin Asin C，2ac，ab故ABC为等腰三角形3在ABC中，已知a4，b6，C120，则边c_.2根据余弦定理c2a2b22abcos C1636246cos 12076，c2.4在ABC中，已知a8，B60，c4(1)，解此三角形解由余弦定理得，b2a2c22accos B824(1)2284(1)cos 606416(42)64(1)96，b4.法一：由cos A，0Aa，ca，a最小，即A为锐角因此A45.故C180AB180456075.- 10 - 版权所有高考资源网
